Эволюция развития теории уравнений и способов их решения

1.4 Греция

В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью  геометрических построений. Методы, которые  не связаны с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своей книге «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Его книги с описанием способов решения полных квадратных уравнений до нашего времени не сохранились.

 

Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся  к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на

язык алгебраический», - писал великий И. Ньютон в своем  учебнике алгебры, который называется «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и  неравенств. Большинство текстовых  задач решается именно этим способом. Посмотрим на примере, как выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический.

1.5 Задача о жизни Диофанта

На родном языке:	На языке алгебры:
Путник! Здесь прах погребен   Диофанта. И числа поведать  Могут, о чудо, сколь долог   был век его жизни.	х
Часть шестую его представляло   прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла   еще жизни – покрылся   Пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном  Браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он  Был осчастливен рожденьем  прекрасного первенца сына,	5
Коему рок половину лишь  жизни прекрасной и светлой  Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой  Старец земного удела конец восприял, переживши  Года четыре с тех пор, как сына лишился.	4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,  Смерть восприял Диофант?	х = +++ 5 ++ 4

1.6 Обозначения неизвестных в разные времена

Надо заметить, что обозначение неизвестного привычными для нас переменными x, y, z и другими буквами латинского алфавита, появилось не сразу.  Некоторые примеры обозначения приведены на следующем рисунке:

Рис.1(Обозначение неизвестных в разное время)

 

2. Теоретическая часть

 

Уравнение — это равенство вида

или, в приведённой форме

 

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящим в уравнения можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
4. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций являются эквивалентными начальному уравнению, т.е имеют тоже самое решение.

Возведение  обеих частей уравнения в квадрат  может привести к появлению посторонних  корней.

2.1 Линейное уравнение

 

Линейное уравнение- уравнение, обе части которого определяются линейными функциями. Общий вид простейшего случая имеет вид

 
Числа а и b являются коэффициентами линейного уравнения: а - коэффициент  при переменной, b - свободный член.

Получили название линейных из-за того, что определяют прямую линию на плоскости или в пространстве.

2.2 Квадратное уравнения

 

Квадратное уравнение - уравнение общего вида:

Числа a, b, c - его коэффициенты, причем a также называется квадратичным коэффициентом, b - линейным, c - свободным членом. Квадратное уравнение всегда имеет один или два корня – различных или совпавших или не имеют действительных корней. Они обозначаются как x₁ и x₂ или, если речь идет об обоих корнях одновременно, то x_1;2 В некоторой литературе встречается еще и такое обозначение: x⁺ и x^-

2.3 Диофантово уравнение

 

Уравнение вида

где P — целочисленная функция (например многочлен с целыми коэффициентами), а переменные x, y принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. 

:

при  решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки.

2.3.1 Пифагоровы тройки

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x, y, z) удовлетворяющих соотношению Пифагора:

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами.

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских  надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных  со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона  Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

2.3.2 Диофантово уравнение

Как составлял и решал  Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

 

При составлении уравнений Диофант  для упрощения решения умело  выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что  искомые

числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + x другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

 

или же

 

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая  в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

    

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

2.4 Современные способы решения квадратных уравнений

2.4.1 Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения   равна коэффициенту  ,взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену  :

 

 

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через  его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также  для составления многочлена по заданным его корням.

Существует так называемое Мнемоническое правило:

Познакомили поэта

С теоремою Виета, 

Оба корня он сложил —

минус p он получил,

а корней произведенье

дает q из уравнения.

Виет дал в своих  трудах основы общей теории алгебраических уравнений, 
почему и получил почетное имя отца современной алгебры. Виет первый 
ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что иногда 
делали его предшественники), но и для данных величин, то есть для 
коэффициентов уравнений.

Поэтому, благодаря трудам Виета открылась возможность  выражения 
свойств уравнений и их корней общими формулами. Виет нашел общие 
методы решений уравнений второй, третьей и четвертой степени, 
унифицировал методы, найденные раннее Ферро и Феррари, а также вывел 
общеизвестные теперь формулы суммы и произведения корней квадратного 
уравнения (формулы Виета).

2.4.2 Дискриминант

 

Дискриминант квадратного трехчлена ax² + bx +c  есть выражение D = b²- 4ac.

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.

Напомним, что дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx +c   равен b² – 4ac. При этом выполняется следующее:

•        при   корней два (два различных действительных корня) и они вычисляются по формуле

       (1)

• при   корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих действительных корнях), кратности 2:

• при   действительных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

Кроме того

• Дискриминант многочлена   равен

• В частности, дискриминант многочлена   (корни которого вычисляются по формуле Кардано), равен   
• частный случай: формула половинного коэффициента

x_1;2 =

2.4.3 Сумма коэффициентов

Сумма коэффициентов – используется тогда, когда сумма коэффициентов, стоящих при переменных равна 0.

В случае, когда сумма коэффициентов равна нулю без изменения знаков: x₁= 1; x₂ =

В случае, когда для получения  нуля в сумме коэффициентов требуется изменить знак при коэффициенте b, то x₁= -1; x₂=

2.5 Кубическое  уравнение

 

Кубическое уравнение — алгебраическое уравнение третьей степени , канонический вид которого

Любое кубическое уравнение  канонического вида можно привести к более простому виду:

y³ + py + q = 0,

поделив его на a и подставив в него замену x = y - При этом коэффициенты будут равны:

  

2.6 Уравнение четвертой степени

 

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Людовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 г., но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 году, вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Кардано (автор формулы корней для уравнения третьей степени ) в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую  формулу решения было доказано в  теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к  элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой  была теорема Абеля.

2.6.1 Теорема Ферма

 

Великая теорема Ферма (или  Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а  доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального числа  уравнение не имеет натуральных решений  ,   и  .

Для случая  эту теорему  в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема  была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал  свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное  им остроумное доказательство этой теоремы  слишком длинно, чтобы его можно  было поместить на полях книги:

„Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.“(Перевод с латыни)

Несколько позже сам  Ферма опубликовал доказательство частного случая для  , что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая , Дирихле и Лежандр в 1825 - для , Ламе - для . Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых 37, 59, 67.