В представленных выше определениях понятия  способности можно выделить то, что наиболее часто использованными ключевыми словами является индивидуальная способность. Так же в большинстве определений, говорится о том, что способность направлена на личность и что способность является деятельностью. После анализа данных определений, мы будем использовать следующие определение: Способности – индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека, связанные с успешностью выполнения какой-либо деятельности, но не сводящиеся к знаниям, умениям и навыкам.

     Итак, после анализа различных источников литературы дадим определение творческой способности:

     Творческие  способности - это индивидуально-психологические особенности личности, относящиеся к успешному выполнению какой-либо деятельности, результатом которой является новый продукт, имеющий значимость либо для субъекта, либо для общества.

     §2. Задачи, их классификация, оценка трудности и сложности задач

2.1. Понятие задачи

     Задачи  – прекрасные упражнения, способствующие развитию умения логически мыслить, более глубокому усвоению всего  школьного курса математики.

     Решение математических задач прекрасное упражнение, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики.

     Решение стереометрической задачи чаще всего  сводится к решению планиметрических задач. Поэтому, решая задачи по стереометрии, всё время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы, вспоминать формулы, необходимые для  решения. При решении стереометрических  задач ещё в большей мере, чем  в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии, применяются  векторный и координатный методы, дифференцирование и интегрирование. Таким образом, стереометрические  задачи способствуют творческому овладению  всей совокупностью математических знаний.

     По-разному  определяется соотношение между  понятиями задачи и задания. В  то время как дидакты и методисты обычно рассматривают задачу как специфический вид задания, психологи, напротив, склонны считать задание частным видом задачи.

     Наконец, во многих случаях термин «задача» употребляется как синоним термина  «цель».

     Положение усложняется еще и вследствие отнюдь не полного совпадения смысла терминов, принятых в разных языках. Такое несовпадение неизбежно хотя бы потому, что в русском языке существуют три простых термина («задание», «задача», «проблема») для обозначения того же круга объектов, которому в большинстве европейских языков соответствуют по два простых термина («task» и «problem» – в английском, «tache» и «probleme»– во французском, «Aufgabe» и «Problem» – в немецком и т. п.).

2.2 Классификация задач [6]

     Проблеме  классификации задач посвящено много литературы. В методике обучения математике многие годы была распространена классификация, основу которой составлял характер требования:

     а) задачи на доказательство;

     б) задачи на построение;

     в) задачи на вычисление.

     В связи с расширением целей  обучения и роли задач в их обеспечении  в школьный курс математики начали проникать задачи, не укладывающиеся в традиционную типологию. Функции  задач в обучении подчеркиваются в следующей классификации:

     а) задачи с дидактическими функциями;

     б) задачи с познавательными функциями;

     в) задачи с развивающими функциями.

     Данная  классификация позволяет обоснованно  осуществлять отбор задач, хотя на практике довольно трудно отделить друг от друга  данные типы задач. Задачи с дидактическими функциями предназначены для  усвоения теоретического материала, в  процессе решения задач второго  типа учащиеся углубляют теорию и  методы задач, задачи третьего типа характеризуют  то, что их содержание может отходить от основного курса математики.

     Так, Е.И. Лященко [6]выделяет следующие типы задач: дидактические, познавательные, развивающие. Каждый тип задач она описывает посредством их назначения, причем критерии отнесения задач к той или иной группе настолько расплывчаты, что трудно отделить один тип от другого.

     Известный французский педагог А. Фуше [6] выделяет четыре типа задач:

1. Обнаружить все свойства данной фигуры. Средства даны, но цель остается неопределенной.
2. Доказать, что данная фигура, обладающая определенным свойством, имеет также и другое свойство. Средства даны и цель точно указана.
3. Построить фигуру, обладающую данным свойством. Цель определена, средства не указаны.
4. Какой должна быть фигура, обладающая данным свойством? Цель неизвестна.

     Приведенная классификация использует характер требования и условия задачи (их определенность либо неопределенность).

     Имеются попытки классификации задач  по величине проблемности. Так, Ю.М. Колягин [6] в зависимости от того, какие компоненты задачи (условие– A, заключение – В, решение – R, базис решения задачи – С) неизвестны решающему, получает следующую типологию задач:

     I тип – известны все компоненты;

     II тип – неизвестен один компонент;

     III тип – неизвестны два компонента;

     IV тип – неизвестны три компонента;

     Задачи указанных типов Ю.М. Колягин [6] называет соответственно стандартными, обучающими, поисковыми, проблемными.

     Указанная классификация охватывает многие типы задач. Однако ей присущи и недостатки. Конкретная задача может быть отнесена к какому либо типу лишь при соотнесении  ее со знаниями решающего задачу.

     Предлагается  группировать задачи по методу их решения: задачи на геометрические преобразования, задачи на векторы и т. д. В зависимости  от числа объектов, имеющиеся в  условии, и связей между ними различают  сложные и простые задачи. Кроме  того, различают задачи стандартные  и нестандартные, теоретические  и практические, устные и письменные и т. д. Многие классификации относительны, они не удовлетворяют логическим требованиям, предъявляемым к классификации объектов.

     В последнее время получила распространение  типология задач, в которой каждый тип задач соотносится с компонентами учебной деятельности: организационно – действенным, стимулирующим и  контрольно – оценочным. Указанное  сопоставление выделяет следующие  типы задач:

1. Задачи, стимулирующие учебно - познавательную деятельность;
2. Задачи, организующие и осуществляющие учебно–познавательную деятельность школьников;
3. Задачи, в процессе решения которых осуществляется контроль самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.

     В зависимости от конкретизации учебной  деятельности классификация будет  наполняться более конкретным содержанием:

1. Задачи, стимулирующие усвоение знаний, умений, навыков;
2. Задачи, в процессе решения которых осуществляется усвоение знаний, умений, навыков.
3. Задачи, контролирующие усвоение знаний, умений, навыков.

2.3 Оценка трудности и сложности задач

     Представим оценку трудности и сложности по А.Г Балла[1]. Основными из понятий этого рода являются уровни трудности и сложности задач. В обиходной речи, а нередко и в научной литературе термины «трудность» и «сложность» используются при описании задач почти как синонимы. Между тем целесообразно разграничивать области их употребления. Более того, каждое из этих понятий нуждается в дальнейшей дифференциации.

     2.1.1. Уровень трудности задачи.

     В качестве одного из существенных признаков  задачи, проблемы, проблемной ситуации психологи называют обычно необходимость  преодоления субъектом тех или  иных трудностей (затруднений). При  этом важную роль играет их качественный анализ. Мы, однако, ограничимся рассмотрением  количественного аспекта трудности  задач, или, иначе говоря, уровня их трудности.

     Задача  m_q, отнесенная к решателю Q, обладающему некоторыми (ограниченными) ресурсами, может быть охарактеризована уровнем трудности этой задачи, т. е. мерой фактического или предполагаемого (прогнозируемого) расходования ресурсов решателя Q на ее решение.

     Уточним, что «решение задачи» имеется  в виду успешное решение – приведение предмета задачи в требуемое состояние. Если ресурсы решателя Q недостаточны (в качественном или количественном отношении) для решения задачи m_q, то последняя не может быть решена (этим решателем). Об уровне трудности задачи m_q в таком случае можно говорить лишь условно (считая его бесконечным). Если решение задачи достигается лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы, то уровень ее трудности естественно считать большим, чем следует из оценки реально расходуемых ресурсов.

     Уровнем трудности, как он определен выше, можно в принципе характеризовать  и задачи, отнесенные к искусственным  решателям, например компьютерам. Вместе с тем для неотнесенных задач понятие трудности лишено смысла [5].

     Уровень трудности отнесенной задачи m_q зависит от характеристик как неотнесенной задачи М, так и решателя Q. Как явствует из приведенного выше определения уровня трудности, это понятие непосредственно относится не к задаче как таковой, а к процессу (реальному или предполагаемому) ее решения. Если некоторая задача может быть решена различными способами, то уровень ее трудности может существенно зависеть от того, каким именно способом она решается.

     Имеет смысл различать интегральную трудность (трудоемкость) задачи, характеризующую объем расходования ресурсов и дифференциальную трудность, характеризующую интенсивность расходования. При этом можно выделять мгновенные значения последней и значение, усредненное на отрезке времени, в течение которого решается задача.

     Для количественной оценки трудности решаемых людьми задач используют различные  показатели – субъективные и объективные.

       Субъективные показатели можно разделить на две группы. Показатели первой группы отражают мнения или впечатления самих субъектов, решающих задачи, об их трудности, о вызванном ими утомлении, а показатели второй группы – мнения экспертов (учителей и методистов в случае учебных задач, руководителей работ в случае трудовых задач и т. д.). Субъективные показатели обеих групп используются, в частности, для характеристики трудности текстов, в том числе учебных.

     На  две группы делятся и объективные показатели. К первой относятся те из них, которые характеризуют расходование ресурсов субъектом. Сюда, в частности, входят:

     а) Физиологические показатели, например изменения частоты пульса, частоты дыхания, артериального давления;

     б) Продолжительность процесса решения;

     в) Дискретные поведенческие показатели, характеризующие объем расходования ресурсов (объем затраченного труда), такие, например, как количество предпринятых субъектом попыток решения задачи.

     Чтобы повысить адекватность оценивания трудности  задач, обращаются к методам математической статистики. Так, Я. А. Микк [5] , измерив значения 31 показателя трудности задачи понимания текста и проведя факторный анализ, выделил фактор, который он интерпретировал как «суммарную трудность текста». На основе результатов анализа получен ряд формул, связывающих этот фактор с отдельными показателями трудности, доступными непосредственному измерению.

     2.1.2. Уровень сложности задачи [6]

     В отличие от трудности, представляющей собой специфическую характеристику задач, сложность – это характеристика, применимая к любой системе. Общее  понятие об уровне сложности системы  может касаться, в частности, таких  систем, как предмет задачи, задачная система или формулировка задачи. Мы, однако, говоря об уровне сложности задачи, имеем в виду сложность не какой-либо из этиx систем, а реального или предполагаемого процесса решения задачи. Такая трактовка, в наибольшей степени соответствует интуитивному представлению о сложности задачи. К тому же при указанной трактовке уровня сложности задачи достигается полный параллелизм с понятием об уровне ее трудности, которое, характеризует реальный или предполагаемый процесс решения задачи. Трактуемое описанным образом понятие об уровне сложности задачи так же, как и понятие об уровне ее трудности, имеет смысл только для отнесенных задач. При этом, однако, в отличие от понятия об уровне трудности понятие об уровне сложности применимо и к задачам, отнесенным к идеализированным решателям, ресурсы которых можно считать бесконечными. Понимая сложность задач как сложность процессов их решения, можно рассматривать, с одной стороны, реальные или возможные процессы решения задач разными решателями и, с другой стороны, процессы их решения нормативными способами. В соответствии с этим имеет смысл различать два вида сложности задач: реальную, т. е. сложность реального или возможного процесса решения задачи, и нормативную, т. е. сложность процесса ее решения нормативным способом.