Исследование систем автоматического управления

Для устойчивости системы по методу Гурвица  необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были больше 0.

По  критерию устойчивости Льенара-Шипара в тех случаях, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т.е. А₀ > 0, А₁ > 0, … , A_n > 0, необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица были положительны все определители с четными (или же все определители с нечетными) индексами.

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости систем по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими.

Для устойчивости линейной системы N-го порядка по критерию Михайлова необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно N квадрантов против часовой стрелки, всё время окружая начало координат.

Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) базируется на частотных характеристиках  разомкнутой цепи системы автоматического управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Формулируется критерий Найквиста следующим образом. Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи W(jω) при изменении частоты ω от до не охватывала точку (-1; j0). Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки (-1; j0), но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки (-1; j0) должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх). Особенностью частотного критерия устойчивости является то, что не обязательно надо знать уравнения всех звеньев системы, а можно использовать экспериментальные данные.

Если  разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы W(jω) при изменении частоты ω от до охватывала точку (-1; j0) в положительном направлении l/2 раз, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

В инженерной практике широкое распространение  получил анализ устойчивости систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Это обусловлено тем, что построение логарифмической частотной характеристики разомкнутых систем значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовой характеристики.

Критерий  устойчивости Найквиста применительно к логарифмической частотной характеристике можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных корней во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна LmA(ω) > 0, была равна i/2 (i – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

При исследовании устойчивости большое  практическое значение имеет построение областей устойчивости в области одного или каких-либо двух параметров, влияние которых на устойчивость исследуется. Для определения границ области устойчивости чаще всего используют метод D-разбиения.

Метод D-разбиения используется в том случае, когда требуется определить значения параметров для системы, которая заведомо должна быть устойчивой.

Для выделения областей устойчивости необходимо характеристическое уравнение замкнутой  системы разрешить относительно, например, одного интересующего нас  параметра. Подставляя в характеристическое уравнение s=jω, получаем выражение для границы D-разбиения. Задаваясь ω от до , строится граничная кривая D-разбиения. Штриховка наносится с левой стороны при движении от к . Претендентом на область устойчивости является область, в которой штриховка направлена внутрь. В области, где часть штриховки направлена внутрь, находятся все значения интересующего нас параметра, которые приводят систему на границу устойчивости. В той области, в которой нет штриховки, направленной внутрь, расположены значения параметра неустойчивой системы.

Исследование  системы на качество регулирования  является одним из основных при выполнении курсового проекта. В общем случае, если система содержит релейный элемент, то она анализируется на качество регулирования с использованием базового портрета. Если система не содержит релейных элементов, возможно исследование системы методом трапеций. Для этого в передаточной функции замкнутой системы выполняется замена s=jω. В итоге провести преобразование к виду:

                                                  W(jω) = P(ω) + j·Q(ω)                                    (1.16)

Характеристика P(ω) аппроксимируется отрезками прямых, при этом в окрестности экстремумов прямолинейные отрезки располагают параллельно оси частот. Из точек изломов проводят линии таким образом, чтобы вещественная характеристика оказалась разбитой на несколько трапеций, частично наложенных одна на другую.

Для каждой i-й трапеции определим X_i = W_di/W_oi. Из приложения к работе находим значения h_xi при соответствующих значениях dt. Истинный масштаб времени определяется путем перерасчета T=t/ω_oi. Для каждой трапеции определяется

                                                    h_i(T) = P_oi(ω)·h_xi(t)                                         (1.17)

 

Суммируя полученные характеристики h_i(T) c учетом знаков, получаем переходную характеристику системы. Для полученной характеристики определяется перерегулирование:

                                                    d=(y_max - y_уст)/y_уст.                                          (1.18)

Перерегулированием называется максимальное относительное отклонение регулируемой величины за линию установившегося значения. Величина d не должна превышать величины 20-30 % (должна лежать в этом интервале). 

В ходе выполнения курсового проекта  необходимо также определить характер переходного процесса.

Характер  переходного процесса определяется видом переходной кривой.

Различают три вида переходных процессов (рис. 1.1)

           Y         

 

                                3                          2

                     y_уст

                                            

                                             1

 

 

 

                                                                                   t

Рисунок 1.1

В случае монотонного процесса (кривая 1) регулируемая величина y изменяется постепенно, без максимумов и минимумов, не превышая величину y_уст. Для апериодического процесса с перерегулированием характерно наличие одного перерегулирования d (кривая 2). Колебательный процесс в устойчивой системе является затухающим (кривая 3).

 

 

 

2 Расчет передаточных функций и характеристических уравнений цепи

2.1 Рассмотрение разомкнутой цепи звеньев

Целью курсового проекта является исследование систем автоматического управления и приобретение навыков анализа и корректировки таких систем. Вариант 8 предусматривает  исследования схемы, представленной на рисунке 2.1

 

      Рисунок 2.1- Схема исследуемой цепи

Схема исследуемой цепи состоит  из шести элементов. Схема имеет  сложное структурное строение. Параметры, соответствующие варианту 8.8, запишем в таблицу 1.

Таблица1- параметры исследуемой  схемы.

№	Схема	К1	К2	К3	К4	К5	К6	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5	Т6
8	8	1	0.3	0.3	5	0.04	0.2	0.05	0.03	0.001	0.2	0.1	0.1

Для изучения системы  автоматического управления необходимо сначала рассмотреть разомкнутую цепь звеньев. Путем преобразования схемы необходимо получить передаточную функцию разомкнутой цепи звеньев.

Введём условные обозначения  для элементов схемы (рис. 2.2) и упростим её. Упрощение схемы произведено в соответствие с правилами структурных преобразований линейных систем автоматического регулирования, изложенных в справочнике Н.Н. Иващенко.

Рисунок 2.2

Далее приведены преобразования схемы, изображённой на рис. 2.2.

Рисунок 2.3

Запишем передаточную функцию звеньев, охваченных обратной связью:

(2.1) 

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев:

                                                           

                                                      (2.2)

Тогда для нашей схемы имеем выражение для общей передаточной функции для разомкнутой цепи звеньев :

                                 

                                (2.3)

Подставляя в формулу значения выражений передаточных функций для каждого звена:

получим:

 

   (2.4)

Заменим s на jw, получим выражение передаточной функции для разомкнутой цепи звеньев:

(2.5)

Характеристическое уравнение  представляет собой знаменатель  передаточной функции, приравненный к 0. Таким образом, характеристическое уравнение разомкнутой цепи звеньев имеет вид:

 

   (2.6)

 

2.2 Рассмотрение замкнутой цепи звеньев

 

Передаточная функция замкнутой  системы, охваченной единичной обратной связью по возмущающему воздействию, равна передаточной функции разомкнутой системы, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой системы (1.8):

Подставляя в формулу (1.8) выражение для передаточной функции  разомкнутой цепи звеньев, получим функцию для замкнутой цепи:

  (2.7)

Аналогично, как и для  передаточной функции разомкнутой  цепи звеньев, заменяя s на jw, получим выражение передаточной функции для замкнутой цепи звеньев:

  (2.8)

Характеристическое уравнение  представляет собой знаменатель  передаточной функции, приравненный к 0. Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой цепи звеньев имеет вид:

(2.9)

График передаточная функции цепи замкнутой системы  звеньев (2.7) имеет вид, изображённый на рисунке 2.4:

Рисунок 2.4

3 Исследование системы автоматического управления на устойчивость

3.1 Исследование  системы по критерию Рауса

Исследуем данную систему  автоматического регулирования  на устойчивость по критерию Рауса. Для этого воспользуемся характеристическим уравнением для замкнутой системы:

Для определения устойчивости системы построим таблицу Рауса, пользуясь уравнением для замкнутой цепи. В первой строке таблицы 2 запишем в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения (2.9),имеющие четный индекс: а0, а2, а4,…, а во второй – коэффициенты с нечетным индексом: а1, а3, а5,…Любой из остальных коэффициентов определяется по формуле:

                                       ck,i  = ck+1,i-2 – rick+1,i-1 ,                                        (3.1)

где ri = с1,i-2/ с1,i-1; к – индекс, означающий номер столбца; i – индекс, означающий номер строки, причем число строк таблицы равно (n-1); n – степень характеристического уравнения. В данном случае n = 5, поэтому строк в таблице должно быть четыре.                                                                    

 Таблица 2

Коэффициент r	Строки i	Столбцы
		1	2	3
-	1
-	2
	3
	4

Таблица 3

Коэффициент r	Строки i	Столбцы
		1	2	3
-	1	0.00000006	0.00543724	0.7326
-	2	0.0000635	0.096961	1
0.0944881	3	0.005345623	0.731655119	0
0.011878877	4	0.088269758	0.7326

Условием устойчивости является то, чтобы коэффициенты первого  столбца имели один и тот же знак, то есть при а0>0; с11 = a0 > 0; c12 = a1 > 0; c13 > 0 …; C1,n+1 > 0. Как видно из таблицы 3 все коэффициенты первого столбца положительны, а, следовательно, имеют один и тот же знак « + ».