Изучения доли и дроби в начальной школе

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Одна из проблем существующей системы образования состоит  в том, что в ее основе лежит, заложенный в советское время, императив подготовки человека знающего. Тем не менее, школа должна не только и не столько давать знания в готовом виде, сколько направлять деятельность детей на самостоятельную добычу знаний.

Идея деятельностного  подхода в обучении математике не нова. Еще в конце прошлого века известный русский методист С.И. Шохор-Троцкий выступил как изобретатель нового метода – метода целесообразных задач – курс арифметики из систематически подобранных задач. Позже В.В. Давыдов и Д.Б. Эльконин разработали теорию обучения в зоне ближайшего развития ребенка. Согласно которой учебный материал должен быть выстроен в соответствии с принципами систематичности и последовательности с позиции психологической теории деятельности.

Актуальность  исследования: Несмотря на то, что суть проблемного обучения известна в настоящее время очень многим, организация процесса обучения по-прежнему сводиться к предоставлению ученикам готовых знаний.

Особенно важна осознанная самостоятельная деятельность ученика  при работе с трудным материалом, требующим от него достаточных усилий. Многие методисты и психологи отмечают, что наиболее сложным материалом курса арифметики является изучение дробей. Дробь представляет собой некоторое количество долей определенной величины. «Одновременное осмысливание количества и величины долей, осознание их отношения представляет для ребенка новую и сложную задачу», – утверждает Н.А. Менчинская. Действительно, дроби – это первый наиболее абстрактный материал, с которым сталкивается школьник в процессе обучения. И чаще всего, происходит механическое запоминание правил выполнения операций с дробями, без понимания природы этих операций.

Вместе с тем, прочное  и качественное усвоение дробей имеет  существенное значение не только для  школьного курса математики в  целом, поскольку весь последующий курс опирается на знание учащимися дробей, но и для последующей практической деятельности человека. Именно дроби и простейшие действия над ними – один из немногих разделов школьного курса математики, который непременно используется в деятельности человека не зависимо от приобретенной им специальности. Отметим также, что раздел «Дробные числа (положительные рациональные числа)» вносит существенный вклад в реализацию идеи развития понятия о числе – основном понятии школьного курса математики.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что актуальность нашего исследования обусловлена необходимостью организации учебного процесса по изучению систематического курса дробей с основой на принципы психологической теории деятельности.

Целью исследования является изучение доли и дроби в начальной школе.

Объектом исследования является процесс обучения арифметике в начальных классах средней школы.

Предметом исследования являются методические аспекты изучения дробей.

Гипотеза исследования: обучение младших школьников долям и дробям будет проходить наиболее эффективно, если учитель будет использовать практический метод. Критерием анализа является возможность реализации учебного процесса с позиции теории деятельности.

В связи с этим перед  нами были поставлены следующие задачи исследования:

1. Раскрыть математическую  сущность понятия «дробные числа» 

2. Дать психолого-педагогическое  обоснование обучения младших  школьников   дробным числам 

3. Рассмотреть методические  подходы к обучению младших  школьников дробным числам

Методы исследования: наблюдение, эксперимент. Эксперимент ба включал ба 3 этапа: констатирующий; формирующий; контрольный.

База исследования: Муниципальное бюджетное образовательное учреждение г. Иркутска средняя общеобразовательная школа №37, 4 А класс, 4 Б класс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теоретические  аспекты изучения доли и дроби  в начальной школе

1.1. Математическая  сущность понятия «дробные числа»

 

В ба жизни человеку ба приходилось не ба только считать ба предметы, но и измерять ба величины. Люди ба встретились с ба измерениями ба длин, площадей земельных ба участков, объемов, массы ба тел. При ба этом случалось, что единица измерения ба не укладывалась ба целое число раз ба в измеряемой ба величине. Например, измеряя ба длину ба участка шагами, человек ба встречался с ба таким явлением: в ба длине укладывалось ба десять шагов, и ба оставался остаток меньше одного ба шага. Появление ба дробей связано ба у многих ба народов с ба делением добычи ба на охоте. В связи ба с этой необходимой ба работой ба люди стали употреблять ба выражения: половина, ба треть, два ба с половиной ба шага. Откуда можно ба было сделать ба вывод, что ба дробные числа ба возникли ба как результат измерения ба величин.

Из ба истории возникновения ба дробей и операций ба над ними.

Обыкновенные ба дроби известны ба человечеству с ба незапамятных времен. Еще ба в Древнем ба Египте дроби ба использовались ба при решении ба задач прикладного ба характера. Тогда ба еще не было ба сформировано ба понятие дроби, поэтому ба использовались ба дроби конкретного ба вида ба – , так ба называемые аликвотные ба дроби. При ба решении задач ба ответ записывался ба не в ба виде обыкновенной ба дроби , а ба в виде ба суммы аликвотных ба дробей. Для облегчения ба таких записей ба были составлены ба таблицы ба представления дробей в ба виде суммы ба аликвотных ба дробей. При ба сложении дробей имеющих разные ба знаменатели, египтяне ба умножали их ба на вспомогательные ба числа. В Древнем ба Вавилоне использовалась ба шестидесятеричная ба система счисления. Существовали ба таблички с ба правилами арифметических ба действий, как с натуральными ба числами, так и ба с дробями¹.

Одним ба из дошедших ба до наших дней ба древнеегипетских ба папирусов является ба папирус ба древнеегипетского ба писца ба Ахмеса ба «Райнда», представляющий собой ба сборник из ба 84 задач ба прикладного ба характера. Одна из этих ба задач звучит ба так: «Разделить ба 7 хлебов между ба 8 людьми».

Современный ба школьник предложит ба такое решение: разрезать каждый хлеб на ба 8 частей каждому ба человеку дать ба по одной ба части от ба каждого хлеба. Но если ба резать каждый ба хлеб на ба 8 частей, придется ба провести ба 49 разрезов. Египтяне ба решали бы ба эту задачу ба так. Дробь ба записывали ба в виде ба долей: . Значит, каждому ба человеку надо ба дать полхлеба, четверть ба хлеба и восьмушку ба хлеба; поэтому ба четыре хлеба ба разрезаем пополам, два ба хлеба – на 4 ба части и ба один хлеб – на ба 8 долей, после ба чего каждому ба даем его часть. Всего ба при египетском ба методе решения ба делается лишь ба 17 разрезов². Таким образом, египетский ба вариант ба решения этой ба задачи почти в ба 3 раза экономичнее.

При ба столь давнем ба использовании обыкновенных ба дробей, десятичные дроби ба стали выделяться ба из них значительно ба позже. Появление ба десятичной записи числа связано ба в первую очередь ба с относительной ба простотой арифметических ба действий с ними. В ба начале ба XIV века десятичные ба дроби ввел в ба рассмотрение персидский ба математик и ба астроном Джамшид ба Гияс-ад-дин аль-Каши в ба трактате «Ключ ба арифметики». В ба XV веке ба они были принесены ба в Византию. Спустя ба полтора столетия ба десятичные ба дроби были заново ба открыты в ба Западной ба Европе. Автором ба первого ба печатного сочинения о ба десятичных ба дробях был ба Симон ба Стевин, изложивший ба правила действия с ба ними в книге ба «Десятина»³.

Запись ба дробей.

Народы ба прошли через ба многие варианты ба записи дробей, пока ба не пришли к ба современной ба записи.

Как ба отмечалось ба выше, в Древнем ба Египте использовали, за ба редким исключением, аликвотные ба дроби. Поэтому ба в записи ба этих дробей использовали ба иероглиф , что ба означало «один», например ба , .

Наиболее ба часто встречающиеся ба дроби имели ба специальные ба символы, например:

ба ба

, , .⁴

Вначале в ба записи дробей ба не использовалась ба дробная черта. Черта дроби ба появилась ба лишь только в ба 1202 году ба у итальянского ба математика Леонардо ба Пизанского. Он ба ввел слово ба «дробь», а ба название компонентов дроби – ба «числитель» и ба «знаменатель» ввел ба в 13 ба веке Максим ба Плануд – греческий ба монах, ученый, математик.

Современную ба систему записи ба дробей создали ба в Индии. Только ба там писали ба знаменатель сверху, а ба числитель снизу, и ба не писали ба дробной черты. Впервые ба записывать дроби ба в точности, как ба сейчас, стали ба арабы.

Десятичные ба дроби стали ба выделяться ба Средневековой ба Европе в связи с ба повсеместным ба использованием ба десятичной ба системы ба счисления. Общепринятая ба запись с ба десятичной ба точкой, разделяющей ба целую и дробную ба части, возникла ба лишь в начале ба XIII века⁵. В России ба и нескольких других ба странах для ба разделения целой ба и дробной ба частей ба используется десятичная ба запятая.

 

1.2.  Психолого-педагогическое  обоснование обучения младших  школьников   дробным числам 

 

О ба трудностях, возникающих ба перед учащимися при ба изучении дробей, нередко ба пишут авторы методических ба пособий. Однако в ба психологической литературе ба вопрос об усвоении ба этого раздела арифметики ба до сих пор не получил ба достаточного освещения. Несмотря ба на то, что проведен ба целый ряд исследований ба по психологии обучения ба арифметике, вопрос ба об усвоении дробей изучался ба крайне мало. Основными ба источниками ба являются «Очерки психологии ба изучения ба арифметики»⁶ Н.А. ба Менчинской ба и «Психологический ба анализ основных ба трудностей в усвоении ба учащимися раздела ба о делимости чисел и ба операций с ба дробями»⁷. З.М. ба Мехтизаде. Более поздних ба публикаций, посвященных ба психологической стороне ба усвоения дробей, к ба сожалению, нет.

Основными ба причинами низкого ба качества усвоения ба понятия дроби, а также и ба последующих затруднений, с ба которыми сталкиваются ба учащиеся при его ба изучении, заключаются ба в механическом ба заучивании, в недостаточном ба внимании к ба осознанному восприятию ба понятия, установлению ба взаимосвязи ба между множествами ба изученных и ба вновь введенных ба чисел, выявлению ба общих и ба особенных характеристик ба этих множеств. В свое ба время А.С. ба Пчелко обратил на это ба внимание: «На ба разных ступенях ба обучения с ба разной смелостью неизменно ба появляется одна ба и та же тенденция: возможно ба скорее разделаться с ба введением чисел и ба дальше уже говорить о ба числах и соотношениях ба между ними»⁸.

Н.А. Менчинская ба провела исследование ба с учениками с ба целью выяснения, какие ба ступени проходят ба учащиеся при усвоении ба понятия дроби. Психолог ба выделила три этапа ба формирования понятия ба дробь⁹:

1. Дробление ба предметов даже без ба названия результата;

2. Отражение ба процесса дробления в ба представлении и речи;

3. Решение ба задач с помощью отвлеченных ба дробных чисел.

При этом ба автор подчеркивает, что ба при обучении детей ба операциям с дробями, необходимо ба переводить их через ба эти три ба последовательные ступени. Так, при ба введении понятия дробь еще в начальной ба школе нужно обеспечить ба совмещение двух аспектов ба изучения понятия ба дроби: умение видеть ба равные доли на ба рисунке (чертеже) и ба умение ба самостоятельно образовывать ба доли, расчленяя ба целое на ба части. Только после ба того, как у детей будет ба накоплен достаточный ба опыт в делении ба на равные доли реальных ба предметов, можно ба переводить их на ба более высокие ба ступени, то есть в начале ба устранять момент ба «личного» действия ба при образовании дроби, сохраняя ба зрительное восприятие ба равных долей, а затем ба исключать и этот момент ба восприятия, заставляя ба учащихся мысленно ба представлять процесс ба образования дроби.

Одной из ба причин формального ба усвоения операций с ба дробями Н.А. Менчинская называет ба несвоевременно ранее ба сообщение ба учащимся названий ба дробей (когда учащиеся ба еще не знают, как ба образуется та или иная дробь). Название ба дроби должно ба вводится в неразрывной ба связи с процессом ясного ба осознания детьми, как ба образовалась дробь. При ба таком подходе, полагает ба автор, удастся избежать ба смешения названия ба дроби. Обосновывается ба это тем, что для большинства ба детей младшего ба школьного (равно как ба и дошкольного) возраста ба любая доля, любая ба часть ба целого – это половина. Для ба ребенка не является ба существенным факт ба неравенства этих самых ба «половин», например при ба разламывании шоколада¹⁰.

Трудности при ба освоении учащимися ба операций с ба дробями объясняются ба также тем, что ба целый ряд понятий, правил ба и способов действий, с ба которыми знакомятся ба учащиеся при изучении ба дробей, вступают в ба известное противоречие с ба теми понятиями, правилами ба и способами ба действия, которые ими были ба прочно усвоены ба при изучении целых ба чисел. Об этом ба писали Н.А. Менчинская, ба З.М. Мехтизаде. Большое внимание ба этому моменту ба уделено в ба методическом ба руководстве А.С. ба Пчелко.

«Значительную ба трудность для понимания дроби, – ба говорит А.С. Пчелко, – представляет неодинаковый характер ба изменения ба дробного числа при ба изменении числителя ба и знаменателя. При ба увеличении ба числителя дробь ба увеличивается – это ба аналогично целым ба числам и это ба сравнительно легко ба воспринимается учащимися. Но ба при увеличении ба знаменателя дробное число ба уменьшается – это непривычно ба для ребят. Это ба находится даже в некотором ба противоречии с опытом ба детей в области целых ба чисел»¹¹.