Актуарная оценка резервов в рисковом страховании

 

В итоге получаем:

 

	Год развития
	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6
Ratio	570 904 370207 = 1.542	463 306 420 428 = 1.102	349 506 324 897 = 1.076	226 844 216 623 = 1.047	106 264 103 162 = 1.030

Таблица 5. Взвешенные факторы развития

Рассчитанные взвешенные коэффициенты развития используются для  завершения треугольника развития, как  показано в таблице 6:

Год события	Год развития
	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	1.547 1.581 1.570 1.479 1.550 1.542	1.113 1.118 1.097 1.087 1.102 1.102	1.086 1.075 1.069 1.076 1.076 1.076	1.050 1.045 1.047 1.047 1.047 1.047	1.030 1.030 1.030 1.030 1.030 1.030

Таблица 6.

Таблица 6 приводит в итоге  к законченному треугольнику развития, показанному в таблице 7:

Год события	Год развития
	1	2	3	4	5	6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	52 546 62 285 72 173 86 135 97 068 128 982	81 275 98 495 113 299 127 359 150 476 198 906	90 461 110 096 124 340 138409 165 823 219 192	98 277 118 346 132 883 148 893 178 383 235 794	103 162 123 682 139 153 155 918 186 799 246 920	106 264 127 401 143 337 160 606 192 416 254 344

Таблица 7. Законченный треугольник  развития.

Оцененный резерв находится  как разница между колонкой 6 –  оцененной конечной стоимостью убытков  за период событий 1992-1996, и текущими кумулятивными оплаченными убытками:

 

 

Год события	Оцененный конечный убыток	Оплаченные убытки	Резерв
1992 1993 1994 1995 1996	127 401 143 337 160 606 192 416 254 344	123 682 132 883 138 409 150 476 128 982	3 719 10 454 22 197 41 940 125 362
Тотал	878 104	674 432	203 672

Таблица 8. Необходимые резервы.

Кроме того, из года в год факторы могут быть перемножены для того чтобы дать факторы, которые принимают убытки от данного уровня зрелости и до конечного. Обратные этих факторов представляют долю конечных убытков, которые ожидаются на каждом истечении времени задержки (Booth, P., Chadburn, R., Cooper, D., Haberman, S., James, D.- Modern

Actuarial Theory and Practice, Chapman & Hall/CRC, London). Таблица 9 демонстрирует вычисления:

Период развития             1-2            2-3             3-4              4-5               5-6

Факторы развития          1.542        1.102         1.076          1.047          1.030

Период развития       1-ultimate    2-ultimate  3-ultimate    4-ultimate   5-ultimate

Кумулятивные факторы  1.972       1.279          1.160         1.079          1.030 Обратные (                     0.507        0.782           0.862          0.927            0.971

Таблица 9.

Из базовой модели цепной лестницы:

 

  обычно оценивается с использованием последней информации календарного периода. В нашем случае:

 
 
 
 
 

Разница между значениями и теми, которые были получены выше обусловлены округлением фактора до трех знаков после запятой.

Стоит отметить, что оцененные  значения должны быть постоянными, если тенденции в данных стабильны, независимо от периода задержки, при которой производится оценка.

Год события	Год развития
	1	2	3	4	5	6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	103 617 122 822 142 320 169 853 191 412 254 344	103 928 125 947 144 877 162 856 192 416	104 969 127 753 144 281 160 606	106 009 127 656 143 337	106 264 127 401	106 264

Таблица 10. Оцененные конечные убытки по каждому периоду развития

Этот простой анализ дает начальное понимание тенденций  в данных, которые могут выходить за рамки модели. Он также дает указание на стабильность, с которой конечные убытки были оценены в прошлом, и, следовательно, размер ошибки, которые возможны в рамках данного метода.

Также могут быть вычислены  возрастающие будущие убытки при  помощи простого вычитания последовательных значений в таблице 7. В итоге получаем:

 

Год события	Год развития
	1	2	3	4	5	6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	52 546 62 285 72 173 86 135 97 068 128 982	28 729 36 210 41 126 41 224 53 408 69 924	9 186 11 601 11 041 11 050 15 347 20 286	7 816 8 250 8 543 10 484 12 560 16 602	4 885 5 336 6 270 7 025 8 417 11 126	3 102 3 719 4 184 4 688 5 617 7 425

Таблица 11. Возрастающие оплаченные убытки.

Прогнозируемые будущие  платежи по календарным периодам могут быть получены из диагоналей треугольника возрастающих оплаченных убытков:

Год события	Календарный год платежа
	1997	1998	1999	2000	2001
1991 1992 1993 1994 1995 1996	3 719 6 270 10 484 15 347 69 924	4 184 7 025 12 560 20 286	4 688 8 417 16 602	5 617 11 126	7 425
Тотал	105 744	44 055	29 707	16 743	7 425

Таблица 12. Оцененные будущие  платежи по календарным годам.

 

 

Теперь перейдем к описанию стохастической модели метода цепной лестницы¹¹.

Представим конечный убыток в мультипликативной форме:

 

где – мультипликативное приращение аккумулированного уровня убытка

i-го года события при переходе от k-го к (k+1)-му году развития. Мультипликативное представление возможно только при условии для всех i, k; иначе произведение нужно начинать не с , а с первого положительного .

Тогда предположение (в среднем) одинаково для всех лет событий  распределения конечного убытка по годам развития можно трактовать как независимость математического ожидания случайной величины от года события i:

 

Параметры задают среднее  приращение уровня убытка при переходе от k-го к (k+1)-му году развития.

В методе цепной лестницы оценки параметров определяются как взвешенные по арифметические средние

 

наблюдаемых значений случайных  величин . Следующая характерная особенность метода цепной лестницы состоит в том, что конечный убыток оценивается величиной

 

а резерв

величиной

то есть прогноз основывается только на текущем уровне убытка года события i, а все предыдущие состояния игнорируются.

Таким образом, метод цепной лестницы неявно предполагает отсутствие полезной информации во всех состояниях убытка, кроме текущего. Предположение формализуется следующим образом:

(ЦЛ1) Существуют такие множители развития , что

 

ЦЛ1 означает зависимость условного математического ожидания величины только от и независимость от прежних состояний . Учитывая свойство итеративности математического ожидания, из ЦЛ1 непосредственно выводим равенство

 

Кроме ЦЛ1 будет используется предположение

(ЦЛ2) Годы событий {}, 1≤i≤I, независимы.

 В книге Томаса Мака  выводится и точность оценки  резерва:

Теорема. При выполнении ЦЛ1 и ЦЛ2 средняя квадратичная ошибка оценки резервов по методу цепной лестницы оценивается величиной

 

где – оценка для и для упрощения записи принято

Метод мюнхенской цепной лестницы¹²

Расчет резерва произошедших, но не заявленных убытков может осуществляться как на основании треугольника оплаченных убытков, так и на основании треугольника заявленных убытков. Однако несмотря на имеющее в реальности место совпадение итоговых уровней заявленного и оплаченного убытка в конце срока развития, их прогнозные значения, построенные на двух видах треугольников, могут сильно различаться. Много лет актуарии всего мира жили с этой проблемой, пока сотрудник Мюнхенского перестраховочного общества Герхард Кварг в 2004 году не установил причину несоответствия. При более детальном анализе было выявлено, что между двумя треугольниками – заявленных и оплаченных убытков – существует связь, которая обычно не учитывается при проведении двух прогнозов изолированно друг от друга.

Решению этой задачи служит мюнхенский метод цепной лестницы, позволяющий приблизить друг к другу  прогнозы, основанные на заявленных и  оплаченных убытках, в той же мере, в какой приближены друг к другу  наблюдаемые данные двух треугольников  развития.            

 Мюнхенская цепная  лестница представляет собой  ничто иное как обобщение метода цепной лестницы в том смысле, что при отсутствии упомянутой выше зависимости между наблюдаемыми данными автоматически получается такой же прогноз, как и по обычному методу цепной лестницы.

Обозначим теперь уровень  оплаченного убытка через , уровень заявленного убытка через , а соответствующие множители развития через и , т.е.

Как можно наблюдать, оценки конечного убытка и различаются, несмотря на имеющее место в реальности равенство . Следующая теорема показывает, что это не случайность, а неизбежное следствие используемого способа расчета.