Актуарная оценка резервов в рисковом страховании

Основная теорема.

При раздельном прогнозировании  по методу цепной лестницы на основании  оплаченных и заявленных убытков  соотношение между , k≥n+1-i и соответствующим этому году развития средним по всем годам событий

 остается неизменным для каждого года события i. Доказательство можно найти в книге Томаса Мака.

При наличии обоих треугольников  оплаченных и заявленных убытков  – первоначальная модель цепной лестницы должна быть модифицирована так, чтобы множители (линейно) зависели от или соответственно от .

Таким образом помимо само собой разумеющегося предположения (МЦЛ1), что годы событий { независимы, в основе метода цепной лестницы лежит следующее предполдожение (МЦЛ2):

 

 

где

То же самое можно переписать в виде

 

 

Из формулировки предположения (МЦЛ2) ясно, что речь идет о двух обычных линейных регрессиях. Как и в модели классической цепной лестницы, разумно исходить из гетероскедастичной регрессии (МЦЛ3), то есть

 

В условиях предположений  МЦЛ1-МЦЛ3 оценки по методу наименьших квадратов для неизвестных параметров имеют вид

 

 

 

 

 

Формулы для  получаются простой заменой С на D.

Таким образом, получаются следующие  формулы для прогноза будущих  состояний убытка:

 

 

со стартовыми значениями

Прогноз осуществляется пошагово: только после вычисления обоих значений и может строиться оценка для следующего года развития k+1. Это и в самом деле напоминает цепную лестницу (chain ladder), в которой соединяются друг с другом два развития.

Стартовое значение , которое при обычном методе цепной лестницы ведет к бессмысленному прогнозу, в мюнхенской цепной лестнице не представляет проблемы, поскольку обычно .

На основании предположений  модели мюнхенской цепной лестницы МЦЛ 1 – 3 можно также определить точность прогноза, которая складывается из случайной ошибки   и оценочной ошибки ; аналогично для 

Метод Борнуэттера-Фергюсона

Данный метод назван в  честь двух американских актуариев, опубликовавших его в 1972 году. Основная идея метода - рассчитывать РПНУ по аналогии с проспективным математическим резервом в страховании жизни. При этом величина резерва будет зависеть от начальной оценки общих выплат и ожидаемой доли общих выплат, приходящейся на будущие периоды. При расчете этого резерва никак не учитывается объем уже осуществленных выплат и изменение оценки общего объема выплат по рассматриваемым договорам. Данный метод состоит из следующих шагов¹³:

1. Определяются коэффициенты развития убытков соответствующие относительному увеличению совокупной величины оплаченных убытков от одного периода оплаты (развития) к последующему:

 

Для обеспечения сопоставимости совокупных убытков при переходе от k-го к (k+1)-му периоду оплаты убытков во внимание должны приниматься страховые выплаты (убытки) лишь по тем страховым случаям, которые произошли в одинаковые периоды наступления убытков.

2. Расчет значений факторов развития убытков H(j). Фактор развития убытков Н(j) показывает совокупный, результативный темп изменения размера суммарных выплат при переходе от j-го к N-му, отчетному, кварталу оплаты убытков. Его значения определяется по формуле:

 

3. Расчет факторов запаздывания по формуле (1-L(j)). Здесь L(j) отражает долю суммарных убытков, оплаченных на конец j-гo квартала, во всем объеме ожидаемых суммарных убытков, а (1-L(j)) – долю суммарных убытков, неоплаченных на конец j-го квартала. Рассчитывается L(j) по формуле:

 

4. Для каждого периода наступления убытков вычисляются коэффициенты оплаченных убытков U(i), равные отношению величины оплаченных на отчетную дату убытков (с учетом их последующего развития) к величине заработанной страховой премии за соответствующий период:

 

где ЗП(i) – заработанная страховая премия за i-ый период наступления убытков.

5. Определение среднего значения коэффициента оплаченных убытков – средней расчетной убыточности –   на основе найденных U(i) по формуле

 

Среднее значение коэффициента оплаченных, убытков   принимается за ожидаемую (прогнозную) убыточность на конец N-го отчетного квартала по страховым случаям, которые произошли по всем периодам их наступления.

6. Расчет ожидаемой (прогнозной) на конец N-гo отчетного квартала величины всех (оплаченных и неоплаченных) убытков V(i) по страховым случаям, наступившим в i-м квартале:

 

Величина V(i) отражает ожидаемое значение страховых выплат на конец N-го отчетно-го квартала по страховым случаям i-гo периода с учетом прогнозной средней убыточности .

7. Величина V(i) отражает ожидаемое значение всех страховых выплат на конец N-гo отчетного квартала по страховым случаям i-гo периода. Зная (1-L(N-i+1)) — долю убытков, которые не оплачены к концу (N-i+1)-го квартала, можно определить ожидаемый размер неоплаченных убытков R(i) как произведение этих двух величин:

 

8. Расчет ожидаемой (прогнозной) к концу N-го отчетного квартала величины произошедших, но незаявленных убытков ПНУ(i) по страховым случаям, наступившим в i-м квартале, по формуле:

 

где ЗНУ(i) – величина заявленных, но неурегулированных на отчетную дату убытков по страховым случаям, произошедшим в i-ом квартале.

Так как расчет R(i) основан  на учете доли всех неоплаченных убытков (1-L(N-i+1)), R(i) отражает все неоплаченные убытки — заявленные, но неурегулированные  и произошедшие, но незаявленные. Поэтому  для выделения произошедших, но незаявленных убытков по страховым случаям i-го периода из величины R(i) нужно вычесть заявленные, но неурегулированные на отчетную дату убытки ЗНУ(i), отвечающие страховым случаям i-го квартала.

9. Расчет ожидаемой (прогнозной) к концу N-го отчетного квартала величины произошедших, но незаявленных убытков ПНУ для всех договоров рассматриваемой учетной группы, по всем кварталам наступления страховых случаев, проводится по формуле:

 

10. Расчет ожидаемого (прогнозного) к концу N-го отчетного квартала размера резерва произошедших, но незаявленных убытков РПНУ для всех договоров рассматриваемой учетной группы по всем кварталам наступления страховых случаев, дополнительно учитыва-ющего расходы на урегулирование убытков:

 

Включение в формулу коэффициента 1,03 обусловлено тем, что средства РПНУ используются не только на страховые  выплаты, но и на урегулирование убытков. Коэффициент 1,03 показывает, что расходы  по урегулированию убытков устанавливаются  в размере 3% от всей величины произошедших, но незаявленных убытков.

 

Заключение

Таким образом в данной курсовой работе была рассмотрена такая важная категория страхового дела, как страховые резервы. Акцент был сделан на резервах убытках и на описании методов их оценки. Стоит отметить, что точная оценка резерва заявленного убытка и резерва позднего убытка нужна не только для внешней отчетности, но и для расчета премий, основанного, как известно, на данных о прошлом процессе убытков. В последние годы надзорные органы все большего числа стран требуют актуарного обоснования резерва позднего убытка – ранее такой порядок действовал только в отношении резерва на покрытие выплат в страховании жизни. Также проблематика резервирования позднего убытка особым образом затрагивает перестраховщика при перестраховании эксцедента убытка в страховании гражданской ответственности.

Надо сказать, что метод цепной лестницы, благодаря возможности анализа и проверок, остается основным методом резервирования. Предпочтение другим методам отдается только в случаях, когда их стандартная ошибка значительно меньше стандартной ошибки метода цепной лестницы, или при наличии детализованных данных. Для большинства методов, встречающихся в литературе по страховой математике, не указывается способ расчета стандартной ошибки. Эта задача при необходимости решается самим пользователем.

 

 

Список литературы

1. Федеральный закон № 4015-1 от 27.11.1992 г. «Об организации страхового дела в РФ»
2. Приказ Минфина РФ от 11.06.2002 г. № 51н «Об утверждении правил формирования страховых резервов по страхованию иному, чем страхование жизни».
3. Т. Мак - Математика рискового страхования. М.: Олимп-Бизнес, 2005.
4. G. Quarg, T. Mack (2004). Munich Chain Ladder.
5. The concept of reserving and reserving methodologies in general insurance by Elena Pantzopoulou.
6. Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования. СПб.: Питер, 2005.
7. Гильдия актуариев - Актуарные стандарты формирования страховых резервов по видам страхования иным, чем страхование жизни.

¹ Федеральный закон № 4015-1 от 27.11.1992 г. «Об организации страхового дела в РФ»

²  Приказ Минфина РФ от 11.06.2002 г. № 51н «Об утверждении правил формирования страховых резервов по страхованию иному, чем страхование жизни».

³  Гильдия актуариев - Актуарные стандарты формирования страховых резервов по видам страхования иным, чем страхование жизни.

⁴ Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования

⁵  Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования

⁶ Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования

⁷  Мак - Математика рискового страхования

⁸  Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования

⁹  Т. Мак - Математика рискового страхования

¹⁰  The concept of reserving and reserving methodologies in general insurance by Elena Pantzopoulou

¹¹  Т. Мак - Математика рискового страхования.

¹²  G. Quarg, T. Mack (2004). Munich Chain Ladder. Перевод с немецкого Елены Курносовой.

¹³  Г.В.Чернова – Основы экономики страховой организации по рисковым видам страхования.