Изучения доли и дроби в начальной школе

Н.А. Менчинская ба также выделяет понятие ба «знаменатель» как понятие, представляющее ба особую трудность для ба усвоения учащимися. «Фактически в ба знаменателе раскрывается ба своеобразие дробного ба числа в отличие ба от целого» – справедливо ба указывает автор¹².

Так, учащиеся с ба легкостью сравнивают ба дроби с равными знаменателями, перенося ба навыки сравнения из ба области целых ба чисел, они с легкостью ба поясняют свои действия, ба нередко, указывая, во ба сколько раз одна дробь ба превосходит другую. В то же время, те ба же дети ба испытывают трудности ба при сравнении ба дробей с разными ба знаменателями, путаются в пояснении ба своих действий. Случается, что ба при сложении и ба вычитании дробей, школьники ба складывают и вычитают ба знаменатели. Ошибки подобного ба рода не возникают, если ба школьники с самого ба начала осмыслили своеобразие ба понятия «знаменатель». Разумно ба предлагается при ба изучении дробей ба опираться на знание ба именованных чисел, их ба раздробления и превращения. При ба этом знаменатель – это ба наименование частей. 

Камнем ба преткновения в изучении дробей являются ба операции умножения и ба деления. «Ученику ба приходится делать весьма значительные усилия ба мысли, чтобы ба постигнуть, что умножение ба называется иногда делением; что ба не всегда от ба умножения число ба увеличивается; что умножить число – это ба не всегда значит ба «взять его слагаемым несколько ба раз»», – писал Я.Ф. ба Чекмарев¹³. Позже ба Н.А. ба Менчинская ба высказывает ба мнение о том, что никак нельзя ба считать правильным ба то положение, когда ба у детей при изучении ба целых чисел ба формируются представления ба об умножении как об увеличении, а о ба делении как об ба уменьшении. В дальнейшем это приводит к ба неверному переносу ба ассоциаций в область дробей. При ба этом Н.А. ба Менчинская указывает, что ба при изучении ба целых чисел учитель должен ба придавать особое ба значение случаям ба умножения и ба деления на 0 ба и 1, которые не ба приводят к привычному ба увеличению и ба уменьшению¹⁴.

При обучении ба учащихся арифметическим ба действиям, в том ба числе и действиям с дробями, важно ба последовательно формировать ба процесс получения результата, или, говоря ба языком ба психологии, устанавливать ассоциации ба по смежности (термин И.П. ба Павлова).

Например, получив ба задание разделить ба 3 полоски на ба 4 равные ба части, ученик ба сначала рассуждает ба так: «В одной полоске ба , в трех ба полосках их всего ба , ба 12 разделить на ба 4 будет ба 3, значит ба ». Затем прибегает ба к более короткому пути ба рассуждения: «Делил ба на 4 – это был ба знаменатель, и ба было 3 полоски, всего ба будет ». И, наконец, рассуждение ба сокращается до одного звена: «3 ба на 4 нацело ба не ба делится, будет ».

Так ба постепенно происходит ба сокращение промежуточных ба звеньев процесса, между ба условием примера и ба ответом образуется ба прямая связь. Но даже, когда ба рассуждение выключено ба полностью, оно ба продолжает ба лежать в основе ба выполнения операции. К ба сожалению, в школьной ба практике нередко имеют ба место такие ба случаи, когда ба арифметическая операция ба с самого начала строится ба по типу простейшей ба ассоциативной ба связи, промежуточное звено – ба рассуждение – вообще ба отсутствует. В этом ба случае учащийся выполняет ба действия механически, не ба понимая того, что ба он делает и ба зачем. Классическим ба примером является неумение ба школьников решать задачи на нахождение ба части целого и неизвестного ба целого по его части.

Эти ба ошибки свидетельствуют ба о том, что ба учащиеся не ба осознают нахождение ба части от числа и ба умножение как ба одну и ту же ба операцию, они в равной мере ба не осознают как ба одну и ту же операцию ба нахождение числа ба по его дроби и ба деление. Различные ба термины скрывают от ба них тождественность ба содержания понятий, обозначаемых ба этими терминами. Это обусловлено ба тем, что и умножение ба дробей и решение ба задач на нахождение ба части целого вводится, как ба правило, с помощью ба алгоритма. Учащиеся не ба проходят все ба ступени по формированию ба ассоциаций, знают четкий ба алгоритм, следовательно, не могут ба обобщить эти две ба операции.

Заслуживает внимания ба проблема ба отождествления ба операций нахождения ба наибольшего общего делителя ба и сокращения ба дробей, а также наименьшего ба общего кратного и ба приведения дробей к ба общему знаменателю. Исследованием ба причин, по которым ба учащиеся не ба различают операции нахождения ба НОД и ба НОК, занималась З.М. ба Мехтизаде. Психолог обратила ба внимание на то, что ба «при овладении ба этими двумя ба схожими операциями, учащиеся ба раньше всего овладевают ба ими в тех ба звеньях, которые являются ба общими для этих двух ба операций, и с большим ба трудом в той ба части, где требуется ба применение различных ба дифференцированных друг от друга ба способов действия. Если в ба одном ба случае, в общих ба звеньях этих ба операций, актуализируются или ба воспроизводятся одни и ба те же системы ба ассоциаций, то в другом ба случае, т.е. в различных ба звеньях, требуется ба перестройка ранее ба образованной системы ба ассоциаций. Именно эта ба перестройка системы ба ассоциаций и затрудняет ба учащихся»¹⁵. Ошибки, которые ба порождаются наличием ба двух сходных ба правил, основаны на «правилосообразных» ба связях. В данном ба случае путаница ба происходит еще и по ба причине схожести ба названия операций, редко ба когда внимание ба учащихся верным образом ба акцентируется на последнем ба слове, чаще ба эти аббревиатуры ба воспринимаются ба абракадаброй. Важным моментом ба является своевременное ба сравнение таких правил, построение ба системы упражнений, постепенно ба отражающей сходство и ба различие операций. Н.А. ба Менчинская предлагает ба использовать принцип ба варьирования существенных ба признаков для составления ба систем упражнений ба при изучении ба материала. То есть задания должны ба изменяться не столько по ба уровню сложности, сколько ба по их положению ба во всем учебном ба материале. Наличие ба контрпримеров при построении ба системы упражнений ба обязательно.

Н.А. Менчинская ба занималась исследованием ба ошибок, которые допускают ба учащиеся при обучении. Причины ба возникновения ба некоторых ошибок ба психологом так и не были ба объяснены, тем не ба менее, автор ба сумела типизировать ба ошибки. В ее ба трудах много ба практических ба советов, направленных не ба только на преодоления ба уже полученных ба ошибок, но и для их ба предотвращения. Оказывается, ба числа, подобранные ба в примерах ба нередко провоцируют ба возникновение, так ба называемых ба описок. Некоторые комбинации ба чисел провоцируют на ба выполнение определенной ба операции, в этом случае ба происходит ослабление ба остроты сознания и ба «настоящий» знак действия ба остается не ба замеченным. На наш ба взгляд, психологические основы возникновения ба ошибок и разумного ба построения системы ба упражнений должны ба быть изучены каждым ба педагогом¹⁶.

Таким ба образом, при изучении ба дробей необходимо ба учитывать психологические ба особенности восприятия ба материала. Уверенное представление ба о дроби возникает ба только тогда, когда ба учащийся самостоятельно ба проходит все ступени по формированию этого ба понятия. Сознательное ба оперирование осуществляется ба при верно ба построенной системе ба ассоциаций и полной связи ба между условием задачи и ее ба ответом. Система упражнений ба должна отвечать как ба методическим задачам, так ба и учитывать ба психологические основы ба слухового восприятия ба формулировок и зрительного ба восприятия комбинаций ба чисел. Важно ба сформировать у учащихся умение ба выделять существенные и ба несущественные признаки объектов ба и действий над ба ними.

1.3. Методические  подходы к обучению младших  школьников дробным числам

 

Курс ба математики ба начальных ба классов ба представляет ба собой органическую ба составную часть всей ба школьной математики. Поэтому основным ба требованием к его ба построению является ба структурирование содержания на ба единой идейной ба основе, которая, с одной ба стороны, является продолжением ба и развитием идей, реализованных ба при обучении математике в ба начальной школе, и, с ба другой стороны, служит ба последующему ба изучению математики ба в старших ба классах.

Учебный ба материал распределен ба таким образом, что ба при изучении числовых ба множеств систематически ба используется геометрический ба и алгебраический ба материал.

Первым ба расширением понятия ба числа является введение ба дробных чисел в курс ба математики. Следующий этап ба расширения понятия ба числа – вводятся ба отрицательные числа. Как ба уже было выше ба сказано, дробные числа стали ба использоваться достаточно ба давно, намного ба раньше, чем отрицательные ба числа, поэтому должны ба легче усваиваться ба учащимися. Изучение ба десятичных дробей опирается ба на имеющиеся у ба учащихся сведения о ба натуральных числах, об ба обыкновенных дробях и некоторых их преобразованиях, а ба также на знакомство ба учащихся с метрической ба системой мер.

С формирования ба понятия обыкновенной ба дроби начинается ба работа с десятичными ба дробями. Это обусловлено ба тем, что изучение ба десятичных дробей без предварительного ознакомления с обыкновенными дробями вызывает ба различного рода ба трудности. Например, не ба зная, что такое половина ба числа, учащиеся не ба могут представить ба десятую, сотую доли числа; ба десятичная дробь не ба воспринимается учащимися ба как результат деления ба целого на равные ба части и взятие ба нескольких таких ба частей¹⁷.

Введение ба понятия нового числа ба связывается с происхождением ба этих чисел, с ба их возникновением. Необходимость ба введения дробных ба чисел возникла ба при измерении ба величин. Но не только ба практика людей ба вызывает к жизни ба новые числа, развитие ба самой математики ба также требует расширения ба понятия числа.

В практике ба преподавания основным ба методом изучения ба новых чисел, в частности ба дробных, являются ба пояснения, которые ба опираются на ба знания, жизненный ба опыт учащихся.

Поясняющие ба описания не заменяют ба определений, понятий, а ба лишь показывают ба целесообразность их ба введения.

Согласно ба программе и ба учебнику по математики ба формирование понятия дроби ба начинается с умения ба получать доли при ба делении какой-либо величины на ба несколько равных ба частей. Учащиеся ба должны уметь ба называть и показывать ба доли отрезка, круга, прямоугольника ба и других ба предметов.

На ба базе целесообразно подобранных ба упражнений, на ба основе жизненного опыта ба учащихся, что ба является ба мотивировкой введения ба понятия ба дроби, дается ба описание нового ба числа. Далее ба приводятся ба примеры обыкновенных ба дробей, и дается форма записи обыкновенной дроби.

Уделяется внимание в учебниках ба получению дроби, возникновению дроби ба в связи с необходимостью ба более точного измерения и ба деления натуральных чисел.

Большое ба значение в изучении ба дробей имеет ба использование графического ба метода, в частности ба координатного луча. Ученики выполняют ряд ба упражнений, с помощью ба которых формируются ба умения отмечать на луче ба точку, соответствующую ба данной дроби, и, наоборот, называть ба дробь соответствующую ба отмеченной на луче ба точке. Координатный ба луч широко используется ба также для сравнения дробей ба и для изучения основного свойства ба дроби. Подобного ба рода задания формируют ба умения сопоставлять числа и ба точки на координатном ба луче¹⁸.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы по Главе 1

 

Осваивая ба понятие ба «обыкновенная ба дробь», ученик ба должен поупражняться ба в подсчете числа ба равных долей, на ба которые разделено целое, и ба числа взятых ба долей. Дроби ба есть числа, поэтому ба уже на первом этапе ба нужно дать ба ученику возможность ба сравнивать, пользуясь ба только наглядностью, полученные ба дроби с целыми ба числами, например, с ба 1, и дробь с ба дробью.

При ба изучении ба сложения дробей ба учащимся необходимо ба предоставить возможность ба поработать с наглядным ба материалом, отражающим ба свойства дробей.

Для ба слабых и ба средних ба учеников окажется ба полезными упражнениями на ба запись в виде ба неправильной дроби ба числа.

Наглядный ба материал позволяет при ба изучении математики обращаться к природе ба вещей, находить ба возможность ба включения ба ребенка в практическую ба деятельность, в ба процессе которой ба у него ба формируются образы, помогающие ба осваивать изучаемые ба абстракции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики

2.1. Содержание  и ход эксперимента

 

Эксперимент на уроках математики осуществляется на базе МБОУ СОШ № 37. Муниципальное бюджетное образовательное учреждение г. Иркутска средняя общеобразовательная школа №37, в 4 классах.

В эксперименте ба принимали ба участие учащиеся 4 «А» класса ба в количестве ба 14 человек и ба учащиеся ба параллельного 4 «Б» класса ба в количестве ба 14 человек.

Эксперимент ба включал ба 3 этапа:

- ба констатирующий;

- ба формирующий;

- ба контрольный.

На этапе ба констатирующего эксперимента ба нашей целью ба является выяснение ба исходного состояния ба проведения уроков ба математики. До начала проведения ба уроков по ба проблеме нашего ба исследования на ба этапе констатирующего ба эксперимента мы провели ба самостоятельную работу на проверку ба умений вычислительных ба навыков в обоих ба классах.

На этапе ба констатирующего ба эксперимента мы ба выявили ба уровень знаний, с ба которыми учащиеся подошли ба к изучению обыкновенной ба дроби. Для этого ба эксперимента были ба предложены диагностические ба тесты Т.Д. Гончаровой. Обучение ба на основе ба технологии ба полного ба усвоения, включающие ба задания, опирающиеся ба на знания ба учащимися ба оперирования единицами ба измерения, выполнение ба логических ба заданий, вычислительные приемы, упражнения ба на освоение понятие ба доли числа с ба помощью штриховки ба фигур, задачи ба на нахождение ба доли числа, числа ба по доли, задания, выполнение ба которых требует ба умений учащихся ба производить действия с ба числами, используя ба координатный луче, находить ба место числе на ба координатном луче, способствующие ба проведению сравнительной работы дроби ба как числа с целыми ба числами.

Сравнительная ба характеристика уровня ба успешности при ба выполнении заданий, составленных ба на этапе констатирующего ба эксперимента, отражена на диаграмме.