Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

Анализ результатов исследований отечественных и зарубежных методистов [24, 29, 33, 36, 37, 50, 100, 129, 152, 160, 174], занимающихся вопросами введения элементов стохастики в школьный курс математики, во многом опирающихся на исследования психологов в области вероятностных представлений учащихся, позволяет сделать следующие выводы:

1. Если в течение первого периода (примерно с 4 до 7 лет) мышление развивается в сфере непосредственной деятельности ребенка, оставаясь таким же далеким от понятия случайности, как и от операциональной дедукции, то в возрасте начальных классов - второй период (примерно с 7 до 11 лет), по словам А.В. Прохорова (канд. физ.-мат. наук, преподаватель математических методов в психологии), у ребенка уже «есть некоторое представление о событиях, которые могут происходить, но он еще не осознает, как это связано со случайностью» [69, с. 19]. Кроме того, учащимся не хватает математического аппарата (простых дробей) для объяснения представлений о вероятности, тогда как основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики, систематический перебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы [29, 36, 43, 174].

«В течение третьего периода (12-15 лет), когда появляются формальные и, в частности, комбинаторные операции, подросток приобретает способность оценивать общее число возможностей и осознавать отношения между благоприятными случаями и всей совокупностью, рассматриваемой как сумма сочетаний всех возможных случаев. Оценивание вероятности, таким образом, является результатом сравнения совместных обратимых событий, с одной стороны, и необратимых случайных событий, с другой, в то время как лишь самая малая часть универсума возможных событий реализуется в действительности» [69, с. 276]. Ж. Пиаже отмечает, что, «между 12-15 годами подросток и юноша начинают выполнять операции, связанные с комбинаторным анализом, системой перестановок независимо от школьного обучения» [69, с. 236]. Однако, в процессе обучения в VI-VII классах, когда «традиционным содержанием обучения комбинаторное мышление целенаправленно не развивается, навыки решения комбинаторных задач существенно снижаются и начинают восстанавливаться в IX-X классах благодаря естественному развитию логического мышления к 14-15 годам.

На основании вышеприведенного, мы выделяем следующие компоненты вероятностного мышления:

1. логический (процесс формирования вероятностного мышления большинство исследователей связывают «с познанием сущности вероятностных явлений, имеющих место во многих областях человеческой деятельности, с выявлением их закономерностей с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, сравнение, классификация), осознанным использованием вероятностных знаний, умений для принятия эффективного самостоятельного решения в ходе своей профессиональной деятельности» [125, 196]. В связи с чем, при решении вероятностных задач у учащихся формируются основные приемы логического мышления, такие как сравнение, связанное с выделением в предметах общего и различного; анализ, связанный с выделением и словесным обозначением в объекте разных свойств и признаков; обобщение, связанное с отвлечением от несущественных признаков объектов и объединением их на основе общности существенных признаков);
2. комбинаторный (комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре мышления, а наиболее характерной чертой комбинаторного мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи, способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий);

3) вероятностно-статистический (умение учащихся оперировать понятием «вероятность», ориентироваться в ситуациях неопределенности, анализировать информацию статистического характера).

Таким образом, психолого-педагогические аспекты формирования вероятностного мышления заключаются в следующем:

1. Представления о случайности и вероятностное мышление развиваются в рамках операциональной теории развития интеллекта, предложенной Ж. Пиаже. В качестве же основы обучения вероятностно-статистическому содержанию «выступает операциональная концепция научения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев), которой отвечает организация обучения в соответствии с этапами концепции поэтапного формирования умственных действий, выдвинутая П.Я. Гальпериным» [20, 116].
2. Поэтапное знакомство с вероятностными идеями и методами, начиная с начальных и заканчивая старшими классами школы, оказывает благоприятное воздействие на процесс формирования и развития вероятностного мышления школьников.
3. Знакомство с элементами стохастики в начальных классах происходит на наглядно-интуитивном уровне, с привлечением большого количества игр, экспериментов, опытов, что закладывает первые эмпирические представления о случайных закономерностях. Для формирования вероятностных представлений наиболее благоприятен возраст 10-13 лет (У-УП классы российской школы). Этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений ребят.
4. Переход на стадию «формальных операций» (11-15 лет), преобладание абстрактного и теоретического мышления, появление способности рассуждать с помощью вербально сформулированных гипотез (15-17 лет) является благоприятствующим и существенным условием для формирования вероятностного мышления в основной и старшей школе.