Исследование систем автоматического управления

В результате исследования системы по критерию Рауса, данная САР является по результатам таблицы устойчивой.

 

3.2 Исследование системы по критерию Гурвица

Для исследования системы  по критерию Гурвица по данным характеристического уравнения для замкнутой системы составляют определитель Гурвица и находят его диагональные миноры. Приведем ниже определитель Гурвица A и все его диагональные миноры для заданной системы автоматического регулирования:

     

     

                  

                               

_A1=0.0000635                                                    

Вычислив все определители, получили, что все они положительны, а значит, система автоматического регулирования согласно критерию Гурвица является устойчивой.

3.3 Исследование  системы по критерию Михайлова

Для исследования системы по критерию Михайлова воспользуемся характеристическим уравнением  замкнутой системы (2.9). Данное уравнение является вектором Михайлова:

Разделив вектор на мнимую и вещественную части, получим:

   

Рисунок 3.1. Годограф Михайлова для заданной САР.

Для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной части вещественной оси и проходил бы последовательно в положительном направлении против хода часовой стрелки, не попадая в начало координат, столько квадрантов каков порядок характеристического уравнения. В других случаях система либо находится на границе устойчивости, либо неустойчива.

Анализируя график, его вид, можно прийти к выводу, что он не удовлетворяет условию устойчивости. Это может быть связано со значениями исходных данных, особенностями строения структурной схемы, то есть с различными параметрами самой САР.

 

3.4 Исследование системы по критерию Найквиста

Для суждения об устойчивости замкнутой системы определяют передаточную функцию разомкнутой системы, заменяют в ней s на jw и получают выражение для амплитудно-фазовой частотной функции. Подставляя значения w от 0 до ∞, строят характеристику на плоскости комплексных чисел, а затем анализируют ее.

Определим вещественную U(w) и мнимую V(w)частотные характеристики разомкнутой системы, пользуясь передаточной функцией разомкнутой цепи (2.5):

U(w)=Re(W(w)), V(w)=Im(W(w)), где W(w)=

U(w)= +

+

 

V(w)=

Построим для данных выражений вещественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой  системы амплитудно-фазовую частотную  характеристику.           

Рисунок 3.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Замкнутая система будет  устойчива, если амплитудно-фазовая  частотная характеристика разомкнутой системы W(jw) не охватывает точку (-1,j0). В противном случае система будет неустойчивой. На рисунке 3.2 видно, что годограф W(jw) при увеличении w от -∞ до 0 представляет собой кривую, симметричную относительно вещественной оси U(w) в плоскости W(jw),, кривая не охватывает точку с координатами (-1,j0), а следовательно удовлетворяет по критерию Найквиста условию устойчивости системы.

Итак, мы получили, что по трём критериям (Рауса, Гурвица и Найквиста) система устойчива, а по критерию Михайлова – неустойчива. Чтобы более полно исследовать систему автоматического управления и определить, устойчива ли она или нет, применим к ней метод D-разбиения. 

 

3.5. Исследование  САР с использованием метода D-разбиения

Метод D-разбиения определяет область устойчивости параметров и применяется для заведомо устойчивых САР. Для выделения областей устойчивости необходимо характеристическое уравнение замкнутой системы (2.9) разрешить относительно, например, одного интересующего нас параметра. Домножим свободный коэффициент характеристического уравнения замкнутой системы  на параметр α и выразим его:

     _(3.2)

           Выделим в этом выражении (3.2) действительную и мнимую части, получим:

Задаваясь w от -∞ до ∞, на комплексной плоскости строим кривую. Значения параметра α делают систему устойчивой, когда принадлежат области I; если α попадает в область II, то система находится на границе устойчивости; если значения α принадлежат области III, то система неустойчива.

Рисунок 3.3 – Кривая D-разбиения

Анализируя кривую, система  будет устойчивой, когда α принадлежит  интервалу [-2,0]. Соответственно, при положительных значениях α система неустойчива, а на интервале значений α от -∞ до -2, система находится на границе устойчивости.

Метод D-разбиения позволил определить интервалы, в которых система устойчива, находится на границе устойчивости или неустойчива вообще.

В результате проведения исследования системы автоматического управления на устойчивость можно сделать следующие выводы: система автоматического управления является устойчивой, так как она устойчива по трём критериям – Рауса, Гурвица, Найквиста. Система является неустойчивой лишь по критерию Михайлова. Метод D-разбиений помог установить границы устойчивости системы, интервалы, в которых система находится на границе устойчивости и является неустойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование системы на качество регулирования.

Исследование системы на качество регулирования является одним из основных при выполнении курсового проекта. Если система не содержит релейных элементов, возможно исследование системы методом трапеций.

 

1.  Определение обобщенной вещественной характеристики

Существует представление частотной передаточной функции замкнутой системы:

                                             ф(jw) = P(w) + jQ(w)                                              (4.1)

где P(w) и Q(w) –вещественная и мнимая частотные функции, которые определяются следующим образом:

             P(w) = (U(w) (1+ U(w)) + V²(w))/((1+U(w)) ² + V(w))              (4.2)

                       Q(w) = V(w)/(1+U(w)) ² + V²(w)                                      (4.3)

Выражение (4.2) является обобщенной вещественной характеристикой. Известно, что обобщенная вещественная характеристика P(w) однозначно связана с переходной характеристикой h(t), и потому она применяется для оценки качества регулирования.

Определим для заданной САР ее обобщенную вещественную характеристику и построим ее график:

Рисунок 4.1 – Обобщённая вещественная характеристика

Так как масштаб графика, изображённого на рис. 4.1, очень велик, то ниже на рис 4.2 приведены графики  той же обобщённой вещественной характеристики, что и на рис. 4.1:

Рисунок 4.2

Представим обобщенную вещественную характеристику P(w) в виде Суммы нескольких трапеций, заменив криволинейные участки прямыми. График, соответствующий вышеприведенному условию будет представлять собой декомпозицию из трёх графиков (рис. 4.3), изображённых на рис. 4.1 и рис. 4.2. Для наглядности данный график выполнен без соблюдения масштаба:

Рисунок 4.3

Для каждой i-ой трапеции (i = 1,3) определим отношение:

                                                   (4.4)

где woi – частота пропускания; wdi - частота равномерного пропускания, и начальную ординату Poi (w).

Таблица 4  - Параметры трапеций

Наименование параметра	Значение параметра для трапеции
	1	2	3
P0i{w}	0,022	0,016	-0,004
æi	0,25	0.15	0.05
W0i	9.54	65.54	1200

 

Основываясь на данных  из таблицы 4, построим таблицу 5 для нахождения переходного процесса.

 

 Из справочника Н.Н. Иващенко  определить значения h_xi при соответствующих значениях dt. Затем определим переходную функцию:

                                 hi(t) = Poi (w) hxi (τ)                                                   (4.5)

 где Poi (w) – начальная ордината (высота) i-ой трапеции.

Приведем ниже таблицу  с данными, необходимыми для построения переходной характеристики:

 

 

Таблица 5 – параметры построения переходного процесса

	Значения функции
	0,022	0,016		0,004
0,0	0,0000		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,2	0,0794		0,0731	0,0666	0,0017	0,001169	-0,00027	0,0210	0,0031	0,0002	0,0009
0,4	0,1585		0,1459	0,1332	0,003487	0,002334	-0,00053	0,0419	0,0061	0,0003	0,0017
0,6	0,2361		0,2172	0,1984	0,005194	0,003475	-0,00079	0,0629	0,0092	0,0005	0,0026
0,8	0,3123		0,2876	0,2627	0,006870	0,004601	-0,00105	0,0839	0,0122	0,0007	0,0034
1,0	0,3863		0,3559	0,3250	0,008498	0,005694	-0,0013	0,1048	0,0153	0,0008	0,0043
1,2	0,4578		0,4218	0,3857	0,010071	0,006748	-0,00154	0.12578	0,0183	0,0010	0,0050
1,4	0,5260		0,4851	0,4434	0,011572	0,007761	-0,00177	0,1468	0,0214	0,0012	0,0058
1,6	0,5909		0,5452	0,4985	0,012999	0,008723	-0,00199	0,1677	0,0244	0,0013	0,0065
1,8	0,6520		0,6019	0,5506	0,014344	0,009630	-0,0022	0,1887	0,0275	0,0015	0,0072
2,0	0,7090		0,6553	0,5997	0,015598	0,010484	-0,0024	0,2096	0,0305	0,0017	0,0078
2,2	0,7617		0,7047	0,6452	0,016757	0,011275	-0,00258	0,2306	0,0336	0,0018	0,0084
2,4	0,8099		0,7502	0,6872	0,017817	0,012003	-0,00275	0,2516	0,0366	0,0020	0,0090
2,6	0,8538		0,7908	0,7256	0,018783	0,012652	-0,0029	0,2725	0,0397	0,0022	0,0095
2,8	0,8931		0,8291	0,7605	0,019648	0,013265	-0,00304	0,2935	0,0427	0,0023	0,0099
3,0	0,9278		0,8625	0,7917	0,020411	0,013	-0,00317	0,3145	0,0458	0,0025	0,0103
3,2	0,9580		0,8921	0,8194	0,021076	0,014273	-0,00328	0,3354	0,0488	0,0027	0,0106
3,4	0,9839		0,9178	0,8437	0,021645	0,014684	-0,00337	0,3564	0,0519	0,0028	0,0109
3,6	1,0058		0,9399	0,8647	0,022127	0,015038	-0,00346	0,3774	0,0549	0,0030	0,0112
3,8	1,0239		0,9584	0,8827	0,022525	0,015334	-0,00353	0,3983	0,0580	0,0032	0,0114
4,0	1,0382		0,9738	0,8978	0,022840	0,015580	-0,00359	0,4193	0,0610	0,0033	0,0116
4,2	1,0493		0,9862	0,9102	0,023084	0,015779	-0,00364	0,4403	0,0641	0,0035	0,0117
4,4	1,0573		0,9959	0,9204	0,023260	0,015934	-0,00368	0,4612	0,0671	0,0037	0,0118
4,6	1,0628		1,0033	0,9281	0,023381	0,016052	-0,00371	0,4822	0,0702	0,0038	0,0119
4,8	1,0659		1,0085	0,9341	0,023449	0,016136	-0,00374	0,5031	0,0732	0,0040	0,0119
5,0	1,0669		1,0120	0,9385	0,023471	0,016192	-0,00375	0,5241	0,0763	0,0042	0,0119
6,0	1,0540		1,0126	0,9452	0,023188	0,016201	-0,00378	0,6289	0,0915	0,0050	0,0118
7,0	1,0340		1,0059	0,9454	0,022748	0,016094	-0,00378	0,7338	0,1068	0,0058	0,0116
8,0	1,0242		1,0069	0,9513	0,022532	0,016110	-0,00381	0,8386	0,1221	0,0067	0,0116
9,0	1,0247		1,0158	0,9559	0,022543	0,016252	-0,00382	0,9434	0,1673	0,0075	0,0116
10,	1,0270		1,0251	0,9800	0,022594	0,016401	-0,00392	1,0482	0,1526	0,0083	0,0116
11,	1,0239		1,0281	0,9877	0,022525	0,016449	-0,00395	1,1530	0,1678	0,0092	0,0116
12,	1,0148		1,0249	0,9898	0,022325	0,016398	-0,00396	1,2579	0,1831	0,0100	0,0115
13,	1,0043		1,0188	0,9892	0,022094	0,016300	-0,00396	1,3627	0,1984	0,0108	0,0114
14,	0,9969		1,0146	0,9899	0,021931	0,016233	-0,00396	1,4675	0,2136	0,0117	0,0114
15,	0,9948		1,0138	0,9933	0,021885	0,016220	-0,00397	1,5723	0,2289	0,0125	0,0113
16,	0,9954		1,0143	0,9979	0,021898	0,016228	-0,00399	1,6771	0,2441	0,0133	0,0113
17,	0,9958		1,0142	1,0013	0,021907	0,016227	-0,00401	1,7820	0,2594	0,0142	0,0113
18,	0,9943		1,0116	1,0023	0,021874	0,016	-0,00401	1,8868	0,2746	0,0150	0,0112
19,	0,9917		1,0076	1,0017	0,021817	0,016121	-0,00401	1,9916	0,2899	0,0158	0,0113
20,0	0,9906		1,0042	1,0013	0,021793	0,016067	-0,00401	2,0964	0,3052	0,0167	0,0112

По данным таблицы 5 построим соответствующие переходные трапеции hi(t),    i =  1,3; а затем суммируем их с учетом знака ординат и получим кривую h(t), являющуюся графиком переходного процесса, представленного на рис. 4.4:

Рисунок 4.4 – График переходного процесса

Под качеством регулирования  понимают выполнение системой за переходной процесс определенного набора показателей:

• перерегулирование;
• быстродействие;
• характер переходного процесса.

Перерегулирование определим  по формуле (1.18):

σ = 100%*(0,011917333 – 0,011285067)/ 0,011285067         σ = 5.51%

Быстродействие определяется временем Тр, за которое регулируемая величина у достигает значения, соответствующего точки пересечения переходной кривой с линией заданной ошибки (3-5% от y_уст.), после которой она не превышает этого значения: Тр = 35 с.

Характер переходного  процесса определяется видом переходной кривой. В данном случае мы имеем дело с монотонным переходным процессом.

 

4.2 Интегральный  критерий оценки работоспособности  САР

 

4.2.1. Построение логарифмической, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

В данной части работы необходимо исследовать логарифмическую, амплитудную и фазовую характеристики для получения конкретных выводах о качестве и устойчивости системы. Для построения частотных характеристик воспользуемся выражением для передаточной функции разомкнутой цепи (2.5), а также формулами, необходимыми для построения соответствующих графиков по формулам (4.6) и (4.7). Выражения: 

                                                

                                        (4.6)                                             

                                                   

                                             (4.7)

называются соответственно амплитудная и фазовая частотная характеристика АЧХ и ФЧХ, однако, для расчета характеристик мы используем формулы другого вида.

Для нахождения ЛАЧХ требуется сначала  определить АЧХ. Найдем АЧХ  A(w) по формуле:

                                                      

                                                  (4.8)

Зная амплитудную частотную  характеристику, найдем логарифмическую, воспользовавшись формулой:

                                                   

                                             (4.9)