Интегральное определение логарифма и его исторические корни

         Опр.6.Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры».

Здесь в геометрическом выражении высказаны многие замечательные идеи.  Отметим только своеобразную формулировку идеи о непрерывности в третьем определении и обратимся к основному, шестому определению логарифма.

Если изобразить полный синус, т. е. радиус круга, у Непера равный 107, отрезком АВ, а линию синуса — отрезком  YB= у , то логарифмом у (обозначим его Lу) будет отрезок ОХ = х, проходимый точкой X, начинающей движение из О с постоянной скоростью v0 , за то самое время, в какое точка Y, одновременно выходящая из А с той же начальной скоростью v0, проходит отрезок AY со скоростью, пропорциональной расстоянию, остающемуся до другого конца В, т. е. пропорциональной YB. На языке дифференциального исчисления

 

 

 

 

 

.

Как видно, неперов логарифм числа у не есть, как иногда пишут в учебниках анализа, натуральный логарифм этого числа: Ly выражается через ln у линейно. Многие свойства логарифмов Непера поэтому несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем смысле слова. Главное, конечно, у них общее: если четыре числа образуют геометрическую пропорцию

y1 :y2=y3:y4 то их логарифмы составляют арифметическую пропорцию

 Ly1 Ly2 = Ly3 Ly4, т.е. геометрической прогрессии чисел соответствует арифметическая прогрессия логарифмов. Однако, поскольку

L1 = 107 ln 107, т. е. L1 не равен нулю, правила действий усложняются: так, например,

L(ab) = La + LbL1, L =La  Lb + L1

и т. п. В примерах Непера, правда, L1 выпадает, но лишь потому, что в них вычисляются четвертая и средняя пропорциональные, например:

= L (ab) — Lc + L1=La + Lb — Lc.

Нулю равен неперов логарифм числа 107, т. е. полного синуса или радиуса. Этого и добивался Непер, имевший в виду прежде всего тригонометрические вычисления. Поскольку тригонометрические величины рассматривались еще не в отношении к радиусу, а как отрезки, выраженные в тех же единицах, что полный синус, последний входил в формулы и на него часто приходилось умножать и делить. Равенство нулю логарифма полного синуса представляло в таких условиях определенные преимущества. По мере уменьшения натуральных значений синуса неперов логарифм возрастает, а при синусе, равном нулю, обращается в бесконечность. В таблице Непера в строке, в которой в графе синуса обозначен 0, в графе логарифма синуса стоит слово Infinitum— «бесконечность».

Разумеется, Непер не записывал и не интегрировал приведенное выше дифференциальное уравнение, которое выражает кинематическое определение логарифма. Но фактически его прием составления таблиц равносилен приближенному численному решению дифференциального уравнения. Сначала находится весьма малый отрезок, проходимый точкой X, когда точка Y перемещается из начального положения А на расстояние 1, т. е. вычисляется L9999999. Опираясь на представление о мгновенной скорости и сравнивая скорости точек X иY , Непер выводит, что

107-y<Ly<107/y (107- y )

и для y = 9999999 принимает в качестве логарифма среднее арифметическое

чисел 1 и 107/9999999 = 1,00000010000001..., так что L9999999= 1,00000005 (с точностью до четырнадцатого знака). Здесь, как и всюду, Непер пользуется десятичными дробями. Далее для арифметической прогрессии логарифмов

 хn = 1,00000005n он находит соответствующую геометрическую прогрессию чисел

уп = 107(1-1/107)n,  где п = 1, 2, 3,… ,100.

Это нетрудно, так как здесь нужны только вычитания; уk=уk-1- 0,0000001yk-1

Так получается, при подходящих округлениях, L9999900.

Отношение числа 9999900 к 107 есть 1-1/105 , и Непер переходит к вычислению логарифмов  уп = 107(1-1/105)n, до n=50, причём логарифму у1 известен. Аналогично применяются прогрессии 107(1-1/2·103)ⁿ и в особенно большом объёме 107(1-1/102)ⁿ.Числа уп округляются, и с помощью оценки разности логарифмов близких чисел, основанной на приведенном выше неравенстве, вычисляются их логарифмы. Так Непер доходит до L5000000.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Ненеру, он возник из сочетания греческих слов — отношение и число, которое означало «число отношения» что напоминает о двойных, тройных, полуторных и иных целых или дробных отношениях древней и средневековой математики. Первоначально Непер пользовался другим термином: numeriartificiales— «искусственные числа» — в противоположность numerinaturales— «числам естественным».

                                                

§3 Интегральные методы 17 века.

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения.

Элементы интегрального исчисления можно найти в трудах Архимеда (287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.): в сочинении «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах некоторых тел. Для решения этих задач Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н. э. — ок. 355 г. до н. э.).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.

Систематическое развитие эти методы получают в XVII веке в работах Б. Кавальери Б (1598—1647),Э. Торричелли (1608—1647), П. Ферма (1601—1665), Б. Паскаля (1623—1662) и других учёных. Но их изыскания в основном имели разрозненный и утилитарный характер — решались конкретные самостоятельные задачи. В 1659 году И. Барроу (1630—1677) установил взаимосвязь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной.

Основы классического интегрального исчисления были заложены в работах И. Ньютона (1643—1727) и Г. Лейбница (1646—1716), которые в

70-х годах XVII века отвлеклись от упомянутых частных прикладных задач и установили связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Это позволило Ньютону, Лейбницу и их ученикам развить технику интегрирования. Своего нынешнего состоянию методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера (1707—1783). Развитие методов завершили труды М. В. Остроградского (1801—1861) и П. Л. Чебышёва (1821—1894).

Исторически под интегралом понимали площадь криволинейной трапеции, образованной заданной кривой f(x) и осью координат. Для нахождения этой площади отрезок ab разбивали на n необязательно равных частей и строили ступенчатую фигуру (на рисунке 1.1 она заштрихована). Её площадь равна

(1.1)

где yi — значение функции f(x) в i-той точке ( ), а

dxi = xi + 1 − xi.

Г. Лейбниц в конце XVII века обозначил предел этой суммы как

                                                                                     ( 1.2)

Так как на тот момент времени понятие предела ещё не сформировалось, поэтому Лейбниц ввёл новый символ для суммы бесконечного числа слагаемых — видоизменённую курсивную латинскую «S» — первую букву лат. summa (сумма).

Слово «интеграл» происходит от лат. integralis — целостный. Это название было предложено учеником Лейбница Иоганном Бернулли (1667—1748), чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

В дальнейшем обозначение Лейбница усовершенствовал Ж. Фурье (1768—1830). Он явно стал указывать начальное и конечное значение x:

 

(1.3)

 

введя тем самым современное обозначение определённого интеграла.

В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность).

 

§4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади под гиперболой.

Грегуа́р де Сен-Венса́н (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 22 марта 1584, Брюгге — 5 июня 1667, Гент) — бельгийский математик, иезуит.

Закончил университет в Дуэ (1600 год). В 1605 году в Риме стал иезуитом, изучал там труды Галилея и Клавиуса. После смерти Клавиуса (1612) вернулся в родную Фландрию. Был профессором в Антверпене (1617-1620) и Лёвене (1621-1625).

Главное сочинение де Сен-Венсана: «Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений» (лат. Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni, закончен в 1629 году, опубликован в 1647 году). Среди его значительных открытий:

Вычисление площади под гиперболой.

Рассмотрим равнобочную гиперболу Возьмём на гиперболе четыре точки  A,B,A',B', так чтобы a,b,a',b' получили пропорцию a:b=a':b'. Тогда криволинейные трапеции AabB и A'a'b'B' будут равновеликими:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

   

 

 

 

 

 

А 

В 

А' 

 В' 

        а       b          aʹ              bʹ            x                             

                                                                                               

Рассмотрим на гиперболе несколько точек, абсциссы которых

x0=1, x1=q, x=q2…, составляют прогрессии xk=qk,...                             (1)

Получим ряд криволинейных трапеций, площадь каждой из которых равна какому-то числу S, т.е.

 

Обозначим площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке

( x₀, xk) или (1,x) через Sk, соответственно S(x), т.е. S(x) =, тогда получим Sk = kS или  S(x)=xS.                                                                     (3)

Это говорит о том, что если абсцисса x точки, скользящей по гиперболе, образуют геометрическую прогрессию, то площади S(x), соответствующих криволинейных трапеций образуют арифметическую прогрессию

0, S, 2S, 3S, ...,xS, ...

Если обозначим через e такое число, для которого S(e)=1 и принять q=e1/n,  где n – натуральное число, то получаем геометрическую и арифметическую прогрессии:

1,e1/n, e2/n,… eх/n,…,e,…,

0, S, 2S, 3S, ...,xS,…,1,…

согласно (3) получим: S(qn)=nS(q), т.е. 1= nS(e1/n) или S(e1/n)=1/n

Обобщая полученный результат имеем:

S(x)= или S(x)=

Это означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком  (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.

 

 

§5 Метод Николая Меркатора вычисления логарифмов.

Около 1686  г. математику  Николаю Меркатору  из Голштинии случайно  удалось,  путём несложного преобразования,   найти естественное решение  задачи о площади «под» гиперболой. И до Меркатора было известно несколько решений задачи о площади «пол гиперболой», но все они были сложны и искусственны.

Гипербола, которая является графиком функции  y

 

Теперь, оставляя ось Ох прежней, перенесём ось Оу на единицу  вправо в положение О1у1. Если точка N, взятая на гиперболе, имела раньше абсциссу ОР = х, то новая абсцисса будет О1Р- обозначим её через z. Тогда z = x ̶ 1 или же х = 1 + z. Уравнение нашей линии (гиперболы) y принимает вид: .

Если, например, ОР = 1,8 ед. и искомый логарифм   обозначен как , то теперь мы должны его обозначить как   ,

так как новая абсцисса z изменяется, от значения 0 до значения 0,8. И вот Меркатор (в этом решающий шаг!) привлекает формулу суммы убывающей геометрической   прогрессии.  А именно,   

1-z+z²-z³-z⁴-z⁵+…   =

Казалось бы эта формула нужна для того, чтобы сложное выражение бесконечной суммы преобразовать в простое, стоящее справа. Меркатор же наоборот, заменяет простую дробь 1/1+z бесконечным знакопеременным рядом, расположенным по степеням буквы z. Он получает: пл «под» гиперболой (логарифм),

=

Стоящий знак интеграла, означает площадь, а уравнения

у = 1,   у = —z,   у = z2,   у = —z3, ...

означают   параболы  последовательных   степеней. Итак, «ключ» Меркатора, который он применил для открытия незнакомой замкнутой  шкатулки — это  замена  площади гиперболы  рядом площадей  последовательных парабол.

Во времена Меркатора формула площади для параболы

 

была уже хорошо  известна.  Что же касается того, что ряд парабол тянется неограниченно далеко (до бесконечности), то Меркатор об этом мало беспокоился. Примерно через 150 лет после него математикам стоило многих трудов доказательство того, что при этом переходе сразу к несметному множеству площадей парабол мы не совершаем ошибки, одним словом, логически-строгое доказательство далось нелегко. Но в ту эпоху, когда жил Меркатор, можно было не входить в эти тонкости и беззаботно попеременно прибавлять и  вычитать площади последовательных парабол:

 

 

 

=0,8 кв. ед