Интегральное определение логарифма и его исторические корни

 Для  доказательства правила 3° воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

х=alogaх             у=alogaу   

перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху= alogaх  ·   alogaу  =alogaх  + logaу     

т.е. ху=alogaх  + logaу      Следовательно, по определению логарифма

 

 

 

Для доказательства правила 5°воспользуемся тождеством х=alogaх    

 откуда xp =(  alogaх)p=aᴾlogaх. Следовательно, по определению

 

 

 

Основное свойство логарифмов широко применяется в ходе преобразования выражений. содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

 

 

 

Эта формула верна, если обе части имеют смысл, т.е. при х>0, a>0 и a≠1, b>0 и b≠1.

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

 

откуда

                                     

разделив обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.

П р и м е р ы:

 

log 3 81 = 4 , так как 34 = 81;

 

log 1/3 27 = - 3 , так как ( 1/3 )3 = 33 = 27 .

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. 1оg 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... равны соответственно 1, 2, 3, ... , Т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... равны соответственно -1, -2, -3, ... , Т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. 1оg е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n . Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

 

 

§3. Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой.

Ту же идею сопоставления арифметической и геометрической прогрессии можно интерпретировать так.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а₀ = 2; q = 1,2. Вычисления дают:

а₀ = 2; а₁ = 2,4; а₂ = 2,88; а₃ = 3,46; а₄ = 4,15; а₅ = 4,98, ...

Строим оси  координат  и график  гиперболы  у =

Вдоль оси Ох откладываем от начальной точки О последовательно отрезки:

ОА = 1; ОР₀ = 2; ОР₁ = 2,4; ОР₂ = 2,88; ОР₃= 3,46; ОР₄ = 4,15;

ОР₅ = 4,98.

В концах этих отрезков строим ординаты точек гиперболы.   Мы   получим  криволинейную фигуру   АР₀М₀В  и ряд криволинейных фигур   Р₀Р₁М₁М₀,   P₁Р₂M₂M₁, Р₂Р₃М₃М₂.

Величина площади таких  фигур не зависит от длины отрезков

 [а₁ ... а₂], [а₂ ... а₃] и т. д., но только от отношений … В   данном   случае,   согласно   определению геометрической   прогрессии, отношения:  …  все равны между собой

…=q=1,2.

А потому  можно  утверждать, что  все   указанные площади (за исключением первой) равны между собой: S. Р₀Р₁М₁М₀ = S. P₁Р₂M₂M₁ = S. Р₂Р₃М₃М₂ = ... = S.

Площадь первой фигуры  АР₀М₀В обозначим S₀. Отсюда получаем

площадь на отрезке [1 ... а₀] = S₀

»        »        »            [1 ... а₁] = S₀ + S;

»        »        »            [1 ... а₂] = S₀ + 2S;

»        »        »            [1 ... а₃] = S₀ + 3S;

»        »        »            [1 ... а₄] = S₀ + 4S;

................................................................

»        »        »         [1 ... аn] = S₀ + nS.

Таким образом площади, опирающиеся на эти отрезки, составляют арифметическую прогрессию, в то время как длины отрезков ОР₀, OP₁, ОР₂, ОР₃,... образуют геометрическую прогрессию. Этим мы установили связь между обеими прогрессиями.

Рассмотрим ещё геометрическую прогрессию, у которой начальный член а₀ = 1:

1, q, q², q³ ,q⁴, ...

Пусть,   например,   q = 1, 2.   Если   для   этой   прогрессии построить график такой как для предыдущей, то получим ряд равных между собою площадей:

AP₁M₁B,    P₁Р₂M₂M₁,    Р₂Р₃М₃М₂; ... .

 

 

Получаем:

площадь на  отрезке  [1 ... 1 ] = O.

»            »            »      [1 ... q] = S₀;

»            »            »      [1 ... q²] = 2S₀;

»            »            »      [1 ... q³] = 3S₀;

»            »            »      [1 ... q⁴] = 4S₀;

.............................................................

»            »            »      [1 ... qⁿ] = nS₀;

И здесь имеет место соответствие между геометрической прогрессией

ОА = 1; ОР₁ = q; ОР₂ = q²; ОР₃ = q³; , ... ,

и арифметической прогрессией

0;  S₀;  2S₀;  3S₀;  4S₀;  ...

Связь между геометрической прогрессией длин отрезков и арифметической прогрессией площадей можно формулировать cлeдующим образом: возвышению в степень длины отрезка q соответствует умножение площади S₀ на число n. Площадь криволинейной трапеции над отрезком  (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.

Ф.Клейн (1849-1925) принадлежит к числу математиков–классиков обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших её лицо излагает свою идею введения логарифмов в школе по простому и естественному способу: по его мнению основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это соответствует, с одной стороны, историческому положению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математики. Следуя этому общему принципу, надо исходить из гиперболы ɳ=и назвать логарифмом х число, измеряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами боков ограничена ординатами и =х Передвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изменении х и, следовательно, приблизительно построить кривую у= ln х. Чтобы возможно более просто получить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства

 

 

которое получается при преобразовании cпеременных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и х, равна площади, заключенной между ординатами с и с х, в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!

 

Этот путь можно применить в школьной практике.

 

§4Интегральное определение логарифма.

В современных учебниках по высшей математике даётся интегральное определение логарифма, его суть та же что и площади под гиперболой, но присутствует интеграл.

Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные функции с помощью интеграла. Определим функцию ln x равенством

 

 

1. Так как функция f(t)= непрерывна в интервале (0,+∞), то интеграл (1) существует в том же интервале изменения x  и, следовательно, интервал (0,+∞) является областью определения функции ln x.

Функция ln x дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой точке области определения.

 (ln x)'=

3. Функция ln x возрастает в интервале (0,+∞). Это следует из того что в данном интервале, то есть (ln x)' >0

 

 

5. Для любых a > 0  и b>0 ln (a·b)=ln a+ln b. Для доказательства рассмотрим функцию g(x) = ln(ax). Ее производная g(x)'= , но тогда ln (ах)

и ln x являются различными первообразными функции и поэтому

ln(ах)= ln х + С.

Полагая в этом равенстве x=1, получаем lna =С. Таким образом,

ln(ах)= ln х + ln a

Очевидно, методом математической индукции это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых. Из равенства

ln a=)+lnb

Получаем

)=ln a  ̶  ln b

 

6. Для любого xϵ(0,∞) и любого действительного a справедливо равенство

ln(xª)=a ln x

 

7. Множество значений функции ln x есть все множество действительных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции ln x множество её значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен сверху и снизу, так как, например,

 

ln2n =nln2, а ln2-n =-nln2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной курсовой работе  мы  рассмотрели исторические аналоги некоторых современных определений логарифма и современные определения логарифма. Трехсотлетняя практика всех вычислителей вполне доказала, что благодаря логарифмам числовые вычисления были чрезвычайно облегчены.

Таким образом, с точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим более древним великим изобретением Индусов— нашей десятичной системой нумерации..

История логарифмов служит одним из бесчисленных подтверждений мысли о взаимоотношении теории и практики, блестяще выраженной великим русским математиком П. Л. Чебышевым: «Практика предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитей ее, то она еще больше приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике».

Были изучены 17 источников по данной теме. Нашли исторические аналоги интегрального  определения логарифма, рассмотрели определения Джона Непера и Иоста Бюрги. Сравнили определения логарифмов как показателя степени, исторические и современные определение. Изучили возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой. Наша гипотеза подтвердилась и мы убедились что логарифмы в школьном курсе математики можно вводить опираясь на исторические корни этого определения, но так как формат курсовой работы не позволяет этот объёмный вопрос раскрыть полностью, то более полно этот вопрос мы рассмотрим при выполнение дипломной работы. Использование на уроках элементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большое мировоззренческое и общекультурное значение, может оказывать воспитывающее влияние.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Абельсон И.Б. Рождение логарифмов. М.: ГИТТЛ,- 1948.
2. Белобородова С.В. Об историко-генетическом методе.
3. Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов.  Харьков, -1952.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. -М.: Просвещение, -1964.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.:   Просвещение.-1982.
6. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. – 1983.
7. История математики под редакцией А.П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
8. Том 1С древнейших времён до начала нового времени- М.: Наука, -1970.
9. Том 2 Математика17 столетия.- М.: Наука,- 1970
10. Том3 Математика18 столетия.- М.: Наука, -1972
11. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. - М.:Учпедгиз. - 1958.
12. Маркушевич А.И. Площади и логарифмы.- М.: Наука -1979.
13. Математический энциклопедический словарь.  Гл.ред Ю.В. Прохоров.
14. М.: Сов энциклопедия,1988.
15. Успенский Я.В. Очерк истории логарифмов. Петраград, -1923.
16. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
17. Клейн Ф. Элементарная математики с точки зрения высшей