Актуарная оценка резервов в рисковом страховании

Рассчитывается размер РНП  сразу для совокупности договоров  отдельной учетной группы, заключенных в одном календарном периоде и имеющих одинаковую продолжительность, по формуле, аналогичной пропорциональному методу, однако единицей измерения здесь будут не дни, а полумесяц для метода 1/24 и полуквартал для метода 1/8:

 

Метод 100% применяется для  тех видов страхования, по которым  о страховом случае страховщик может  узнать только в момент окончания  срока действия договора. До конца  срока РНП по таким договорам  должен быть равен всей базовой премии, т.е. должен быть равен 100% от нее:

Резервы убытков. Постановка проблемы

Между моментом наступления  страхового события и моментом его  окончательного урегулирования всегда проходит определенный срок: во-первых, убыток должен быть зарегистрирован и проверен страховщиком, в во-вторых, само урегулирование, особенно в случае больших убытков, занимает время. Если в большинстве видов страхования срок между моментом наступления убытка и моментом его окончательного урегулирования относительно небольшой (1-2 месяца), то в страховании гражданской ответственности он вполне может составить несколько лет. Это обусловлено двумя основными причинами:

1. Позднее обнаружение: в ряде случаев, таких как ошибка архитектора, нотариуса или промышленного производителя, ущерб может быть замечен только спустя долгое время после его причинения
2. Долгий период урегулирования: например, решение зависит от исхода судебного процесса

Таким образом, в конце  каждого отчетного периода имеются два вида убытков неопределенного размера:

• убытки второго типа уже заявлены страховщику, но еще не урегулированы окончательно. В каждом из таких случаев компетентное лицо, основываясь на своем опыте и имеющейся в распоряжении информации о страховом случае, устанавливает достаточный, по его мнению, резерв заявленного убытка. Разность между ним и производимой позднее фактической выплатой образует так называемую прибыль развития или же потерю развития. Резерв для случая отрицательного результата развития всего портфеля называется IBNER-резервом (Incurred and reported, but not enough reserved). Соответствующие убытки иногда также называются RBNS-убытками (Reported but not settled);
• убытки первого типа уже наступили или причинены, но еще не заявлены страховщику или не замечены страхователем. Они называются IBNR-убытками (Incurred but not reported, IBNR). Если опыт прошлых лет свидетельствует о возможности таких убытков, то страховщик обязан сформировать для них достаточный IBNR-резерв⁷.

Резерв заявленных, но неурегулированных  убытков

Для оценки резерва заявленного  убытка математические методы практически  не применяются. Для них специалист по урегулированию убытков из соображений  экономии труда часто дает лишь интервальную оценку вида «предполагаемый размер выплаты – ниже 1000 $».

Заявленный, но неурегулированный  убыток по всем договорам j-ой учетной группы рассчитывается по формуле:

 

где

 - заявленный, но неурегулированный убыток по i-му договору j-й учетной группы;

- число договоров j-й учетной группы.

Суммарная величина заявленных, но неурегулированных убытков ЗУ по всему страховому портфелю определяется как сумма заявленных, но неурегулированных  убытков по всем учетным группам:

 

где

- заявленный, но  неурегулированный убыток по  всем договорам j-й учетной группы;

J – число учетных групп.

Размер резерва заявленных, но неурегулированных убытков РЗУ  по всему страховому портфелю рассчитывается как сумма:

• заявленных, но неурегулированных убытков по всему страховому портфелю ЗУ на отчетную дату;
• всех страховых премий, подлежащих на отчетную дату возврату страхователям или перестрахователям в связи с досрочным прекращением договоров или изменением их условий (ВПР);
• расходов по урегулированию убытков по всему страховому портфелю, устанавливаемых в размере 3% от суммы заявленных, но неурегулированных убытков и возвращенных премий по всему страховому портфелю (ЗУ+ВПР).

⁸

Резерв произошедших, но незаявленных убытков

Оценка IBNR и IBNER-резервов по видам страхования с долгим периодом развития имеет решающее значение для отчета и исчисления премий. Поэтому, в особенности за последние годы, разработано большое число математических методов оценки РПНУ. Они объединены общей идеей – проецировать опыт прошлых лет событий на последующие годы событий.

В данной работе будут рассмотрены 3 основных метода:

• Метод цепной лестницы;
• Метод мюнхенской цепной лестницы;
• Метод Борнуэттера-Фергюсона.

Треугольник развития

Задача резервирования имеет  следующую формулировку. Пусть 

- суммарная выплата в k-ом году развития по убыткам, произошедшим в i-м году события. Первый год развития (k=1) совпадает с годом события. Вторым годом развития (k=2) является календарный год, следующий за годом события, и т.д. За I лет, предшествующих текущему году, становятся известны значения , образующие так называемый треугольник развития (таблица1)⁹.

	Год развития
Год события			…		…		…
			…		…		…
	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
	…	…	…	…	…
			…
	…	…	…

Таблица 1.

Ближайший год события  i=I предшествует текущему году. Из всех убытков, произошедших в году I, известны только заявленные в том же году. Для самого отдаленного года события i=1 известны k=I лет развития. Развитие первого года события предполагается полностью завершенным, то есть показатели будущих лет развития равняются нулю. По прошествии одного года треугольник развития приобретает только новую гипотенузу, значения которой соответствуют последнему календарному году. При построении модели важно иметь в виду тенденцию значений каждого года события i к уменьшению (до нуля) с ростом k, обусловленную снижением вероятности изменения уровня убытка по мере увеличения срока развития.

Если по истечению I лет развития все убытки одного года события известны и полностью урегулированы, то величина представляет собой совокупный убыток i-ого года события. От суммы на текущий момент известна только часть .

Цель математических методов  – оценить неизвестную часть

 

определяющую фактически требуемый размер страхового резерва i-ого года развития.

Часто треугольник развития строится в кумулятивной форме, когда  на месте (i, k) стоит не приращение , а аккумулированный уровень убытка

Виды данных

Существуют два основных вида данных, из которых может быть построен треугольник развития. В  одном случае обозначают сумму убытков, оплаченных в течение k лет развития (без каких-либо резервов заявленных убытков), а в другом – сумму убытков, произошедших в течение k лет развития, куда входят все осуществленные выплаты, а также сформированные к этому моменту резервы заявленных убытков. Соответственно, представляет собой либо сумму выплат, произведенных в k-ом году развития по убыткам i-го года события, либо сумму этих же выплат с добавлением сальдо всех изменений резервов заявленных убытков. Если в первом случае значения всегда неотрицательны (исключения возможны в случае возвратов), то во втором случае вполне возможны отрицательные , например, в связи с изменением оценки страхового случая или выгодным для страховщика исходом судебного разбирательства по установлению факта страхового случая. Благодаря отсутствию оцененных значений в составе данных, треугольник развития оплаченных убытков – более надежная база для расчетов. Зато треугольник развития произошедших убытков позволяет намного раньше узнать порядок величины окончательного убытка по каждому года события.

Метод цепной лестницы

Данный метод является самым популярным среди всех методов  расчета резервов. Обычно он представляется в чисто детерминированной форме. За что постоянно критиковался известными актуариями. В качестве главного аргумента  противниками метода выдвигалась скоррелированность множителей развития. Критика долгое время казалось справедливой, пока в 1993 году не удалось обосновать метод цепной лестницы в рамках стохастической модели. Стохастическая модель позволит не только определить границы применимости метода и необходимые предпосылки, но и задать точность оценки резерва.

Но сначала все-таки представим детерминированную форму метода цепной лестницы¹⁰. Она может быть выражена как:

 

где представляет иски (количество или суммарные выплаты) в j-ом году развития по убыткам, произошедшим в i-м году события;

 представляет конечный уровень исков за год события (происхожения) i;

 есть доля конечного уровня исков, который возник в конце периода развития j;

 есть остаточный  член;

В базовой модели цепной лестницы значения получены с использованием средневзвешенных значений соотношения суммарных значений исков в последующие периоды развития. Методология также может быть применена к возрастающим значениям, но обычно это не так, поскольку суммарные выплаты, как правило, уменьшаются в последующие периоды развития и соотношения в последующие годы становятся неустойчивыми.

Метод предполагает, что  совокупный размер позиции в период развития j является наиболее подходящей основой для оценки накопленной позиции в период развития j+1, и путем вычитания можно найти дополнительное движение от j-ого к j+1-ому периоду.

Рассмотрим следующий  пример для иллюстрации метода. Данные берутся из книги авторов Ackman, R.C., Green, P.A.G., Young, A.G. (1983) - Estimating Claims Outstanding, General Insurance Monograph.

Год события	Год развития
	1	2	3	4	5	6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	52 546 62 285 72 173 86 135 97 068 128 982	28 729 36 210 41 126 41 224 53 408	9 186 11 601 11 041 11 050	7 816 8 250 8 543	4 885 5 336	3 102

Таблица 2. Возрастающие оплаченные убытки

Первый шаг – это  включить возрастающие убытки в кумулятивные (накопленные). Кумулятивные оплаченные убытки показаны ниже в таблице 3:

 

 

 

Год события	Год развития
	1	2	3	4	5	6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	52 546 62 285 72 173 86 135 97 068 128 982	81 275 98 495 113 299 127 359 150 476	90 461 110 096 124 340 138409	98 277 118 346 132 883	103 162 123 682	106 264

Таблица 3. Кумулятивные оплаченные убытки

В этот момент важно изучить  данные, чтобы увидеть, если имеются  какие-либо нарушения в закономерности развития претензий. Построение графиков данных необходимо для того, чтобы  получить визуальную информацию о модели развития для каждого года события  и для выявления необычных  особенностей. Рисунок 1 показывает развитие кумулятивных оплаченных требований.

Рисунок 1

 

Коэффициенты развития получаются путем деления значения оплаченных убытков какого-то года к предыдущему  значению:

Год события	Год развития
	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6
1991 1992 1993 1994 1995 1996	1.547 1.581 1.570 1.479 1.550	1.113 1.118 1.097 1.087	1.086 1.075 1.069	1.050 1.045	1.030

Таблица 4. Соотношения убытков

Лучшим является сценарий, когда показатели роста убытков  в каждом столбце очень похожи и не зависят от года события. Для нашего случая дисперсию можно наблюдать для показателей роста в каждом периоде развития. Однако, коэффициенты роста все еще остаются стабильными, несмотря на наблюдающуюся дисперсию. Следующий этап т – предположив, что коэффициенты роста являются стабильными, вычислить взвешенные факторы развития. Взвешенные факторы развития рассчитываются следующим образом: