Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

Таким образом, основная цель введения вероятностной линии в школьное образование заключается в развитии вероятностного мышления, вероятностной интуиции учащихся, в формировании адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Так, по мнению Л.О. Бычковой, «в том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения» [33]. В связи с чем, автор в качестве одной из важнейших задач вероятностно-статистического образования выдвигает «формирование методологически правильных взглядов на природу и общество, отвечающих современной научной картине мира» [33].

История внедрения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики охватывает достаточно большой период времени. В своих диссертационных исследованиях В.Д. Селютин [159], Д.В.Маневич [100], C.B. Щербатых [196], A.B. Ванюрин [34] достаточно подробно рассматривают этот вопрос в контексте российской школы. Согласно их исследованиям, попытки включения элементов теории вероятностей и математической статистики в программы различных российских учебных заведений предпринимались многократно, начиная еще с первой половины XIX века. Так, на II Всероссийском съезде преподавателей математики 28 декабря 1913 г. профессор П.А. Некрасов выступил с инициативой введения элементов стохастики в школьный курс математики. При этом за основу он предложил взять программы, действовавшие в те годы в школах Англии. Эти программы включали в себя следующие темы: теория соединений, вероятность, теорема Бернулли, теоремы сложения и умножения вероятностей, математическое ожидание, теорема Чебышева, формулы Байеса, задача о разорении игроков, страхование жизни. Но, тем не менее, реализации идей съезда помешала начавшаяся Первая мировая война, а затем революция.

Попытки введения элементов  стохастики в школьный курс математики предпринимались и после революции 1917 года. Так, например, разделы, содержащие вопросы теории вероятностей и математической статистики, были включены в программы рабочих факультетов физико-технического и биологического направлений. Но, как показывает история, школа того времени по ряду причин, среди которых нехватка учебников, отсутствие методических пособий, несовершенство методов преподавания и т.д., не могла обеспечить необходимых стохастических знаний учащихся.

В начале 60-х годов Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным был  поставлен вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе.

На массовое обсуждение в педагогической печати этого периода  времени вопроса о развитии статистического мышления школьников указывает H.H. Авдеева: «Дело в том, что с формированием молекулярно-кинетических представлений о строении вещества концепции строгого детерминизма, господствовавшие в естествознании в прошлом веке, начали систематически дополняться статистико-вероятностной терминологией. В настоящее время достаточно твёрдо укоренился взгляд, что наряду с классическим детерминизмом необходимо рассматривать закономерности более широкого типа — статистического, или вероятностного» [3].

Таким образом, в связи  с реформой школьного математического  образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по теории вероятностей в силу неподготовленности школы к их восприятию. Как отмечает Е.А. Бунимович, «материал, предлагаемый школьникам на формально-логическом уровне, оказался чрезвычайно сложным и плохо усваивался учащимися. К тому же неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших математических классов, изучавших формулы комбинаторики и знакомых с классической вероятностной моделью, показали, сколь мало эти знания способствуют развитию вероятностной интуиции и изживанию традиционных вероятностных предрассудков» [30].

Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного. По желанию учителей и учащихся в 80-90-х гг. элементы стохастики рассматривались на факультативных занятиях в старших классах средней школы.

В настоящее время в соответствии с приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № 03-93 ин/13-03 от 23.09.2003 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение [18, 157]. Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать преподавание этого материала в основной школе с 2003-2004 учебного года, а с 2006-2007 учебного года этот материал должен был быть включен в программы 5-8 классов.

Как отмечает Е.А. Бунимович, «в нашей  стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющей в обязательное школьное математическое образование» [29]. Но, тем не менее, по словам М.В. Ткачёвой, «отечественная школа ещё не окончательно определилась с приоритетами как в целях изучения стохастики, так и в отборе содержания стохастического материала» [174].

3. Психолого-педагогические аспекты формирования и развития теоретико-вероятностного мышления учащихся.

В современном образовании важную роль играет гуманистическая направленность обучения, когда в центр учебно-воспитательного процесса ставится личность учащегося, а одной из основных задач становится развитие личностных качеств и, в частности, познавательной сферы учащихся. В сферу интересов личности входит умение адаптироваться к новым жизненным условиям: анализировать ситуацию, адекватно изменять организацию своей деятельности, уметь владеть средствами коммуникации, добывать информацию и пользоваться ею. Если с этой точки зрения обратиться к целям школьного математического образования, то одной из первоочередных и важнейших задач является развитие мышления учащихся. Развивая мышление учащихся, учитель-предметник не только использует рекомендации психологов, но и учитывает специфику их применения в зависимости от содержания учебного материала и методологических принципов данной науки.

Что касается изучения основ теории вероятностей и математической статистики в школе, то здесь вопрос психологической  готовности учащихся к адекватному восприятию данного материала встает особенно остро. Д.В. Маневич говорит об осложнении мыслительной деятельности учащихся при изучении теории вероятностей по сравнению с изучением других дисциплин. По его мнению, «это одна из препятствующих причин проникновения теории вероятностей в среднее образование» [100]. По словам В.А. Маркова, «парадоксальные, неклассические понятия и образы вызывают необходимость радикальной перестройки физического мышления, требуют вживания в новые сущности» [101].

Таким образом, в настоящее время  перед разработчиками нового содержания школьного курса математики на одно из первых мест выдвигается проблема возрастной и социальной готовности учащихся к осознанию тех или иных стохастических процессов, к теоретическим обобщениям закономерностей в массовых случайных явлениях. Для решения сформулированной проблемы, сводящейся фактически, к оптимальной «привязке» конкретного стохастического учебного материала к социально-мотивационным, нравственным и интеллектуальным особенностям школьников, необходимо обратиться к психологам и вспомнить общие закономерности мыслительной и познавательной деятельности детей в разных возрастных группах.

Психологами обосновано, что умственное развитие включает в себя ряд психических процессов. Это наблюдательность, восприятие, память, мышление, воображение и др. Но ни одному явлению при изучении психологии развивающегося ребенка не уделялось столь пристального внимания, как мышлению и речи. Это объясняется тем, что речь и мышление - «основа интеллекта, а проблема развития интересует ученых, в частности для того, чтобы определить правильный подход к интеллектуальному воспитанию» [116].

Развитие мышления — это изменение  его понятий и форм, которые  образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. Психологи утверждают, что мышление в своем развитии проходит ряд этапов: наглядно- действенное (развивается у ребенка до 3-х лет), наглядно-образное, (развивается в возрасте 4-7 лет) словесно-логическое (развивается в первые годы обучения). У школьников среднего и старшего возраста последний вид мышления становится особенно важным: «задача решается ими в словесной форме, образуются и используются наиболее отвлеченные понятия, создаются различные алгоритмы решений и т.д.» [142]. При изучении любой области знаний «мышление человека последовательно проходит эти этапы развития заново, а пропуск этапов в формировании действий, адекватных соответствующему содержанию, дает негативные последствия» [20]. В связи с этим, в. своем диссертационном исследовании В.А. Болотюк отмечает: «Все традиционные темы школьного курса математики единообразны, так как отвечают специфике жестко детерминистического мышления. Поэтому знакомство с каким-либо новым разделом математики в старших классах, учитывающим классический детерминизм происходит успешно. Иначе обстоит дело с изучением вероятностно-статистического содержания, которое отвечает статистическому типу мышления. Это связано с тем, что формальные курсы ориентированы на словесно-логическое мышление, но мышление в области вероятностно-статистических представлений у старшеклассников находится в лучшем случае на уровне наглядно-действенного мышления, так как формальному курсу не предшествовало никакое обучение на вероятностно- статистическом материале» [20]. Именно в этом автор видит причину неудачи обучения основам теории вероятностей в 60-70-х гг. и всех последующих попыток обучения этому содержанию на абстрактно-формальном уровне.

Использование элементов стохастики в процессе обучения математике оказывает непосредственное влияние на формирование, развитие и совершенствование всех трех форм мышления у учащихся.

Исследованию вопросов формирования представлений о случайности  и вероятностного мышления у человека посвящены исследования как отечественных, так и зарубежных психологов (Ж. Пиаже, Б. Инельдер, Е. Фишбейн, И.М. Фейгенберг, A.B. Брушлинский и др.) [25, 31, 39, 69, 149, 156, 170, 181].

Е.С. Рапацевич, рассматривая различные  взгляды на природу мышления и  его механизмы, замечает, что «под влиянием теории вероятностей мышление стали понимать как вероятностный процесс. Так, Б.Г. Ананьев говорит о вероятностном характере познавательных процессов у человека. Аналогичного взгляда придерживается А.Р. Лурия. К.К. Платонов и Г.Г. Голубев считают «мышление вероятностями» одним из видов мышления» [149].

И.М. Фейгенберг отмечает очень важную особенность памяти человека — способность  к вероятностному прогнозированию, т.е. «способность сопоставлять поступающую через анализаторы информацию о наличной ситуации с хранящейся в памяти информацией о соответствующем прошлом опыте и на основании этого сопоставления строить предположения о предстоящих событиях, приписывая каждому из этих предположений ту или иную степень достоверности. В любой деятельности человек предвидит наиболее вероятные возможности дальнейшего развития событий, включая наиболее вероятные результаты собственных действий. ... Вероятностное прогнозирование — это «моделирование» вероятностно-организованного мира живущим в этом мире существом» [181, с. 88-100]. Действительно, большинство наших действий заключает в себе непосредственную оценку более или менее вероятного характера ожидаемых событий или событий, которых мы, возможно, опасаемся. «В течение всей жизни мы вынуждены действовать и принимать решения, учитывая известную из опыта частоту повторяемости тех или иных событий...» [69, с. 262]. Прогнозирование развития событий и планирование собственных действий для достижения желаемых результатов являются неотъемлемыми моментами любой деятельности человека и входят во многие концептуальные системы.науки о поведении, по-разному преломляясь в различных теориях (H.A. Бернштейн, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, П.К. Анохин, E.H. Соколов, Д.Н. Узнадзе и др.) [39, с. 6].

В.В. Налимов отмечает, что «разговор о вероятностном мышлении относится не столько к развитию самой математики, сколько к использованию математики для вероятностного описания внешнего мира, минуя тот жесткий детерминизм, в который западная культура была погружена изначально. Естествоиспытатель, обращенный к вероятностно-статистическим представлениям, начинает мыслить иначе, чем это было традиционно принято» [114]. В связи с этим большинство исследователей в области методики преподавания основ стохастики, оперируя понятием вероятностное мышление, отмечают, что «если мышление опирается на комплекс статистических представлений и идей, то его называют статистическим стилем мышления, в противном случае — жестко-детерминистическим стилем мышления», подразумевая под стилем мышления «систему принципов, интеллектуальных стратегий, приемов, операций, характеризующую, регулирующую и ориентирующую процесс познавательной деятельности, в основе которого лежит система идей и научная картина мира» [21].

С точки зрения философии, «вероятностный стиль мышления — понятие современной логики и методологии научного познания, означающее ориентацию научной мысли на статистические, стохастические законы и выражение их средствами вероятностной математики» [180]. В.А. Балашов отмечает, что «человеческое мышление носит большей частью вероятностный характер. Вероятностное мышление занимает промежуточное положение между (дедуктивной) логикой и интуицией: одним своим «концом» оно перетекает в дедуктивное мышление.; другим — в интуитивное» [11, с. 527].

Д. Канеман выделяет следующие: эвристические  черты, вероятностного мышления- [77]: «доступность - касается склонности людей оценивать вероятность события^ основываясь на том, насколько легко подобные события приходят им на ум; репрезентативность - относится к склонности оценивать вероятность события исходя из того^ в какой степени это событие соотносится с подходящей психической моделью; закрепление и корректировка относятся к процессу вынесения общего суждения, при котором изначально данный или генерированный ответ действует как якорь, а дополнительная информация используется лишь для того, чтобы откорректировать этот ответ».

В настоящем исследовании; мы будем  придерживаться определения вероятностного мышления, выдвинутого советским психологом, доктором психологических наук, профессором Б.М. Тепловым (1896-1965); согласно которому, вероятностное мышление «обозначает вид мышления, в структуру которого входят суждения о- степени вероятности, ожидаемых событий» [38]. В данном определении отражено важнейшее понятие теории вероятностей — вероятность, являющееся, таким образом, предметом; исследования и изучения не только математики, но и психологии, философии,.логики. Отметим, что в большинстве исследований наряду с термином «вероятностное мышление», авторы используют термины «статистическое» и «вероятностно- статистическое» мышление, употребляя их в качестве синонимов.

В 1951 г. Ж. Пиаже, Б. Инельдер и группой  их сотрудников было проведено исследование вероятностных представлений у детей различного возраста, гипотеза которого заключалась в следующем: «суждения детей о частоте, случайности и вероятности событий расходятся с доступными им формами практического поведения, осуществляемого без осознания его на понятийном уровне, такие суждения не являются прямым отражением или «дубликатом» наблюдаемых событий. В качестве основы им необходимо формирование логико-математических операций, которые затем в отношении физических событий будут выполнять функции причинного объяснения» [69, с. 261-277].

Таким образом, согласно исследованиям психологов (Ж. Пиаже, Е. Фишбейн, Б. Инельдер и т.д.) человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, осознанию и верной интерпретации вероятностно- статистической информации [29, 31, 69, 116, 121, 142, 148]. Способность детей комбинировать факторы и анализировать результаты их взаимодействия возникают в онтогенезе достаточно поздно - лишь в подростковом возрасте и даже позднее. Д.В.Маневич отмечает: «...проблема воспитания статистического мышления ставится так: каждому учащемуся следует овладеть не только определенной суммой статистических знаний. Само мышление должно непринужденно использовать эти знания в тех случаях, когда человек встречается с частотностью явлений. Человек должен владеть определенными навыками и умениями делать индуктивные выводы из этой информации. Это требует воспитания мышления, т.е. целенаправленного и систематического, а также достаточно длительного обучения теории вероятностей и статистике не только теоретического, но и практического. Такой процесс и следует понимать как воспитание статистического мышления» [100, с. 15].