Интегральное определение логарифма и его исторические корни

 

 

Интегральное определение логарифма и его исторические корни

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

          Введение.........................................................................................................3

 

Глава1. Исторические аналоги некоторых современных

определений логарифма.

§1 Характеристика Европейской математики 17 века……………………4

§2 Логарифмы как средство вычислений…………………………………5

п.1 Определение логарифма Иоста Бюрги……………………………….6

п.2 Определение логарифма Джона Непера……………………………..7

§3 Интегральные методы 17 века……………………………….. ………..9

§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади

под гиперболой. …………………………………………………………..11

§5 Метод Николая Меркатора нахождения площади

под гиперболой............................................................................................13

Глава2. Некоторые современные определения логарифмов.

§1 Об историко - генетическом методе………………………………….14

§2 Логарифм как показатель степени …………………….......................18

§3 Введение логарифма в школьном курсе математики как

площадь под гиперболой………………………………………................21

§4 Интегральное определение логарифма…………………….... ……...24

Заключение………………………………………………………...............26

Список литературы………………………………………………………..27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено интегральное определение логарифма и его исторические корни.

Логарифм – число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление – вычитанием, возведение в степень – умножением и извлечение корней – делением. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.

В период математики переменных величин в связи с появлением функциональных представлений и развитием интегрального и дифференциального исчисления появилась возможность по другому подойти к определению логарифма.

Объект исследования – история логарифмов.

Предмет – история интегрального определения логарифма.

Цель курсовой работы: найти исторические аналоги интегрального определения и сравнить с современными.

Задачи:

1. изучить литературу по данной теме;
2. рассмотреть определения  логарифма у Джона Непера и  Иоста Бюрги;
3. найти исторические аналоги интегрального определения логарифма;
4. привести  определения логарифма как показателя степени; интегральное определение логарифма, вывести свойства и сравнить их;
5. сравнить исторические и современные определения            логарифмов;
6. изучить возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площади под гиперболой;
7. познакомиться с историко-генетическим методом;
8. рассмотреть возможность введения логарифма историко-генетическим методом в школьном курсе математики;
9. структурировать материал по главам и параграфам.

 

Гипотеза: возможно вводить логарифмы в школьном курсе математики как площадь под гиперболой, опираясь на исторические корни этого определения.

           Курсовая работа состоит из  двух глав. В первой главе прослеживается  исторические аналоги некоторых современных определений логарифма. Вторая глава описывает некоторые современные определения логарифма и возможность применения историко-генетического метода при введении этого понятия.

 

Глава1.Исторические аналоги некоторых современных определений логарифма.

§1Характеристика Европейской математики 16-17 века.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Трудности возникли и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.     

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа.

Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых или значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления.

 Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются  числа, появляются уравнения, в которых  неизвестны и подлежат определению  функции.

 

 

 

§2Логарифмы как средство вычислений

Первые идеи логарифмического вычисления в их грубейшей форме возникли из сопоставления членов геометрической прогрессии с арифметической прогрессией их порядковых номеров или же чисел, им пропорциональных.

Следы такого сопоставления восходят к древности и довольно ясно выражены в одном месте Архимедова «Псаммита». Это небольшой арифметический трактат. Почти сто лет назад «Псаммит» был переведен на русский язык Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Но эта книга представляет библиографическую редкость, а язык перевода, в общем довольно точного, слишком тяжел и архаичен.

И  в своем «Псаммите» Архимед выражается так: „Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции (т. е., по нашей терминологии, находящихся в геометрической прогрессии), начиная от единицы, и если два члена его перемножить, то произведение будет членом того - же ряда, настолько удаленным от большего множителя, на - сколько меньший удален от единицы; он же будет удален от единицы одним членом меньше против того, насколько удалены от нас оба множителя вместе".

При современных обозначениях смысл этого места можно передать так: если с геометрической прогрессией

  1, α, α² ,αᵌ,. . .

сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов

1, 2, 3, 4,...,

то произведение двух членов первой аᵐ и аⁿ будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1.

Это, хотя и простое, но важное замечание Архимеда не осталось незамеченным и повторяется почти во всех значительных сочинениях XV и XVI столетий с тем лишь улучшением более позднего происхождения, что за порядковые номера членов геометрической прогрессии принимаются числа 0, 1, 2, 3,... или им пропорциональные. Так, у французского математика Chuquet в его сочинении 1484 года LeTripаrty сnlascicncecles Nombres" мы находим, в виде примеров, сопоставление прогрессий

          0, 1, 2, 3,...        или            0, 1, 2, 3,….

          1, 2, 4, 8,…                         1, 3, 9, 27,…

 

с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов

геометрической прогрессии отвечает в арифметической  прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.

     Похожие замечания, которые были у Архимеда  встречаются  и у других авторов.

 

п.1 Определение логарифма Бюрги.

  Швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) был высококвалифицированным механиком и часовых дел мастером, математику он изучил самостоятельно. Он состоял придворным часовщиком, а также мастером астрономических инструментов сначала в Касселе, затем с 1603 г. в Праге, где сблизился с Кеплером. Мы не знаем, когда в точности Бюрги приступил к созданию своих таблиц, но, вероятно, они были готовы около 1610 г. Бюрги долго медлил с их изданием, и они вышли в свет уже после двух трудов Непера; за эту задержку Кеплер впоследствии порицал своего друга. Книга Бюрги озаглавлена «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях»

Бюрги — об этом он писал сам — исходил из соображений о соответствии между умножением в геометрической прогрессии и сложением в арифметической, которые он почерпнул, правда, не у Штифеля (так как не знал латыни), а у других авторов, писавших по-немецки. Задача состояла в выборе прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице с тем чтобы ее члены следовали друг за другом с интервалами, достаточно малыми для практических вычислений. Бюрги взял знаменатель 1,0001 и сопоставил числа 0, 10, 20, ..., 10n, ... арифметической прогрессии с членами геометрической 10000000, 100010000, 100020001, ..., 108·1,0001ⁿ, ... Первые числа, напечатанные красной краской, называются красными, вторые напечатаны черной краской и называются черными. Красные числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при основании . Множитель 108 введен для того, чтобы по возможности долго избегать дробей. Так как таблицы расположены по красным числам, то они представляют собой таблицы антилогарифмов (термин, введенный в этом смысле Валлисом, 1693). Поэтому для умножения и деления черных чисел чаще всего нужна интерполяция. Вычислены черные числа с девятью верными цифрами.

Красные числа следуют с интервалом в десять, за одним исключением. Таблица черных чисел начинается с 108, и Бюрги заканчивает ее черным числом 108 , для которого с помощью интерполяции вычисляет «полное красное число» 230270,022. Это число применяется при делении a/b, когда а<b, подобно тому как в десятичных логарифмах добавляется целая характеристика, чтобы избежать отрицательной мантиссы. Именно, вместо a/b Бюрги в этом случае находит он складывает красные числа соответствующие а и 108, вычитает из суммы красное число, соответствующее b, и по результату находит черное число с девятью десятичными знаками, дающее дробь a/b. Если а>b, Бюрги вычитает из красного числа для a красное число для b и находит черное число, соответствующее результату; полученное число дает восемь десятичных знаков дроби a/b.

Таблицы Бюрги не получили значительного распространения. Они не могли конкурировать с таблицами Непера, более удобными и к тому же к 1620 г. уже широко известными.

 

     п.2 Определение логарифма Непера

  К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 г., но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614, содержавшее определение неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90° с интервалом в 1', а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов», 1619г.  В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.

В отличие от Бюрги, сопоставившего две дискретные прогрессии, Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин — синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV в.   Исходные определения из «Описания»:

«Опp. 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.

  Опр.2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются

 Опр.3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются числами с наибольшим приближением, когда они определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.

 Опр.4. Синхронными движениями называются те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.

 Опр.5 и постулат. Так как существуют движения как более медленные, так и более быстрые, чем всякое данное движение, то отсюда необходимо следует, что существует движение равно быстрое всякому данному (которое определяется как движение ни более медленное, ни более быстрое, чем данное).