Эволюция развития теории уравнений и способов их решения

Над полным доказательством  Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество  дилетантов-любителей; считается, что  теорема стоит на первом месте  по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели  к получению многих важных результатов  современной теории чисел. Давид  Гильберт (1900год) в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (Париж, 1900год) так отозвался об этой проблеме:

„Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, «какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.“

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему  Ферма. Однако после Первой мировой  войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы доказательств. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение a² + b² = c² при может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы  был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая  теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это  предположение было доказано Кеном  Рибетом при участии Ж.‑П.Серра).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал  в 1993 году (после 7 лет напряжённой  работы), но в нём вскоре обнаружился  серьёзный пробел, который с помощью  Ричарда Лоуренса Тейлора удалось  достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий  вариант.

2.7 Уравнение степени n

 

Уравнением  степени n называется a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты вычисляются по формуле Бинома Нюьтона.

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

-Число сочитаний из n по k.

Долгое время считалось, что для натуральных показателей  степени эту формулу, как и  треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикамат-Туси(XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.).

В таком виде эта формула  была известна ещё индийским и  исламским математикам; Ньютон вывел  формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени  — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

2.8 Системы уравнений

 

Естественно все перечисленные  способы решения уравнений имеют свои положительные и отрицательные стороны относительно самих видов уравнений.

Есть одно „но“, если в  уравнении больше двух неизвестных, то ни один из перечисленных способов не поможет решить уравнение.

Для решения таких уравнений существуют системы уравнений. У систем так же есть свои способы решения.

 

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Формальная запись общего вида может  выглядеть так:

Способы решения систем:

1. Графический
2. Алгебраическое сложение
3. Подстановка
4. Определители второго, третьего и т.д. порядка

Сводная таблица уравнений  разного вида представлена в Приложении 1

 

3. Исследование

 

Тема  исследовательской работы «Развитие  теории уравнений и способов их решения  с древних времен до современности».

При выборе темы опирались на два предмета, математика и история математики. Естественно, не удаётся изучить историю математики так, как хотелось бы, ведь математика одна из самых древнейших наук, но все-таки проследить развитие теории уравнений возможно.

Мне было интересно, знают ли ученики ученых математиков. Так как в моей работе математиками являются все перечисленные люди, то интерес возрастает: кого из них дети знают больше, слышали о них или же просто чувствуют, что этот человек может быть математиком. Цели исследования – узнать, какие способы решения квадратных уравнений наиболее популярны среди учеников и как это связано с предпочтением учителей предметников, обучавших их в восьмом классе.

Опрошено было 152 человека и 6 учителей.

Для проверки гипотезы было использованы только 3 ответа учителей, так как  они являются преподавателями у  опрошеных учеников.

 

Гипотеза: Выбор способы ученика косвенно зависит от предпочтения учителя.

Попутная задача – определить, владеют ли девятиклассники необходимой теорией связаной с решением квадратных уравнений.

3.1. Анкета к исследовательской работе

1. Какие из перечисленных  людей являются учеными математиками?

1)Ахмес

2)Леонтий Магнитский

3)Диофант

4)Герон

5)Эндрю Джон Уаилс

............................................................................................................................

2. Соедините отрезками способ решения уравнений с соответствующими

формулами:

 

1)Дискриминант

x₁ + x ₂= -p;  x₁ • x₂ = q

2)Теорема Виета

a + b + c = 0

3)Свойство  коэффициентов    x₁; ₂ = 

4) Формула решения квадратных 

уравнения при четном коэффициенте b   x₁; ₂ =                               

3. Корнями этого уравнения x² + 2x – 8 = 0 являются........................:

1) x₁ = - 4 3) x₁ = - 4 5) x₁ = 2 7) x₁ = - 2

2) x₂ = - 2 4 )x₂ = 2 6) x₂ = 4 8) x₂ = 4

4. Расположите страны в хронологическом порядке согласно истории развития математики.

1)Индия 2)Греция 3)Древний Вавилон 4)Египет

........................................................................................................

5. Каким способом вы предпочитаете решать квадратные уравнения?

1)Только через дискриминант.

2)В зависимости от ситуации:

*По теореме Виета

*Через дискриминант

*Используя свойство коэффициентов

* Формула решения квадратных  уравнения при четном коэффициенте b

..........................................................................................................................................

6. Графическое решение уравнения x² + 3x - 4 = 0 на рисунке ...........

y

y

1      2

 

x

x

 

 

 

Рис.2      Рис.3

y

y

3      4     

 

x

x

 

 

 

 

 

Рис.4      Рис.5

3.2 Ответы к анкете

Правильные  варианты ответов выделены зелёным цветом:

1. Какие из перечисленных людей являются учеными математиками?

1) Ахмес

2) Леонтий Магнитский

3) Диофант

4) Герон

5) Эндрю Джон Уаилс

Т.е. все выше перечисленные люди.

2. Соедините отрезками способ решения уравнений с соответствующими

формулами:

1) Дискриминант      x₁ + x ₂= -p;  x₁ • x₂ = q

2) Теорема Виета

          a + b + c = 0

3) Свойство  коэффициентов     x₁; ₂ = 

4) Формула решения квадратных 

уравнения при четном коэффициенте b   x₁; ₂ = 

 

       2.  Корнями этого уравнения x² + 2x – 8 = 0 являются 3) и 4) :

1) x₁ = - 4 3) x₁ = - 4 5) x₁ = 2 7) x₁ = - 2

2) x₂ = - 2 4 )x₂ = 2 6) x₂ = 4 8) x₂ = 4.

3. Расположите страны в хронологическом порядке согласно истории развития математики.

1)Индия 2)Греция 3)Древний Вавилон 4)Египет

Древний Вавилон-Египет-Греция-Индия

4. Каким способом вы предпочитаете решать квадратные уравнения?

1)Только через дискриминант.

2)В зависимости от ситуации:

*По теореме Виета

*Через дискриминант

*Используя свойство коэффициентов

* Формула решения квадратных  уравнения при четном коэффициенте b

..........................................................................................................................................

5. Графическое решение уравнения x² + 3x - 4 = 0 на рисунке 4

y

y

1      2

 

x

x

 

 

 

 

 

 

Рис.6      Рис.7

y

y

3      4     

x

x

 

 

 

 

 

Рис.8      Рис.9

3.1 Результаты исследования и их анализ

В этом разделе приведен анализ наиболее интересных и показательных результатов анкетирования. Все остальные диаграммы (Рис.17- Рис.35) размещены в Приложении 2

Анализ  первого задания

Рис.10

Ученики выбирали в большенстве своем трёх математиков. Я считаю, что это вызвано именно именами этих математиков, ведь чаще всего люди носящие столь древние по звучанию имена были математиками.

Анализ  второго задания

Рис.11

Большинство учеников смогло найти правильную формулу к названию способа решения. Гимназия, опираясь на пройденный материал, легко определила что к чему, а девятиклассники, зная теорему Виета и дискриминант, смогли определить и следующие формулы: Свойство коэффициентов, Формула решения квадратных уравнений при четном коэффициенте b

Анализ третьего задания

Рис.12

Корни нашли больше половины учеников. Зачастую, используя теорему Виета, некоторые писали прямо на анкетах свое решение. Двенадцатиклассники не отнеслись серьезно к этому заданию, тем самым показали результат хуже, чем девятиклассники, которые в свою очередь только ознакомились с квадратными уравнениями и способами их решения.

Анализ четвертого задания

Рис.13

На  мой взгляд, задание было сложным. Но, как показывают ответы, оно было выполнимо. Меня обрадовали те 19% опрашиваемых, которые смогли определить правильный порядок. Это показывает, что в нашей школе есть ученики, которые знают древнюю историю и, опираясь на свои знания в этом направлении, смогли выполнить задания. Видимо, кто-то интересуется историей дополнительно.Анализ пятого задания

 

Рис.14

Большинство отметило, что предпочитает решать уравнения только через дискриминант. Я могу предположить, что это вызвано точностью и широтой применения способа. Ученикам не приходится задумываться, каким способом решать уравнение, если они выбрали для себя дискриминант, который подходит для решения всех квадратных уравнений. Естественно, при использовании этого способа, не исключена потеря времени. На втором месте у учеников теорема Виета, которая у учителей находится на ведущем месте. Касательно свойства коэффициентов и формулы, связаной с четным коэффициентом b, можно сказать, что у учеников они не популярны.

Рис.15

Так же, можно сделать вывод, что выбор учеников не зависит от предпочтений учителя, ведь ни один из учителей не указал что предпочитает только дискриминант.Анализ шестого задания