Формирование элементарных математический знаний

41. Содержание и организация процесса  формирования и развития временных  ориентировок в старшем дошкольном  возрасте.

Детей старшего дошкольного возраста можно знакомить с неделей, месяцами, годом. Параллельно надо развивать и само чувство времени; знакомить с длительностями таких мер времени, как 1 минута, 3, 5, 10 минут, полчаса и час; учить пользоваться такими приборами измерения времени, как песочные и обычные часы. Наряду с этим надо упражнять детей в умении самостоятельно вычленять временную последовательность в протекании рассматриваемых явлений, действий.

Освоение знаний о календарных эталонах предполагает умение измерять время с помощью общепринятых приборов.

Сначала необходимо упражнять детей в выполнении деятельности по песочным часам (дети делают что-либо за 1 минуту и контролируют время по одноминутным песочным часам); этим обеспечивается накопление опыта в использовании мерки. Воспитатель постоянно дает оценку умениям детей контролировать время по песочным часам, демонстрирует длительность минуты на секундомере, объяснив, что полный оборот стрелки всегда совершается за 1 минуту. Затем дети упражняются в оценке длительности интервала времени в процессе деятельности. Воспитатель фиксирует внимание на точности оценки длительности.

И наконец, взрослый способствует освоению детьми умения предварительно планировать объем деятельности на указанный отрезок времени на основе имеющегося у ребенка представления о его длительности. Проверка намеченного плана по выполнению объема работы осуществляется с помощью песочных часов.

В дальнейшем дети начинают переносить умение оценивать длительность временных отрезков в повседневные игры, занятия.

Обучение детей умению определять время на часах и ознакомление их со строением часов желательно осуществлять с использованием моделей. Воспитатель совместно с детьми выясняют отличие часов от модели, уточняют назначение стрелок часов. Можно предложить детям большую стрелку поставить на цифру 12, а маленькую переводить с цифры на цифру и определять, что она показывает, т. е. ровно 8, 9 и т. д. часов. Затем дети узнают, что минутная стрелка, двигаясь по кругу, за 1 час проходит целый круг. А если круг разделить пополам (на макете часов можно закрыть половину циферблата цветным полукругом), получается две половины круга. Половину круга стрелка проходит за полчаса. Так дети осваивают строение часов, назначение большой и маленькой стрелки, способ показа какого-либо часа. Затем дети учатся показывать «полчаса», например половину второго часа, затем четверть (если необходимо, круг делится на 2, 4 части). Дети постоянно наблюдают за течением времени, пользуясь часами, а по мере осуществления какой-либо деятельности передвижением стрелок ставят такое же время на игрушечных часах (моделях).

В ходе педагогического процесса в детском саду есть возможность упражнять детей в умении осуществлять деятельность в рамках указанного времени, учить их самих определять продолжительность и заранее планировать возможный объем работы на тот или иной отрезок времени в пределах 5—20 минут. В таких условиях дети более организованно занимаются, меньше отвлекаются, регулируют темп своей деятельности и больше успевают.

42. Количество как особое свойство действительности. Способы познания количественных отношений (сравнение, счет, измерение). Число как средство выражения количества и количественных отношений.

Историческому пути становления и развития методики освоения детьми множеств и чисел свойственно разнообразие подходов. Первая идея — взгляд на число как на «образ». Согласно этой теории, первоначальное представление о числе у детей складывается на основе восприятия множеств (групп предметов) и называния их числом. Одновременно ребенок начинает соотносить цифру, как знак числа, с адекватным количеством. Период восприятия множеств и называния количества элементов числом (без пересчета) исследователи относят к возрасту 2—4 года. Вторая идея, на которой базируется классическая теория, состоит в понимании числа как результата счета. Эта идея наиболее полно представлена в исследованиях А. М. Леушиной и др. «Целостное» восприятие множеств (без сосчитывания) не признавалось данными исследователями и заменялось «аналитическим» — выполнением действий наложения и приложения в процессе сравнения. А. М. Леушина на основе результатов экспериментального исследования разработала содержание дочислового периода обучения детей 3—4-х лет (сравнение множеств преимущественно путем наложения и приложения, увеличение и уменьшение их) и периода развития у детей в возрасте от 4-х лет числовых представлений (освоение счета, сравнения групп предметов по числу, увеличения и уменьшения чисел, состава чисел). В таком подходе к развитию количественных и числовых представлений в методике обучения не допускалась возможность совмещения взглядов на развитие представлений о числе как «образе» и результате счета. Предлагалось формировать у детей представление о числе в процессе сосчитывания, отсчитывания заданного в образце или названном числе количества, воспроизведения чисел.

Реализацию идеи совмещения двух путей познания ребенком чисел разрешил К. Ф. Лебединцев. Он утверждал, что на первоначальном этапе познания чисел ведущим выступает восприятие множества («образ числа»). Постоянно сталкиваясь с необходимостью различать две руки, ноги, ребенок овладевает «образом» этого числа и переносит его на другие множества. Ребенок учится использовать числовой ряд для счета, ориентироваться в последовательности чисел.

Освоение числового ряда начинается очень рано, с отличения числительных от других слов. Дети 2-х лет в ответ на просьбу «Сосчитай, сколько будет», как правило, называют числительные, но вне какого-либо порядка. В дальнейшем они осваивают последовательность чисел, овладевая счетом, дети осваивают связь между числами (смежными элементами).

На третьей ступени освоения счета ребенок последовательно называет числа, начиная с любого числа; называет числа в обратном порядке; называет число, которое следует за заданным, и то, которое предшествует ему.

Согласно теории развития представлений о числе на основе измерения, мерка, является единицей измерения, а полученное число — результатом.

Разработка методик развития у детей числовых представлений с позиций идей теории множеств началась в 50-е гг. XX в. В теории множеств Г. Кантора понятие числа (его количественное значение) базируется на равномощности нескольких совокупностей. Из этого следует подход к методике освоения числа как общего неизменного признака ряда равномощных множеств. Это ведет к осмыслению равночисленности групп предметов (равны по количеству, столько же). Используются равномощные множества: 4 игрушки, 4 книги, 4 ребенка. Все эти числа обозначаются цифрой 4, что подводит ребенка 4—5 лет к обобщению групп предметов по числу (всех по 4).

В методике обучения дети сначала осваивают действия с множествами и свойствами предметов: сравнивают, уравнивают по количеству, соотносят, а затем переходят к усвоению чисел.

Согласно теории Ж. Пиаже, освоение чисел происходит у ребенка в результате синтеза логических операций, таких как классификация и сериация. Число рассматривается как связанное не с конкретными предметными действиями, а с отвлеченными отношениями на уровне логических операций. К таким операциям относится, кроме классификации и сериации, принцип сохранения количества и величины. Освоению чисел предшествуют и сопутствуют упражнения в определении отношений соответствия (один к одному), порядка следования (что за чем следует), тождества (такой же, как.., неизменности (или изменения)) и т.д.

43. Особенности представлений о  количественных отношениях и  числах в дошкольном возрасте.

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях, состоящих из однородных и разнородных предметов. Они овладевают рядом практических действий (раскладывание в ряд, накладывание одного предмета на другой и др.), направленных на восприятие численности множества предметов.

Дети первого и второго года жизни осваивают способы действий с группами однородных предметов (шарики, пуговицы, кольца и др.). Они их перебирают, перекладывают, пересыпают, вновь собирают, раскладывают по горизонтали, в виде кривой линии; выполняют более сложные действия: группируют предметы разной численности по форме и цвету.

Первоначальное формирование представлений о множественности предметов (много) и единичности (один) происходит на втором, третьем годах жизни. Показателем этого является различение детьми единственного и множественного числа.

На втором году жизни дети начинают понимать смысл слов много, мало при различии между группами в два предмета. Слово много относят как к совокупности предметов, так и к их размеру. Количественные представления у детей еще не отдифференцировались от пространственных.

На третьем году жизни зарождается тенденция к умению различать разные по численности группы предметов. Слова один, много, мало дети соотносят с определенным количеством предметов, выполняют действия в ответ на просьбу взрослых: «Принеси один шарик», «Дай мне много картинок» и т. д.

В этом возрасте наблюдается склонность «сравнивать» предметы наложением.

К трем годам происходят значительные качественные изменения в восприятии и сравнении детьми множеств. Дети начинают выделять количество. Они проявляют способность различать множества предметов и множества звуков, самостоятельно создавать множества из предметов, усваивать смысл слов много, мало, один, относить их к соответствующим группам предметов, звуков, движений.

Обозначение количества предметов числом не всегда связано с попыткой считать. У детей 2—3-х лет чаще всего называние количества предметов числом основано на их зрительном восприятии: 1 и еще 1 — это 2; 1, 1 и 1 — это 3. Слова, обозначающие количество, дети заимствуют из речи взрослых. Иногда взрослые ошибочно называют это явление счетом. Тенденция к сосчитыванию появляется у детей довольно рано (в конце третьего — начале четвертого года), что свидетельствует о стремлении ребенка ответить на вопрос «Сколько всего?»

В возрасте 3—4-х (а иногда и 5) лет дети, освоившие счет, не могут ответить на вопрос «Какое из чисел идет до числа 4, а какое — после?» Они начинают или восстанавливать (на пальцах) ряд чисел, или слова до и после заменяют словами впереди, сзади и, называя следующее число, рассматривают его как впереди стоящее. Многие дети, называя следующее число, не могут назвать предыдущее. В ответ на просьбу найти число, большее на единицу, они мысленно или вслух начинают называть слова-числительные всего ряда, начиная с раз. Дети понимают, что каждое следующее число больше предыдущего, однако точного представления о предыдущем и следующем числе у них еще нет, что лишает их возможности сразу назвать число, большее или меньшее указанного на единицу.

Увеличение и уменьшение множеств, а затем и чисел ребенок 4—5 лет осуществляет практически, добавляя 1 или 2 предмета или убирая их. При этом он проговаривает свои действия, результат. Речь активизируется в условиях игровой ситуации.

Интерес к количественной оценке объема жидкости, массы, сыпучих веществ, длины, ширины, высоты предметов появляется у детей в процессе накопления опыта познания свойств и отношений между предметами, простейших процедур экспериментирования, упражнений в счете. В 4—5 лет они стремятся самостоятельно «измерить», например, объем подкрашенной жидкости путем переливания ее в другую емкость или разливая ее в несколько емкостей (разных или одинаковых по размеру). Естественно, что в спонтанной деятельности детей больше всего интересуют процессы пересыпания, переливания, но не остаются незамеченными ими и некоторые взаимосвязи и закономерности.

44. Общая характеристика концепций  развития представлений о количественных  отношениях и числах.

Е. И. Тихеева в 20—30-е гг. XX в. разработала новые методы и приемы формирования  основ математических представлений у детей; уточнила содержание обучения, создала дидактические средства. Она использовала результаты работ зарубежных педагогов: И. Г. Песталоцци, Ф. Фребеля, Марии Монтессори. Высказанные ею общие положения сводятся к следующему. • Целесообразна серьезность подхода к выбору методических приемов в силу слабой изученности закономерностей развития числовых представлений у детей.

В методике обучения счету и развития числовых представлений Л. В. Глаголева рекомендовала опираться как на монографический, так и вычислительный методы обучения. Во всех пособиях, разработанных ею, прослеживается мысль о необходимости идти при обучении от числа к числу. Это дает возможность формировать понятие числа во всех отношениях к другим числам (монографический метод). Л. В. Глаголева особое внимание уделяла разработке методики обучения детей сравнению величин путем сопоставления и с помощью меры и числа.

В программе обучения детей счету, разработанной Ф. Н. Блехер, использовались данные зарубежных психологов, собственных наблюдений о времени и сроках восприятия ребенком разных чисел. Ф. Н. Блехер считала, что развивать у детей количественные представления следует как на основе счета, так и в процессе восприятия групп предметов. Разработанная ею методика обучения во многом отражала идеи монографического метода: идти в обучении от числа к числу, строить обучение на целостном восприятии групп предметов, запоминать с детьми случаи состава чисел (в качестве подготовки к простейшим арифметическим действиям), использовать числовые фигуры и т. д.

Вопросы развития количественных представлений у детей дошкольного возраста разрабатывались А. М. Леушиной начиная с 40-х годов. А. М. Леушина заложила основы современной дидактической системы формирования математических представлений, разработав программу, содержание, методы и приемы работы с детьми. Её концепция заключается в следующем: от нерасчлененного восприятия множеств предметов детей необходимо переводить к выявлению отдельных составляющих это множество элементов путем попарного сопоставления их, что представляет дочисловой период обучения (усвоение отношений «столько же», «поровну», «больше», «меньше» и др.). Обучение счету следует за освоением детьми действий с множествами и базируется на сравнении двух предметных групп. Элементарное представление о числе формируется у детей в ходе накопления ими опыта сравнения нескольких предметных групп по признаку количества независимо от других признаков. На этой основе строилось освоение количественного и порядкового счета, определение состава чисел из единиц и двух меньших чисел.

Вопросы развития представлений о множестве предметов у детей, закономерности перехода от восприятия множеств к числу исследовались психологом И. А. Френкелем и математиком-методистом Л. А. Яблоковым. Ими обоснованы положения о необходимости развития у детей умения распознавать отдельные элементы множества с последующим переходом к обобщениям о зависимости восприятия множества от способа пространственного расположения его элементов; об усвоении детьми числительных; о ступенях овладения счетными операциями.

Н. А. Менчинская наиболее полно рассмотрела вопросы психологии обучения арифметике (проблема исследовалась ею с 1929 г.) и проследила процесс развития представления о числе в младшем возрасте (до начала школьного обучения). На большом экспериментальном материале рассмотрено соотношение воспршггия множеств (групп предметов) и счета на различных этапах овладения числом, дан психологический анализ процесса решения детьми арифметических задач.

 Н. Н. Лежавой разработаны  содержание и приемы обучения  детей счету на основе идей  монографического метода (1953). Автор  рекомендует обучать счету без  сравнения множеств, путем добавления  к имеющемуся количеству по  одному (что трактуется как усвоение  действий сложения и вычитания); «схватыванию» числа на глаз; составу чисел.

П. Я. Гальперин разработал линию форми­рования начальных математических понятий и действий, построенную на введении мерки и определении единицы через отношение к мерке. Число при таком подходе воспринимается ребенком как результат измерения, как отношение измеряемой величины к избранной мерке.

В исследовании В. В. Давыдова был раскрыт психологический механизм счета как умственной деятельности и намечены пути формирования понятия числа через освоение детьми действий уравнивания, комплектования и измерения.

Возможности формирования количественных представлений у детей раннего возраста и пути их совершенствования у детей дошкольного возраста изучены В.В.Даниловой, Л.И.Ермолаевой, Е. А. Тархановой.  

45. Содержание работы с детьми  по освоению количественных отношений, чисел и цифр.

В среднем дошкольном возрасте (пятый год жизни) в процессе сравнения двух групп предметов, выделения их свойств, а так же счета у детей формируется представление о числе, позволяющее дать точную количественную оценку совокупности. Они овладевают приемами и правилами счета предметов, звуков, движений (в пределах 5).

Для формирования у детей представлений о натуральном ряде  чисел (последовательности, месте числа) их знакомят с образованием числа (в пределах 5) в процессе сравнения двух множеств предметов и увеличения или уменьшения одного из них на  единицу.

На протяжении всего этого периода обучения уделяется большое внимание сравнению множеств предметов по количеству составляющих их элементов (как без счета, так и в сочетании со счетом), уравниванию множеств, отличающихся одним элементом,  установлению взаимосвязи отношений «больше — меньше» (если мишек меньше, то зайцев больше).

В средней группе дети, овладев умением считать предметы,  звуки, движения, отвечать на вопрос «сколько?», учатся определять порядок следования предметов (первый, последний, пятый), ? отвечать на вопрос «который?», т. е. практически пользоваться количественным и порядковым счетом.

В процессе обучения у детей формируется умение воспроизводить множества, отсчитывая предметы по образцу, по задан ному числу из их большего количества, запоминать числа.

В ходе специальных упражнений по овладению счетом у детей формируется представление о числе как общем признаке разнообразных множеств (предметов, звуков). Они убеждаются в независимости числа от несущественных признаков (например, цвета, занимаемой площади, размеров предметов и др.), используют различные способы получения равных и неравных по количеству групп. Дети учатся видеть идентичность (тождественность), обобщать по числу предметы множеств (столько же, по четыре, пять, такое же количество, т. е. число).

В старшем дошкольном возрасте количественные представления в процессе обучения формируются под влиянием овладения счетной и измерительной деятельностью. Число выступает как результат счета, характеристика эквивалентных, равночисленных множеств, как результат измерения.

В процессе обучения счету на основе сопоставления, упражнений по уравниванию есть возможность познакомить детей с цифрами: научить различать, называть, находить, выстраивать их в ряд, используя для этого карточки с цифрами.

 В ходе упражнений  по количественному сравнению  групп предметов педагог показывает  детям разные способы (кроме выражения  в числе) обозначения какого-либо  количества. Для этого справа  от группы предметов (после пересчета  их) выкладывают такое же количество  палочек, вывешивают счетную карточку, числовую фигуру и т. д. Затем  показывается способ графического  обозначения числа — цифра. Цифра  помещается рядом как общепринятый  знак числа, свидетельствующий о  том, что предметов определенное  количество. В дальнейшем необходимо  предоставить детям возможность  выбрать нужную цифру, воспроизвести, нарисовать количество предметов, указанное цифрой.

 На одном занятии  можно знакомить детей с несколькими  цифрами. Для закрепления записи  цифр используются различные  обследовательские действия, такие, как обведение пальцем, штриховка  контурных цифр, а также чтение  известных литературных произведений.

 После ознакомления  детей с несколькими цифрами  необходимо познакомить их с  цифрой 0 (нуль). Наличие предметов  показывается соответствующей цифрой, отсутствие их — тоже цифрой 0. Запись числа 10 состоит из двух  цифр: 1 и 0 (единицы и нуля).

 Своевременное ознакомление  детей с цифрами способствует  осмыслению ими числа как показателя  количества, абстрагированию его  от конкретного содержания, расширению  возможностей применения чисел  в практической деятельности.

46. Содержание и организация познания  детьми количественных отношений  на дочисловом этапе.

В дочисловой период обучения дети осваивают различные действия с совокупностями: образование множества предметов, дробление на составные элементы, выделение из них отдельных предметов, группировка по свойству, характеризующему данное множество, определение принадлежности или непринадлежности элемента к данному множеству, нахождение количества предметов, адекватного предъявленному образцу, осуществление количественного анализа предметов окружения, сравнение совокупностей предметов. Наглядным материалом для этой цели служат игрушки, мелкий дидактический материал, изображения предметов. таблицы с изображёнными на них совокупностями предметов в достаточно большом количестве, меньшем (мало, несколько), единичных предметов, сгруппированных по общему признаку.

Прежде всего следует приучать детей овладевать умением образовывать множество, подбирая предметы по указанному признаку. Н-р: предлагается задание взять всем детям по одному красному кубику из заранее приготовленных, принести, сказать, сколько предметов принёс каждый из них, отметить качественный признак. Т.е. нужно задать вопрос о количестве предметов («Сколько?»), их названии и качественных признаках (красные кубики), способе получения совокупности (каждый из детей, все принесли по одному).

В дальнейшем, с целью выработки умений самостоятельно группировать предметы, выделять признак, следует предлагать детям из множества выбирать предметы по признаку (найди, возьми такой же).

Вслед за усвоением умения различать понятия «много», «один» детей обучают различению групп предметов большей или меньшей численности (много или мало). Выделяются 3 предмета в сравнении с 10, 5 в сравнении с 12 предметами, и дети убеждаются в относительности значения слов мало, много.

Формированию представлений о множестве способствуют практические упражнения и задания по отбору и раскладыванию предметов в группы (мало, много, один): на красную карточку поставить одну матрёшку,  на синюю – много; кукле дать много цветов, а мишке – мало.

Одной из главных задач в обучении детей младшей группы является освоение ими практических приёмов взаимного сопоставления элементов одного множества с элементами другого, поэлементного сравнения множеств конкретных предметов путём наложения одного на другое, а также поэлементного приложения одного множества к другому.  Дети овладевают при этом  умением определять численность множества и выражать её с помощью слов, отражающих количественные отношения.

Формирование у детей представлений об отношениях «равенства» и «неравенства» начинается с обучения их умению определять равночисленность множества и отражать это в речи: столько, сколько; столько же, сколько и; поровну, одинаково по количеству. Затем дети овладевают умением выявлять неравночисленность множеств: больше, меньше, меньше чем.

Наиболее простым приёмом сравнения является наложение. Для обучения детей этому приёму установления соответствия используются карточки с нарисованными предметами, а впоследствии и с геометрическими фигурами в количестве 3-6 штук, а также игрушки. На изображения ставятся мелкие предметы или накладываются силуэты предметов.

47. Счет как способ определения  количества и порядка следования  объектов. Особенности становления  счетных умений у дошкольников.

Счет как деятельность с конечными множествами включает следующие структурные компоненты: цель (выразить количество предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности), результат (итоговое число).

В ходе упражнений по обучению счету необходимо сформировать у детей умение соотносить называемое по порядку число с одним из предметов, не пропускать предметы, числа и не называть их повторно.

Обучение счету путем поэлементного сопоставления двух предметных  множеств  помогает  подготовить детей  к познанию отношений между числами.

Период обучения детей счету делят на два этапа.

Цель первого этапа состоит в ознакомлении детей с назначением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварительное сравнение их (1 и 2, 3 и 2, 3 и 4) осуществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «Сколько всего кукол? мишек? По скольку мишек и кукол? (Поровну, по три.) Чего больше (меньше)?»

 В ходе таких упражнений  педагог переводит детей от  дочислового сравнения к сравнению  с помощью чисел: «Кукол две, а  мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число 2 меньше числа 3».

Цель второго этапа обучения состоит в формировании у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следующего числа на основе добавления предмета к одному из сравниваемых множеств.

Упражнениям по обучению счету предшествуют анализ состава предметов,  выделение общих признаков, способа расположения (как правило, по рядам). При ознакомлении со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом воспитатель знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, т. е. расположенного слева, одновременно следует называть последовательно числа. После называния числа, соответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («Всего 5 квадратов»).

Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деятельности. Постепенно дошкольники переходят к пересчитыванию предметов быта, игрушек.

В ходе знакомства детей с образованием каждого из чисел натурального ряда в пределах 5 обращается их внимание на способ получения нового (большего) числа путем добавления одного предмета. Берутся две группы предметов (елки и грибы), сравниваются (столько, сколько, поровну, по три, одинаково по количеству). Затем добавляется один предмет (вырос еще один гриб), выясняется, чего больше или меньше (грибов больше, чем елок, елок меньше, чем грибов). Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько стало грибов? Демонстрируется способ счета в пределах 4. После этого обе совокупности вновь сравниваются. Подчеркивается, что елок осталось прежнее количество (3), а количество грибов увеличилось,  их стало больше — 4, так как добавили еще один гриб.

В средней группе дети овладевают порядковым счетом, т. е. умением определять место какого-либо предмета среди других при условии расположения их в ряд. Для этого необходимо научиться различать вопросы «сколько?», «который?», «какой по порядку?».    

48. Овладение количественным счетом  в дошкольном возрасте. Различные  подходы к обучению детей счету, знакомству с цифрами и знаками.

А. М. Леушина определила шесть этапов развития счетной деятельности у детей. При этом первые два этапа являются подготовительными. В этот период дети оперируют с множествами, не используя чисел. Оценка количества осуществляется с помощью слов «много», «один», «ни одного», «больше — меньше — поровну». Эти этапы характеризуются как дочисловые.

Третий этап условно соотносится с обучением детей пятого года жизни. Основная цель — ознакомить детей с образованием числа. Характерные способы деятельности — сравнение смежных множеств, установление равенства из неравенства (добавили еще один предмет, и их стало поровну — по два, по четыре и т. д.). Результат — итог счета, обозначенный числом. Таким образом, ребенок вначале овладевает счетом, а затем осознает результат — число.

Четвертый этап овладения счетной деятельностью осуществляется на шестом году жизни. На этом этапе происходит ознакомление детей с отношениями между смежными числами натурального ряда. Результат — понимание основного принципа натурального ряда: у каждого числа свое место, каждое последующее число на единицу больше предыдущего, и наоборот.

Пятый этап обучения счету соотносится с седьмым годом жизни. На этом этапе происходит понимание детьми счета группами по 2, по 3, по 5. Результат — подведение детей к пониманию десятичной системы счисления. Шестой этап развития счетной деятельности связан с овладением детьми десятичной системой счисления.

При обучении счёту используются различные анализаторы: зрительный (счёт по образцу, цифровому изображению, счёт движений), тактильный (счёт на ощупь), слуховой (счёт по названному числу, счёт на слух), двигательный (счёт движений).

В процессе обучения счету на основе сопоставления, упражнений по уравниванию есть возможность познакомить детей с цифрами: научить различать, называть, находить, выстраивать их в ряд, используя для этого карточки с цифрами.

 В  ходе упражнений по количественному  сравнению групп предметов педагог  показывает детям разные способы (кроме выражения в числе) обозначения  какого-либо количества. Для этого  справа от группы предметов (после  пересчета их) выкладывают такое  же количество палочек, вывешивают  счетную карточку, числовую фигуру  и т. д. Затем показывается способ  графического обозначения числа  — цифра. Цифра помещается рядом  как общепринятый знак числа, свидетельствующий о том, что  предметов определенное количество. В дальнейшем необходимо предоставить  детям возможность выбрать нужную  цифру, воспроизвести, нарисовать количество  предметов, указанное цифрой.

В старшей группе изучается количественный! состав чисел из единиц в пределах 10 и состав чисел до 5 из двух меньших, что является непосредственной подготовкой к усвоению арифметических действий и приемов вычислений.

 Состав чисел из  единиц закрепляется на разнородных  предметах. Детям предлагается взять  определенное количество разных  предметов и сообщить, из скольких  единиц состоит это число. В  ходе сравнения двух чисел  подчеркивается состав чисел, чем  и объясняется различие между  ними, устно называется количество  единиц в каждом числе.

В старшей группе возможно и целесообразно введение символики для обозначения отношений «больше», «меньше», «равно» (>, <, =).

 В качестве подготовительных  упражнений используется прием  обозначения стрелкой отношений  между числами. Раскладываются в  ряд карточки с цифрами 1, 2, 3, стрелкой  показывается, что число 1 меньше  числа 2, а 2 меньше, чем 3: 1. Следовательно, 1 меньше 3. По такой записи выясняется, какое число больше, какое число  меньше, на сколько. Знаки >, <, = используются  для обозначения отношений между  двумя сравниваемыми величинами (большой и маленький мяч, равные  по высоте деревья и т. д.).

 Воспитатель поясняет, что острие стрелки всегда  направлено на маленький предмет.

 Освоение детьми элементов  символики способствует осмыслению  ими количественных отношений  в натуральном ряду чисел.

49.Освоение детьми дошкольного возраста порядкового счета и порядковых числительных.

После выработки счётных навыков, умения отвечать на вопрос «сколько?» знакомим детей с порядковым счётом, учим отвечать на вопрос «который?».

В средней группе дети овладевают порядковым счетом. Пониманию и осмыслению детьми порядкового значения числа  способствует расположение предметов в строго определенном порядке. Это может быть набор матрешек разных размеров, лесенка, составленная из кубиков, пластин, иллюстративный материал к сказкам «Три медведя», «Репка» и др. В этом случае необходимость определения порядкового номера объекта мотивирована. Порядок следования (первый, второй...) выявляется с опорой на дополнительный признак: размер, цвет и др. Поэтому начальные упражнения по обучению детей порядковому счету следует проводить на наглядном материале, представляющем собой упорядоченный ряд, исходя из того что сериация по  признаку качества является одной из предпосылок формирования понятия о порядковом числительном, числе в целом. Для обучения создается определенная  ситуация:   матрешки   идут  на  прогулку,  дети пошли в лес и т. д. Определяется   порядковый номер и качественный признак (имя, рост, размер): «Первая девочка в красном платье, она самая высокая, вторая — в зеленом, она пониже» и т. д.

Детей учат правильно называть и использовать порядковые числительные (первый, второй, третий…). Учат различать вопросы «сколько?» и «который?». Подводят ко пониманию различных формулировок вопросов: «который?», «какой по порядку?», «на котором месте?», «какой по счёту?».

В старшей группе детей подводят к пониманию «количественный счёт», «порядковый счёт», а также к пониманию, что порядок зависит от направления счёта, а количество нет.

Воспитатель создает ситуации, в которых есть необходимость определения порядка следования: дети идут на прогулку, возвращаются с прогулки в другой последовательности; сопоставляя общее количество кукол и подарков для них, определяют, что получила в подарок шестая кукла, сколько всего подарков роздано, которая кукла получила в подарок конфету и т. д. В дальнейшем определяют порядок расположения рядов и столбцов в сериационном ряду, «числовой лесенке», порядок следования дней недели.

 По мере освоения  порядкового счета проводятся  упражнения на однородном материале: «Какой по счету этот (воспитатель  указывает) мишка? Покажи седьмого  мишку. Надень шапку на пятого»  и др.

 Обучение порядковому  счету основано на дифференцировке  количественного и порядкового  значения чисел и практического  использования их, исходя из ситуации.

50. Сравнение чисел. Познание места  числа в натуральном ряду. Игры  на освоение отношений между  числами.

Сравнение двух или нескольких множеств предметов путем поэлементного соотнесения имеет место в работе с детьми 5—6 лет. Оно помогает вычленить способ получения следующего и предыдущего числа, одного и того же числа двумя путями (3 — это 2+1 или 4—1), а также убедить детей в равенстве или неравенстве множеств по числу предметов. Поэтому все известные детям способы сравнения: наложение, приложение (по рядам и столбцам), Составление пар, соединение предметов линиями, применение эквивалентов — следует использовать и в обучении детей старшего дошкольного возраста.

 Для сравнения двух  множеств, отличающихся на один  или несколько элементов, используются  предметы-эквиваленты, из сопоставления  которых делается вывод о количественной  стороне первого и второго  множества. Этот прием удобен, когда  невозможно непосредственно соотносить  предметы по количеству, при измерении.  В качестве эквивалентов используются  фишки, косточки на счетах и  др. Т.О. можно определить равенство  или неравенство числа окон  в групповой комнате и музыкальном  зале. Вначале определяют число  окон в зале и откладывают  на верхней полоске наборного  полотна (или счетах) такое же  число фишек, а после считают  количество окон в группе и  откладывают на нижней полоске  наборного полотна соответствующее  число фишек. Сравнивают числа, делают  вывод.

Уравнивание совокупностей по числу предметов дети старшей группы осуществляют обычно двумя способами: путем увеличения или уменьшения на единицу. Уравнивание по числу возможно только на основе счета и сравнения. При сравнении групп, отличающихся числом предметов больше, чем на единицу, уравнивание осуществляется путем отсчета из большей группы того же количества предметов, которое содержится в меньшей. Предметы раскладываются попарно, определяется количество их в меньшей группе и такое же количество отсчитывается из большей. Сравнение групп с разницей в 2—3 предмета способствует более глубокому осмыслению отношений «на сколько».

В старшей группе сравниваются между собой 3—4 числа, что позволяет формировать представление о направленности ряда чисел, способах образования смежных данному (3) чисел (2 и 4), образования какого-либо числа (5) двумя способами (4+1, 6—1).

Для уточнения знаний о разностных отношениях между смежными числами проводятся упражнения на последовательное увеличение или уменьшение чисел на единицу, составление «числовой лесенки».  Воспитатель, начиная с одного предмета, последовательно добавляет к нему еще по одному, каждый раз спрашивая детей о количестве, сколько надо добавить, чтобы предметов стало пять, получить следующее число, число больше на единицу числа 6 и т. д.

 Особое значение имеют  аналогичные упражнения на последовательное  уменьшение чисел.

 После уточнения общего  количества (десять) убирается один  предмет и задается вопрос: «Сколько  осталось?» Вопросы варьируются: «Сейчас восемь предметов. Сколько  надо убрать, чтобы их осталось  семь? Сколько предметов останется, если уберем еще один?»

 Такие упражнения способствуют  осмыслению детьми отношений  между числами в обратном порядке, переходу к устному произнесению  чисел, «обратному счету».

 «Числовая лесенка»  как модель натурального ряда  используется для закрепления  последовательности, способа образования  чисел, отношений между числами. Дети начинают определять место  меньшего из двух сравниваемых  чисел словом до, большего —  после.

Здесь уместно проводить работу по формированию простейших представлений о свойстве транзитивности отношений «меньше» и «больше»: «если 1 <2 и 2<3, то 1 <3», «если 3>2 и 2> 1, то 3> 1».  Важно при обучении формировать умение видеть постоянство (сохранение) количества, состав чисел из единиц, порядок счета, разбиение совокупностей на группы.

Усвоенные детьми умения сравнивать числа на наглядной основе, уравнивать группы предметов по числу свидетельствуют о сформированности у них представлений об отношениях между числами натурального ряда.

51. Особая роль измерения в развитии  у дошкольников числовых представлений.

Измерение даёт возможность характеризовать величину числом и перейти от сравнения непосредственно величин к сравнению чисел, что удобнее, так как делается в уме. Измерение – это сравнение величины с величиной того же рода, принятой за единицу.  В детском саду сначала учим детей выделять и называть разные параметры размеров (длину, широту, высоту)  на основе сравнения на глаз резко контрастных по величине предметов. Затем формируем умение сравнивать способом приложения и наложения незначительно различающиеся и равные по величине предметы с ярко выраженной одной величиной, потом по нескольким параметрам одновременно. Работа по выкладыванию сериационных рядов и специальные упражнения для развития глазомера закрепляют представления о величинах. Знакомство с  условной меркой, равной одному из сравниваемых предметов по величине, готовит детей к измерительной деятельности.

Прежде, чем знакомить с общепринятыми эталонами (сантиметром, метром, литром, килограммом и т.д.), целесообразно сначала научить детей пользоваться условными мерками при измерении: протяжённости (длина, ширина, высота) с помощью полосок, палок, верёвок, шагов; объёма жидких и сыпучих веществ с пмощью стаканов, ложек банок; площади (фигуры, листа бумаги и др.) клетками или квадратами; массы предметов (н-р: яблоко – желудями). После этой работы можно познакомить дошкольников с эталонами и некоторыми измерительными приборами (линейкой, весами).

Измерение длин и объемов позволяет уточнить и углубить целый ряд элементарных математических представлений. На основе измерения познается новая функция числа как отношения. Ребенок перестает отождествлять единицу с отдельностью.

 Измерительную деятельность  предлагалось вводить в ее  элементарной форме еще до  того, как дети научились считать  и на ее основе формировать  понятие числа. Но процесс измерения  требует умения подсчитывать  количество мерок. Поэтому ребенок  вначале учится считать, овладевает  навыками этой деятельности, а  уже потом вводится новая деятельность, в процессе которой используются  полученные знания и навыки  о числе. Такой подход обеспечивает  углубление и расширение представлений  детей о числе. В настоящее  время вторая точка зрения  получила широкое распространение, поэтому навыки измерительной  деятельности формируются в основном  в старшем дошкольном возрасте, когда дети научились считать  и у них имеются представления  о некоторых величинах.

 В процессе измерения  устанавливается взаимосвязь пространственных  и количественных представлений. Закрепляя умение выделять длину, ширину, высоту предметов, оценивать  их величину с помощью условных  мерок, детей подводят к пониманию  трехмерности пространства, развивают  представления об объеме. Измерение  может успешно использоваться  для уточнения геометрических  представлений.

 На основе измерения  появляется возможность познакомить  детей-дошкольников с некоторыми  математическими связями, зависимостями  и отношениями: отношением части  и целого, равенства — неравенства, свойством транзитивности отношений, простейшими видами функциональной  зависимости и др.

52. Содержание и организация обучения  детей делению целого на равномерные  части в старшем дошкольном  возрасте. Игры на освоение долей.

В 5—6 лет дети овладевают умением делить целое на равные части. Это необходимо в качестве пропедевтики к усвоению долей и дробных чисел в школе, для углубления понимания детьми математических отношений: больше, меньше, равны,

Обучение строится на зависимостях целого и части: часть всегда меньше целого, а целое больше части; при указанном способе деления части целого равны между собой; существует функциональная зависимость между количеством и размером частей: чем большее количество частей, на которое делится целое, тем меньше каждая часть, и наоборот, чем меньше каждая часть, тем на большее количество частей разделено целое (при делении двух одинаковых по размеру предметов).

Деление целого на части осуществляется практически путем складывания с последующим разрезанием или путем разрезания.

Освоение детьми способов деления целого на равные части и отношения целое — часть способствует углублению понимания ими единицы. Слово один они относят к разным величинам: то к целому, то к его части, причем разного размера.

Обучение делению целого на части осуществляется с учетом особенностей понимания детьми отношения целое — часть.

В результате упражнений дети начинают воспринимать половину как часть целого, разделенного на две равные части; четвертую часть как часть целого, разделенного на четыре равные части. Они учатся выражать в речи способы деления и складывания; соотношение частей.

Опыт складывания, деления бумаги разных форм, объемных предметов на неравные и равные части дети накапливают в разных видах игр, бытовой деятельности; при выполнении аппликаций, изготовлении простых поделок из бумаги, делении с практической целью полосок бумаги, шнуров, тесьмы, кругов и дорожек, нарисованных на асфальте и др. Сгибание плоских предметов (так, чтобы получились при этом две или четыре равные части (доли)) даже без разрезания дает возможность обнаружить эти части (визуально, на основе действия), их количество и соотношение с целым: каждая из частей меньше целого, целое больше части.

В процессе деления путем складывания дети убеждаются в том, что одноразовое перегибание листа бумаги ведет к получению двух равных частей, двухразовое — четырех и т. д.

В дальнейшем педагог упражняет детей в делении целого путем складывания с разрезанием и последующим склеиванием частей для воссоздания целого. С целью уточнения зависимостей целого и частей используется прием деления на равные и неравные части. Педагог, указывая на часть, спрашивает детей, можно ли ее называть частью целого — половиной, одной четвертой частью, предлагает использовать практические приемы для убеждения в этом: наложение частей, воссоздание целого.

Используется и мерка, с помощью которой делится предмет (дощечка, лист картона) на равные части. Мерка дается в готовом виде или изготавливается детьми путем складывания.

Такие упражнения в непосредственном делении целого на равные части дают детям возможность выделить и осознать зависимости между количеством полученных в результате частей и их размером.

53. Содержание игр и упражнений  на освоение состава числа  в дошкольном возрасте.

Когда сформирована счётная деятельность у детей развиваются представления о числе как абстрактном математическом понятии, знакомим с составом натуральных чисел  в пределах 10 из единиц. Эта работа осуществляется в старшей группе.

Для ознакомления с количественным составом чисел используется раздаточный и демонстрационный материалы, в которых каждый элемент множества отличается от других элементов того же множества по форме, цвету, размеру, назначению. Однако материал подбирают так, чтобы можно было делать обобщение: всего четыре птички, пять овощей, три стульчика.

Сначала можно использовать однородный материал, каждый элемент которого отличается от других по размеру. Потом берут разный по цвету материал, а позже — предметы одного типа или класса. Сначала дети просто считают элементы множества. При этом воспитатель обращает их внимание на количественный состав, предлагает называть все элементы множества. Н-р: «Сколько разных по размеру палочек нужно взять, чтобы составить группу из трех?» или «Сколько кружочков разного цвета нужно, чтобы составить это множество?» Можно просто рисовать разные предметы по заданным числам. Каждый раз после выполнения задания дети рассказывают, как они создали данную совокупность (множество).

Необходимо научить детей, рассматривая множества, рассказывать, как составлена группа, назвать каждый элемент и их общее количество. Н-р: «число 5 составлено так: 1 квадрат, 1 круг, 1 треугольник, 1 овал, 1 прямоугольник – всего 5 геометрических фигур». Детям даются примерно такие задания: «составь число 4 из флажков разного цвета так, чтобы каждый цвет использовался только один раз. Расскажи как ты это сделал»; «Расскажи по карточке как составлено число»; «Составь число 5 из названий цветов» Используются дидактические игры типа «Я знаю 5 имён девочек…» (игра с мячом) и др.

Дошкольники могут быть также ознакомлены с количественным составом чисел из двух меньших, сначала в пределах первой пятерки, а потом в пределах десяти.

Дети создают множества, объединяют небольшие группы вместе, делят множество на части, сравнивают их между собой. Основной целью этих упражнений является не механическое запоминание таблиц, показывающих, из каких чисел составляется то или другое число, а понимание того, что число, так же как и множество, может быть образовано из частей, групп, других чисел, общее количество которых соответствует заданному множеству или числу. Н-р: воспитатель ставит цель: ознакомить детей с количественным составом числа 4 (четыре).

«Дети, положите перед собой игрушки, — говорит вос-ль, — посчитайте их. Найдите карточку с соответствующей цифрой и положите ее под игрушками». Дети находят карточку, воспитатель проверяет, все ли дети правильно посчитали игрушки и взяли карточку с соответствующей цифрой. «Сколько у вас игрушек? Разложите игрушки на две цветные полоски бумаги». Дети выполняют задание. «Расскажи, Петя, как ты разложил четыре игрушки. Как Алена разложила их? А как разложил игрушки Саша? Как можно составить число "четыре"? Из каких меньших чисел складывается число "четыре"?»

Детям предлагается собрать игрушки и снова разложить их на две полоски, однако уже иначе, не так, как они были разложены раньше. Задание повторяют трижды. В процессе такого обучения дети усваивают, что число «четыре» составляется из: 3 и 1; 1 и 3; 2 и 2.

Дети могут объединить четыре геометрические фигуры из треугольников и четырехугольников, закрасить двумя цветами (всего было четыре фигуры, несколько из них красные, а остальные — зеленые). В качестве наглядности широко используются цифры. Например, дети раскладывают число «шесть» так: 5и1;4и2;ЗиЗ;2и4;1и5. При этом важно, чтобы воспитатель следил за ответами детей, в которых следует называть как само число, так и его части. «У меня было всего пять флажков, из них три флажка я отдал Ирине и два Володе. У Ирины и Володи вместе пять флажков. Итак, число пять можно разложить на три и два».

54. Цветные палочки Х. Кюизенера. Методика их использования с целью развития числовых представлений, овладения арифметическими действиями.

На начальном этапе освоения детьми 3—4-х лет цветных счетных палочек важно создать условия для свободной группировки их, сравнения по длине (высоте), сооружения из них построек. При обучении детей 2—4-х лет уместно использовать «Разноцветные полоски», деленные на единицы и обеспечивающие восприятие количественного значения каждой палочки в зависимости от ее цвета и длины.

Следует обратить особое внимание детей на группировку по цвету. Это ведет к пониманию того, что одинаковые по цвету палочки имеют одинаковую длину и наоборот. Палочки можно прятать и просить ребенка догадаться, какая именно палочка спрятана, подобрать недостающую, следующую в ряду. В ходе таких упражнений совершенствуются представления о свойствах и отношениях предметов, действия выбора необходимого элемента, практического сравнения по цвету, количеству; уточняется значение слов такой же, не такой, как, столько же; больше, чем; длиннее, короче; такой же длины и др. Используются приемы попарного соотнесения, увеличения и уменьшения палочек (рядов) по длине (добавить или убрать), поиска всех палочек, которые короче (длиннее), например, красной и т. д.

Цветные счетные палочки используются с целью познания ребенком чисел и цифр, действий сложения и вычитания на основе состава чисел из двух меньших, измерения и т. д. В обучении детей от 4-х лет используются типовые приемы, такие как составление лесенок, отправление поездов (составление вагонов, укладывание груза), составление ковриков разнообразными способами. Использование цветных счетных палочек Кюизенера дает возможность избежать ограниченности представлений ребенка о единице как об отдельном предмете. Так, при практическом освоении состава числа 5 из двух меньших чисел ребенок познает, что это может быть 1 и 4, 2 и 3. В этом случае, н-р, 3 выступает в качестве одного предмета (голубой палочки), но по значению соответствует трем единицам. Накладывая белые кубики (каждый из них — число 1) на голубую палочку, ребенок практически убеждается в этом.

Пример использования палочек с целью освоения сравнения по количеству и числу, счета: Палочки, обозначающие числа 2, 3, 4, 5, раскладываются на столе в ряд, но на некотором расстоянии друг от друга. Над каждой из них располагается соответствующая цифра. Под каждой из палочек ребенок раскладывает такое же количество мелких предметов. Уточняется значение слов столько же, тоже два, назначение цифр, обозначающих как числовые значения палочек, так и количество отдельных предметов.

Каждая из палочек сопоставляется с соответствующим количеством белых кубиков (единиц). Уточняется количественное значение каждой из палочек (числа), ее состав из единиц. Дети упражняются в сосчитывании, соотнесении числа и цифры.

С целью познания детьми последовательности чисел натурального ряда (порядка следования — прямого и обратного), места каждого числа в этом ряду путем выделения отношений (какое из сравниваемых больше на единицу или меньше какого числа); развития умения пользоваться порядковым счетом и отличать его от количественного широко используется прием составления из палочек числовых лесенок. Лесенки составляются по-разному. Самой простой является лесенка, составленная слева направо на плоскости. По ней удобно «шагать», используя маленькую игрушку, сосчитывать ступеньки, оставлять на время игрушки на какой-либо ступеньке и находить ее на второй, пятой и т.д.; обозначать цифрами номер каждой ступеньки, спускаясь по ней, осваивать умения называть числа в обратном порядке. Например, спускаясь с четвертой на третью ступеньку, с третьей — на вторую, со второй — на первую, затем на пол, ребенок познает количественное и порядковое значения числа.

Прием составления ковриков предназначен для освоения детьми состава чисел из двух меньших и действий сложения и вычитания.

Упражняемость детей в выполнении различных действий с цветными счетными палочками Кюизенера помогает ребенку абстрагировать число, выделить его как таковое, что ведет к осуществлению простейших операций с числами: увеличение и уменьшение, отсчитывание и присчитывание, счет группами (парами, по 3) с целью определения общего количества, «запись» с помощью цифр, знаков сложения и вычитания процесса и результата действий с использованием карточек.

55. Особенности восприятия логических  и арифметических задач, выполнения  вычислений детьми дошкольного  возраста.

В старшем дошкольном возрасте арифметические задачи (на сложение и вычитание) используются с целью подведения детей к простым вычислениям. Условия задач, как правило, отражают содержание игровых и бытовых ситуаций детской жизни. Решая задачи, дети овладевают умением находить зависимости величин.

Вместе с тем задачи являются одним из средств развития у детей логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами совершенствуются умения проводить анализ и синтез, обобщать и конкретизировать, раскрывать основное, выделять главное в тексте задачи и отбрасывать несущественное, второстепенное.

Понимание самой простой арифметической задачи требует анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих действий, которые ребенок должен выполнить.

Дошкольникам особенно трудно понимать вопрос задачи, который отражает математическую сущность действий, хотя именно вопрос задачи направляет внимание ребенка на отношения между числовыми данными.

Детям свойственно понимать задачу как рассказ, историю, загадку, ситуацию и игнорировать числовые данные. Текст задачи дети трактуют произвольно, преобразуют его по своему усмотрению. Часто вопрос задачи заменяют ответом-решением.

Незнание детьми простейшей структуры задачи вызывает серьезные затруднения при составлении ее текста. Если первая часть задачи, т. е. числовые данные, осознается быстрее, то постановка вопроса, как правило, вызывает у ребенка серьезные трудности. Вопрос очень часто заменяется ответом, например: «В вазе стояло три цветка. Один цветок завял и осталось два цветка». Даже к концу пребывания в подготовительной группе дети затрудняются составить текст задачи по картинкам. Назовем типичные ошибки детей.

1. Вместо  задачи составляется рассказ: «На  листе сидят две гусеницы, а  на траве еще одна. Они все  поедают».

2. В  задаче правильно воспринимается  вопрос, но отсутствует фиксация  числовых данных: «Шла девочка  и уронила флажок. Сколько стало  флажков?»

3. Вопрос  заменяется ответом-решением: «Девочка  держала флажки в руках. В этой  два и в этой два. Если сложить, получится четыре».

 Довольно  часто дети отказываются составлять  задачу по картинке, так как  «мы такие не решали». Их ошибки  при составлении задач по картинкам  позволяют сделать следующий  вывод: самостоятельное составление  задачи даже при наличии наглядного  материала является более трудной  деятельностью, чем нахождение ответа  при решении готовых задач; дети  усваивают структуру задачи отрывочно, не полностью, поэтому не все  ее компоненты присутствуют в  составленных ими задачах; воспитатели  мало используют разнообразный  наглядный материал при обучении  составлению задач.

56. Обучение детей дошкольного  возраста решению арифметических  задач.

Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических действий (добавили — сложили, уменьшили — вычли). Особое значение в формировании вычислительной деятельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.

Первый этап — подготовительный. Основная цель этого этапа — организовать систему упражнений по выполнению операций над множествами. С помощью операций над множествами раскрывается отношение «часть — целое», доводится до понимания смысл выражений «больше на...», «меньше на...».

Воспитатель предлагает детям отсчитать и положить на карточку шесть грибов, а затем добавить еще два гриба. «Сколько всего стало грибов? (Дети считают.) Почему их стало восемь? К шести грибам прибавили два (показывает на предметах) и получили восемь. На сколько стало больше грибов?» Подобные упражнения проводятся и на выделение части множества.

На втором этапе работы над задачами дети должны: а) научиться составлять задачи; б) понимать их отличие от рассказа и загадки; в) понимать структуру задачи; г) уметь анализировать задачи, устанавливая отношения между данными и искомым.

Воспитатель знакомит детей со словом задача и при разборе составленной задачи подчеркивает необходимость числовых данных и вопросов: «Что известно?», «Что нужно узнать?».

 На  этом этапе обучения составляются  такие задачи, в которых вторым  слагаемым или вычитаемым является  число 1. Н-р, воспитатель просит ребенка  принести и поставить в стакан  семь флажков, а в другой —  один флажок. Эти действия и  будут содержанием задачи, которую  составляет воспитатель.

 При  обучении дошкольников составлению  задач важно показать, чем отличается  задача от рассказа, загадки, подчеркнуть  значение и характер вопроса.

 Для  усвоения значения и характера  вопроса в задаче можно применить  такой прием: к условию задачи, составленной детьми («С одной  стороны стола поставили двух  девочек, а с другой стороны  одного мальчика»), ставится вопрос  не арифметического характера («Как  зовут этих детей?»). Дети замечают, что задача не получилась.

Структура задачи включает четыре компонента: условие, вопрос, решение, ответ.

Когда дети научатся правильно формулировать вопрос, можно перейти к следующей задаче этого этапа — научить анализировать задачи, устанавливать отношения между данными и искомым. Третий этап - Учить детей формулировать арифметические действия сложения и вычитания.

 При  формулировке арифметического действия  можно считать правильным, когда  дети говорят отнять, прибавить, вычесть, сложить. Слова сложить, вычесть, получится, равняется являются специальными  математическими терминами. Упражняя  детей в формулировке арифметического  действия, полезно предлагать задачи  с одинаковыми числовыми данными  на разное действие. Например: «У  Саши было три воздушных шара. Один шар улетел. Сколько шаров  осталось?» Или: «Коле подарили  три книги и одну машину. Сколько  подарков получил Коля?» Устанавливается, что это задачи на одно и  то же действие. Важно при этом  обращать внимание на правильную  и полную формулировку ответа  на вопрос задачи.

 На  основе анализа данных задач  дети приходят к выводу, что  в одной задаче числа нужно  сложить, а в другой — вычесть  одно из другого. Вопросы в  задачах различны, поэтому различны  и арифметические действия, различны  ответы.

Поскольку к моменту обучения решению задач дети уже знакомы с цифрами и знаками +, —, =, следует упражнять их в записи арифметического действия и учить читать запись (3+ 1 =4).

 На четвертом этапе работы над задачами детей учат приемам вычисления — присчитывание и отсчитывание единицы.

 Присчитывание — это прием, когда к известному уже числу прибавляется второе известное слагаемое, которое разбивается на единицы и присчитывается последовательно по 1 6 + 3 = 6+1 + 1 + 1=7+1 + 1=8+1=9.

 Отсчитывание — это прием, когда от известной уже суммы вычитается число (разбитое на единицы) последовательно по 8-3 = 8-1-1-1=7-1-1=6-1=5.

  На завершающем этапе работы над задачами можно предложить дошкольникам составлять задачи без наглядного материала (устные задачи).

57. Характеристика и содержание  математических зависимостей и  закономерностей, познаваемых в  дошкольном возрасте. Содержание  игр и упражнений, направленных  на познание детьми зависимостей.

1) Первым компонентом содержания  матем-го разв-ия дошк-ков являются  свойства и отношения. В процессе  действий с предметами дети  осваивают такие свойства как  форма, размер, количество, пространственное  расположение.

2) В процессе осуществления  практических действий дети познают  разнообразные геометрические фигуры  и постепенно переходят к группировке  их по количеству углов, сторон  и вершин. Они осваивают умение  мысленно поворачивать объект, смотреть  на него с разных сторон, расчленять, собирать, видоизменять его.

3) В познании величин  дети переходят от непосредственных  способов (наложение, приложение) к  опосредованным способам их сравнения (с помощью измерения условной  меркой). Это даёт  возможность  упорядочивать предметы по их  свойствам (размеру, высоте, длине, толщине, массе)

4) Пространственно- временные  представления – осваиваются  через реально представленные  отношения (далеко-близко, сегодня-завтра).

5) Познание чисел и  освоение действий с числами  – сосчитывая разные по размеру, пространственному расположению  предметы, дети приходят к пониманию  независимости числа от других  свойств предметов, знакомятся с  цифрами и знаками.

Решению логико-математических представлений  у детей способствует использование развивающих игр в работе с детьми. Это  использование блоков Дьенеша, палочек Кюизенера, игры Воскобовича.

Развивающие игры Воскобовича направлены на логико-математическое развитие. Целью этих игр является развитие мыслительных операций, а игровыми действиями – манипулирование цифрами, геометрическими фигурами, свойствами предметов.

Примеры таких игр: «Чудо – крестики»  - представляют собой игру с вкладышами. Вкладыши сделаны из кругов и крестиков. Крестики разрезаны на части в виде геометрических фигур. На начальном этапе дети учатся собирать разрезанные фигуры в единое целое. Далее задание усложняется: по схемам ребенок собирает сначала дорожки, башни, а затем драконов, человечков, солдатиков, насекомых и многое другое.

Игра развивает внимание, память, воображение, творческие способности, «сенсорику»; умение «читать» схемы, сравнивать и составлять целое из частей.

Игры с логическими блоками Дьёнеша  построены на принципе сравнительного анализа: когда ребёнок в процесс игры учится различать свойства предметов по цвету, форме, толщине и размеру. Примеры игр и упражнений с логическими блоками Дьенеша 

- Перед ребенком выкладывается  несколько фигур, которые нужно  запомнить, а потом одна из  фигур исчезает или заменяется  на новую, или две фигуры меняются  местами. Ребенок должен заметить  изменения.

- Все фигурки складываются  в мешок. Попросите ребенка на  ощупь достать все круглые  блоки (все большие или все  толстые).

- Выложите три фигуры. Ребенку нужно догадаться, какая  из них лишняя и по какому  принципу (по цвету, форме, размеру  или толщине),  и т.д.

Использование игр и упражнений с палочками Кюизенера поможет уточнить представления детей о цвете, длине, ширине, высоте; научит их сравнивать и измерять предметы, освоить состав чисел и научиться решать простые арифметические и логические задачи.  Примеры игровых упражнений:

-Выкладываем лесенку из 10 палочек от меньшей (белой) к  большей (оранжевой) и наоборот. Пройдитесь  пальчиками по ступенькам лесенки, можно посчитать вслух от 1до 10 и обратно.

- Выкладываем лесенку, пропуская  по 1 палочке. Ребенку нужно найти  место для остальных палочек.

- Постройте поезд из  вагонов разной длины, начиная  от самого короткого и заканчивая  самым длинным. Спросите, какого  цвета вагон стоит пятым, восьмым. Какой вагон справа от синего, слева от желтого. Какой вагон  тут самый короткий, самый длинный? Какие вагоны длиннее желтого, короче синего.

58. Роль и место логических задач  и упражнений в математическом  развитии дошкольников. Освоение  детьми закономерностей следования, включения, чередования.

Результатом включения в образовательный процесс логических задач, ситуаций, вопросов является развитие у детей творческих способностей, уточнение и углубление представлений о разнообразных свойствах, связях, отношениях и зависимостях, развитие инициативности, самостоятельности, уверенности в своих возможностях.

В деятельности, организуемой взрослым, дети осваивают способы разрешения проблемных ситуаций, решения творческих задач, поиска и построения ответа на вопрос. Для этого взрослый организует тематические мини-ситуации, занятия в виде сюжетных логико-математических игр, тренинги, развлечения и вечера досуга.

В старшем дошкольном возрасте важно развивать любые проявления самостоятельности. В работе с детьми старшего дошкольного возраста используются дидактические, развивающие и логико-математические игры, направленные на развитие логического действия сравнения, логических операций классификации, сериации, узнавание по описанию, воссоздание, преобразование, ориентировку по схеме, модели; на осуществление контрольно-проверочных действий («Так бывает?», «Найди ошибки художника»); на следование и чередование и др.

Например, для развития логики применяются игры с логическими блоками Дьенеша, другие игры: «Логический поезд», «Логический домик», «Четвертый лишний», «Поиск девятого», «Найди отличия».

Традиционно используются разнообразные развивающие игры (на плоскостное и объемное моделирование), в которых дети не только выкладывают картинки, конструкции по образцам, но и самостоятельно придумывают и составляют силуэты. Это игры «Танграм», «Колумбово яйцо», «Листик», «Пентамино» и др.. Развитие словесно-логического мышления и логических операций (прежде всего обобщения) позволяет детям 5—6 лет подойти к освоению числа. Дошкольники начинают осваивать способ образования и состав числа, сравнение чисел, выкладывают палочки Кюизенера, рисуют модель «Домик чисел».

Для накопления опыта действий со множествами используются логические блоки, палочки Кюизенера. Возможно использование специальных наглядных пособий, позволяющих осваивать умения выделять значимые свойства («Поиск заповедного клада», «На золотом крыльце», «Давайте вместе поиграем» и др.).

Вариативность средств измерения (часов разных видов, календарей, линеек и т. п.) активизирует поиск общего и различного, что способствует обобщению представлений о мерах и способах измерения.

Старшие дошкольники проявляют интерес к логическим и арифметическим задачам, головоломкам; успешно решают логические задачи на обобщение, классификацию, сериацию.

Освоенные представления начинают обобщаться и трансформироваться. Дети уже способны понять некоторые более абстрактные термины: число, время; начинают понимать транзитивность отношений, самостоятельно выделять характеристические свойства при группировке множеств и т. п. Значительно совершенствуется понимание неизменности количества, величины (принцип, сохранения величины.

Развитие произвольности, планирования позволяет более широко применять игры с правилами — шашки, шахматы, нарды и т. п.

Необходима организация опыта описания предметов, практикования в выполнении математических действий, рассуждения, экспериментирования. С этой целью используются наборы материалов для классификации, сериации, взвешивания, измерения.

59. Освоение детьми неизменности  или изменения количества, веса, объема. Детское экспериментирование  и его организация.

Непосредственный контакт ребенка с предметами или материалами, элементарные опыты с ними позволяют познать их свойства, качества, возможности, пробуждают любознательность, желание узнать больше. В ходе опытной деятельности дошкольник учится наблюдать, размышлять, сравнивать, отвечать на вопросы, делать выводы, устанавливать причинно-следственную связь.

В процессе экспериментирования ребенку необходимо ответить не только на вопрос как я это делаю, но и на вопросы: почему я это делаю именно так, а не иначе, зачем я это делаю, что хочу узнать, что получить в результате.

У старших дошкольников особое внимание необходимо уделять обучению их измерению и сравнению, т.к.  дети старшего дошкольного возраста переходят от непосредственной оценки величин к их более точной количественной характеристике, которую получают путем измерения. Измерение позволяет детям понять относительность числа, его зависимость от избранной меры.

Дети должны понять, для чего нужно измерение. С этой целью важно поставить их перед необходимостью измерения. Например, предложить определить на сколько один предмет длиннее (выше, тяжелее) другого.

Измерение – сложная деятельность, поэтому в обучение детей этому умению нужна определенная последовательность. Вначале необходимо учить измерять длину, ширину, высоту предметов. Н-р:  ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ПРЕДМЕТА. В.: Посмотрите, какая красивая лента на доске. Из нее мы сделаем бантики вот такой длины (показываю мерку). Интересно, сколько бантиков получится? Как узнать? Затем предложить показать, как надо измерять и объяснить правила измерения.

Порядок измерения длины: начать измерять от самого края; отметить конец мерки; после того как мерка уложится полностью, положить палочку (чтобы не запутаться); перенести мерку и продолжить измерение. - Сколько бантиков получиться? Как узнать? (Пересчитать палочки.)

 Проводя данный вид  измерения, дети узнают, что такое  мерка, а так же правила измерения. Необходимо показать, что нарушение  любого правила измерения ведет  к ошибочному результату.

Обучая детей способам определения объема жидких и сыпучих веществ, вначале необходимо установить, что будем измерять (например, горох), что необходимо для измерения (выбрать подходящую мерку), как надо заполнить мерку, до каких пор надо продолжать измерение. В.: Как узнать, сколько здесь гороха?

Насыпать полный стакан гороха, обратить внимание детей на полноту стакана, затем пересыпать его в пустую миску. Чтобы не сбиться со счета, выкладывать на столе палочки. Предложить детям также выкладывать по одной палочке на каждый полный стакан гороха. Чтобы у детей не сформировалось неправильное представление о том, что горох можно измерять только стаканом, предложить попробовать измерить его другими мерками. Упражнения в измерении линейных величин и объемов жидких и сыпучих веществ необходимо чередовать, при этом в качестве мерки использовать разнообразные предметы: полоски бумаги, веревки, ленты, ложки, чашки, банки и пр. Полезно сравнивать разные свойства одних и тех же предметов.

Для освоения детьми неизменности количества, веса, объёма все  эксперименты проводятся на основе принципа сохранения количества объектов при изменении их формы. Понятие сохранения означает, что предмет или совокупность предметов признаются неизменными по составу элементов или по любому другому физическому параметру, несмотря на изменения их формы или внешнего расположения, но при условии, что ничего не отнимается и не добавляется к ним. Овладение этим принципом составляет также необходимое условие для формирования у ребенка научных понятий.

60. Понятие алгоритма в логике. Виды алгоритмов.

О всех видах деятельности, осуществляемых по определенным предписаниям, говорят, что они выполняются по определенным алгоритмам. С малых лет человек усваивает и исполняет в каждодневной жизни большое число алгоритмов, часто даже не зная, что это такое.

Слово алгоритм происходит от имени известного математика IX в. аль-Хорезми, что означает «из Хорезма», впервые сформулировавшего правила выполнения арифметических действий над многозначными числами. Через труды аль-Хорезми в Европу проникли способы действий с числами в десятичной системе счисления, которые стали называть алгоритмами согласно латинской транскрипции имени ученого. В течение столетий значение слова «алгоритм» постепенно обобщалось, и сегодня под алгоритмом понимают некоторый общий метод или способ, предписание, инструкцию, свод правил для решения за конечное число шагов любой задачи из определенного вида однотипных задач, для которого предназначен этот метод.

Интуитивно под алгоритмом понимают общепонятное и точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить для решения любой задачи из данного вида однотипных задач.

Анализ различных алгоритмов позволяет выделить следующие общие свойства, присущие алгоритмам:

а) массовость, т. е. алгоритм предназначен для решения не одной какой-нибудь задачи, а для решения любой задачи из данного вида однотипных задач;

б) определенность, т. е. алгоритм 
представляет собой строго определенную последовательность 
шагов, или действий, он однозначно определяет первый шаг и 
каждый следующий шаг, не оставляя решающему задачу никакой 
свободы выбора следующего шага по своему усмотрению;

в) результативность: решая любую задачу из данного вида 
задач по соответствующему алгоритму, мы за конечное число 
шагов получаем результат. Разумеется, для различных частных 
задач одного вида число шагов может оказаться различным, но 
оно всегда конечно.

Каждый алгоритм может быть представлен в виде последовательности шагов. Понятие шаг является относительным. Один и тот же алгоритм можно по-разному представить в 
виде последовательности шагов, и не всегда отдельные шаги соответствуют элементарным действиям. Само понятие элементарное действие относительно: одно и то же действие может быть для одного ребенка элементарным, для другого — неэлементарным (в результате чего и возникает необходимость в расчленении этого действия на другие, элементарные, 
действия).

Дискретность структуры алгоритма состоит в том, что для каждого шага можно указать однозначно непосредственно следующий за ним шаг. Можно различить два основных вида команд, а следовательно, два основных вида шагов: простые команды, предписывающие выполнение некоторых действий («смотри влево» и т. д.), и составные, определяющие разветвление процесса решения задачи в зависимости от выполнения или невыполнения 
некоторого условия («если идет транспорт слева, то перейди к указанию 2, иначе — к указанию 5»), называемые условными.

Если же алгоритм состоит из одних простых команд, то он называется линейным.

Таким образом, различают линейные, разветвленные и циклические алгоритмы.

Разветвлённый алгоритм предполагает выбор тех или иных действий в зависимости от какого-либо условия.

Циклический алгоритм предполагает описание действий, которые должны повторятся указанное число раз или пока не будет выполнено заданное условие.