Если  существует несколько нормативных  способов решения некоторой задачи M_Q, то ее можно охарактеризовать несколькими значениями нормативной сложности. Например, одна и та же математическая задача может обладать для одного и того же решателя разной сложностью в зависимости от того, как ее решать – арифметическим или алгебраическим способом.

     Реальная  сложность задачи, как правило, выше или равна нормативной, но иногда бывает и ниже, т. е. фактический процесс решения оказывается проще нормативного (например, задуманного учителем, если рассматривается решение задач учащимися). В таких случаях говорят иногда о «красивом (изящном) решении».

     Обычно, если уж различают понятия о трудности  и сложности задач, то трактуют «сложность задачи как объективную категорию  и трудность как субъективную категорию». Мы процитировали И. Я. Лернера, поясняющего, что «трудность характеризует возможность субъекта преодолеть объективную сложность задачи...»[3,c86] С нашей точки зрения, такая трактовка правомерна в качестве первого приближения к раскрытию существа дела. Более детальный анализ показывает, однако, что и трудность, и сложность задач (отнесенных к людям, которые решают или должны решать их) зависят как от объективных, так и от субъективных (в онтологическом смысле) факторов. К объективным принадлежит: лежащий вне субъекта предмет задачи или (для познавательных задач) объект познания; требование задачи, находящееся вне субъекта (в случае, если рассматривается трудность или сложность внутренней задачи, – требование внешней задачи, являющейся источником возникновения рассматриваемой внутренней); наконец, условия, в которых осуществляется или должно осуществляться решение задачи. К субъективным факторам относятся способности и подготовка субъекта, его мотивы и установки, его отношение к задаче, его физическое и психическое состояние.

     Алгоритмический подход к оценке сложности  задач

     Наиболее  четко содержание понятий о реальной и нормативной сложности задач  выявляется при алгоритмическом подходе к оценке сложности. В соответствии с ним реальную сложность задачи оценивают по количеству эффективных или квазиэффективных операций в реально осуществляемом алгоритмическом или квазиалгоритмическом процессе решения этой задачи, а нормативную сложность задачи – по количеству таких операций в нормативном алгоритмическом или квазиалгоритмическом способе ее решения.

     Нормативный алгоритмический или квазиалгоритмический способ решения предназначается, как правило, для некоторого класса задач. В зависимости от особенностей конкретной индивидуальной задачи минимальное количество эффективных или квазиэффективных операций, необходимых для решения задачи в соответствии с этим способом, может быть различно. Ввиду этого представляет интерес средняя нормативная сложность задач того или иного класса. Если учитывается k индивидуальных задач, относящихся к данному классу, то такая средняя сложность χ_ср может быть подсчитана  по формуле

      _,

     где χ_i – нормативная сложность i-й индивидуальной задачи; P_i – вероятность того, что будет решаться именно эта задача (этот вариант родовой задачи).

     Энтропийный подход к оценке сложности  задач

     Наряду  с алгоритмическим весьма распространен  энтропийный (статистико-информационный) подход к оценке сложности задач. В соответствии с ним реальная сложность задачи оценивается по величине неопределенности, устраняемой в реальном (или возможном) успешном процессе решения задачи, а нормативная сложность – по величине неопределенности, которая должна устраняться, если решение задачи осуществляется в соответствии с некоторой нормой (в том числе замыслом экспериментатора, учителя и т. п.). Сложность задачи χ, т. е. устраняемая неопределенность, трактуется при этом как некоторое количество информации. Конкретнее говоря, принимается, что

      ,

     где H₁ и H₂ – значения энтропии некоторой случайной величины, характеризующей предмет задачи; значение Н₁ относится к исходному состоянию этого предмета, а значение h₂ – к требуемому.

     В простейшем случае, когда устранение неопределенности, обеспечивающее решение  задачи, достигается путем выбора одного из п несовместных событий, энтропия H₂ равна нулю и

      ,

     где P_i– вероятность i-гo события.

     Поскольку энтропийный подход предусматривает  оценку сложности задачи по величине устраняемой неопределенности, наиболее естественно применять его при  исследовании познавательных задач. Напомним, что предметами последних являются модели, имеющиеся в решателе, и  именно их должны характеризовать величины Н₁ и Н₂. Если решателем является человек, то вероятности, фигурирующие в используемых формулах статистической теории информации, – это не объективные, а субъективные вероятности. При этом под субъективной вероятностью Ps(A) некоторого события А для субъекта S понимается оценка этим субъектом объективной вероятности Р(А) указанного события, осуществляемая им осознанно или неосознанно и находящая проявление в его поведении.

     §3. Развитие творческих способностей учащихся при решении задач

     Чтобы у подростка выработалось отношение  к людям, к самому себе, развивались  творческие способности, нужно, чтобы  от него требовали активного выражения  этого отношения. Одним из эффективных  средств является решение математических задач повышенной сложности.

     При развитии творческих способностей у  школьников необходимо уделять внимание не какой-либо отдельной составляющей творчества, а комплексу взаимодействующих  составляющих. [10]

     Вопрос   оценивания   творческих   заданий   очень   деликатный.   Согласимся,   что ставить оценку справедливо  только за «воспроизводимые» задачи – т.е. такие, в которых практика позволяет «набить руку».  Творческие задачи к воспроизводимым не относятся: «озарит – не озарит» – не подвластно ученику и учителю.  Поэтому должно быть твёрдо установлено  и известно детям,  что зона плохих оценок кончается на воспроизводимых  заданиях. За   удачный   «прыжок   в  незнаемое»  можно  получить   «отлично»,   за  неудачный   – ничего.  Пограничной   зоной  можно   сделать   решение   на   оценку   одной   из   нескольких творческих задач на выбор.

     Отвлекаясь   от   формального   оценивания,   отметим,   что   именно   на   творческих заданиях хорошо учить ребёнка самооценке и радости от хорошо сделанной работы [7].

     Чтобы любой урок был направлен на развитие творческих способностей учащихся и  реализовал их, учителю необходимо при его проведении ориентироваться на следующие принципы [9]:

1. Учитель использует современные педагогические развивающие технологии; ориентированными на развитие способности учащегося быть субъектом образовательной деятельности как процесса своего развития в целом: и телесного, и эмоционального, и интеллектуального, и личностного, и духовно-нравственного.
2. Принцип «принятия другого».  Согласно данному принципу учитель изначально принимает ученика как индивидуальность, имеющую право быть личностью со своими, уже сложившимися особенностями. Это означает, что отношение ученик - учитель уже не может строиться по логике объективно-субъектного взаимодействия.
3. Принцип проектирования и реализации образовательной среды, способствующей раскрытию творческих способностей учащихся. Принцип «самосознающей позиции», т.е. умение встать в самосознающую  позицию по отношению к тому, чему учить, как учить и зачем учить.
4. Принцип сотрудничества. Чтобы на любом уроке у учащихся была возможность развивать свои творческие способности, учителю в ходе проведения урока необходимо обращать внимание на: способность учащихся быстро схватывать смысл принципов, понятий, логических построений; потребность и способность длительно сосредотачиваться на заинтересовавших ребенка сторонах проблемы и стремление разобраться в них; способность подмечать, рассуждать и выдвигать объяснения, в том числе необычные: повышенную молчаливость или же, напротив, повышенную потребность в постоянном высказывании и отстаивании своего мнения.

     Обязательные  условия проведения урока, направленного  на развитие творческих способностей учащихся, можно сформулировать следующим образом [9]:

1. Учитель принимает все ответы и реакции детей (устные и письменные ответы; ответы, имеющие литературную и нелитературную форму; ответы в графической и пластической форме, в форме поведения и реакции на другого человека).
2. Учителю необходимо обеспечить независимость выбора и принятия решений учащимися для того, чтобы они могли самостоятельно контролировать собственное продвижение.
3. Каждой идеей ученика учитель восхищается.
4. Ошибка ученика  используется как возможность нового, неожиданного взгляда на что-то привычное.
5. Непременным условием проведения урока является положительная поддержка личности каждого ребенка.
6. Во время урока исключается всякая критика личности и деятельности детей.
7. Следует шире использовать в учебной деятельности повседневный опыт детей.

     Основная  задача такого урока - помочь раскрыть собственные возможности ученика.

     Рассмотрим  различные методы формирования и  развития творческих способностей учащихся.

     Задача  называется нестандартной, если при ее решении трудно сказать на какой теоретический материал она опирается, если неизвестно каким способом она решается. В ходе решения таких задач необходимо сначала провести поиск плана решения задачи, определить теоретический материал, который дает ключ к решению задачи. Решать такие задачи интересно и увлекательно. С помощью нестандартных задач можно самостоятельно установить какой-либо математический факт, более глубоко вникнуть в теоретический материал. Решение задач творческого характера помогают развивать математическое мышление, ведь математика - это наука для молодых, она - гимнастика ума [9].  

     Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно владеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

     Решение задач - есть вид творческой деятельности, а поиск решения - процесс изобретательства.

     Пример:

1. Было у великого султана 100 колдунов. Все они, конечно, были шарлатанами, и султан это заподозрил. Собрал он их и сказал: 
     «Завтра поутру устроим вам проверку, кто настоящий колдун, а кто нет. Проверка будет такой. Выведут вас в поле, построят в ряд. Потом каждому на голову наденут колпак либо черного, либо белого цвета. И, начиная с конца ряда, к каждому из вас по очереди будет подходить мужик с топором, спрашивая, какого цвета колпак на голове. Тем, кто назовет цвет своего колпака неверно, прямо на месте отрубят голову, остальных — отпустят»

  Уточнение. Стоя в ряду, каждый колдун видит  всех, кто стоит перед ним, и  слышит все, что происходит сзади. Цвет своего колпака никакими уловками никто  узнать не может. Каждый колдун может  сказать только одно слово — «черный» или «белый». И только в свою очередь. Иначе — всем хана. 
  Услышав такую новость, колдуны собрались, и задумались, как им действовать, чтобы спасти наибольшее число своих коллег. 
  Сколько колдунов можно (со 100% вероятностью) спасти в таких условиях?

2. Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию?

     Предложенные  выше задачи способствуют развитию творческих способностей учащихся. Так как при  решении данных задач учащимся приходится открыть нечто новое, неизвестное  для них. Например, комбинаторика  и теория вероятностей. Данные задачи развивают математическое мышление и заключаются в умении переносить операции и приемы из одного раздела математики в другой.

     Положительную роль в развитии математического  мышления и творческой деятельности школьников играют лабораторные работы. В процессе их выполнения учащихся, работая с наглядными пособиями, инструментами, графиками и таблицами, производя вычисления, “открывают” и формулируют новые математические определения. Учитель стремится к тому, чтобы в процессе работы учащиеся как можно больше “открыли” сами. Важным шагом в этом направлении является проведение лабораторных работ на уроке [11].

     Пример: лабораторная работа, в процессе выполнения которой учащиеся “открывают” число и выводят формулу длины окружности. Учащимся предлагаю сделать и принести в класс круги различных диаметров, сделанных из картона, и нитки. На уроке предлагается ученикам обвести один из кругов карандашом, затем эту окружность “опоясать” ниткой, а затем распрямить ее. Длина нитки будет примерно равна длине данной окружности. То же самое они проделывают с остальными кругами. Учащиеся сами делают вывод, что чем больше диаметр окружности, тем больше ее длина.

     Затем для каждого случая предлагаю  найти отношение длины окружности к длине ее диаметра. Это отношение  одно и то же для всех кругов (вывод  делают сами учащиеся). Далее предлагаем это отношение обозначить греческой буквой , длину окружности – буквой С, а длину диаметра – буквой d. Формулу длины окружности учащиеся формулируют самостоятельно.