Понятие многогранника и его элементы

 

 

3.2. Многогранники  в природе

 

В книге немецкого биолога Э. Геккеля "Красота форм в природе"  
можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте               и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы".

 
Действительно, построенные пчелами соты строго параллельны, расстояния между ними выдерживаются с удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические фигуры.  
В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из  правильных n – угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.

 

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов   в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине       и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий?                        По – видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

 

3.2. Использование многогранниови в искусстве 

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г) изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

 

            

 

Леонардо да Винчи (1452 — 1519)

увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Например, он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445 — 1514гг.) «О божественной пропорции» (1959 г.) Изображение Леонардо да Винчи усеченного икосаэдра методом жестких ребер.

Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо. Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822гг.) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863).

Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются              в качестве вспомогательных элементов. В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются             из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры.

Мозаику рептилий Эшер использовал      во многих своих работах.

 

 

 

 

 

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе Эшера "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник  помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции

 контрастирует с беспорядочно  разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересная работа Эшера – гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней.      Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

 

 

 

3.3. Применение многогранников в архитектуре

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения.                     В конечном счете, в основе всей техники, так или иначе, лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы                      и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему                    и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники                         и преобразования мира.

Это может показаться странным,               но слово Пирамида отнюдь                       не определяет трехмерный треугольник, и при этом его корень даже, не Египетский. Слово Пирамида составлено из Греческого слова "pyra" в значении огня, света (или видимый и Греческого слова "midos" в значение мер( другое значение –   середина(внутри)). Первые определения этому понятию давали: Евклид, Герон, Учебники XIXв., Тейлор, Лежандр.

 
Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке (вершине). Фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.

 

 

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути                     в александрийскую бухту. Ночью им помогало                  в этом отражение языков пламени, а днем – столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет. Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен. Первая была прямоугольной,                в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над ней меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим                      в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты.          Общая высота маяка составляла 117 метров. 
А присутствует ли вообще математика в архитектуре? Конечно. Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны, полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые радуют глаз при взгляде на красивые здания городов.

   
                     Музыкальный театр.                  Здание церкви Спаса Преображен.

   

     Собор непорочного  зачатия                        Исторический музей

Девы Марии на малой Грузинской

 

 

Казанская церковь в Москве

Старицкий Свято – Успенский монастырь

 

    

3.3.1 Математическая характеристика египетских пирамид

«Сакральная геометрия» - священная геометрия форм, лежащих в основе жизни. «Геометрия»в переводе с греческого языка означает «измерение земли».  Пирамида - один из мощнейших символов сакральной геометрии.  

Египетские пирамиды являют собой удивительный пример геометрической и математической мистики.  Три пирамиды в Гизе располагаются внутри прямоугольника, сформированного из фигуры vesica piscis, которая образуется, когда центры двух кругов с равными радиусами расположены на окружностях друг друга.Площадь, ограниченная пересекающимися дугами кругов, и есть vesica piscis.  

Основополагающей константой в архитектуре, живописи и науке считается Золотое Сечение и именно таковыми являются пропорции Великой Пирамиды Гизы.

Пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, в форме октаэдра, половину которого она представляет.

 Фотосъемка с воздуха показывает, что пирамиды в Гизе расположены на линии, четко соответствующей спирали Фибоначчи.

Вершины каждой из трёх Пирамид комплекса в Гизе лежат на спирали Золотого Сечения, или на спирали Фибоначчи, которая при своём раскручивании, приближается к спирали Золотого Сечения.  

Древние строители возвели этот величественный монумент с идеальной инженерной точностью и симметричностью.   

Это строительное чудо сооружено не на ровной площадке, а на массивном природном холме высотой  9 метров, который занимает  70 процентов основания пирамиды.   

Основные характеристики Великой Пирамиды Гизы - пирамиды Хеопса: 

• Высота - 138,7 метра, изначальная высота – 146,6 м.
• Угол наклона - 51° 50'.
• Длина боковой грани по подсчетам (изначально) - 230,3 м.
• Длина сторон основания пирамиды: юг - 230,45 м, север -230,25 м, запад - 230,35 м, восток - 230,4 м.
• Площадь основания - 5,3 га.
• Периметр – 921,45 метра.
• Средняя масса каменных блоков - 2,5 тонны.
• Самый тяжелый каменный блок - 15 тонн.
• Количество блоков - около 2,5 млн. штук.
• Общий вес пирамиды - около 6,5 млн тонн.
• Широта, на которой находится пирамида - 30°.

  Расчеты ученых показывают, что параметры трех главных пирамид и других, находящихся на плато Гизы (проектная высота, углы наклона, периметр, взаимное расположение) связаны друг с другом.

Конструкция Великой Пирамиды основана на пропорции Фи = 1,618. Архитекторы Пирамиды воплотили в камне основополагающие принципы сакральной геометрии:  

• Периметр основания пирамиды Хеопса, делённый на удвоенную высоту даёт приближение числа «Пи» - 3,1415…(921,45/2*146,6=3,142).
• Периметр основания пирамиды равен длине окружности, радиус которой равен высоте пирамиды (2*3,14159*146,6=921).
• Длина стороны основания, выраженная в египетских «локтях» (одно из значений - 0,635 м), соответствует продолжительности земного года (230/0,63=365).
• Сумма четырёх сторон пирамиды - 921,45 метра равна половине минуты широты экватора. Один градус широты на экваторе покрывает 110573 м, а каждая дуговая минута - 1842,88 м, что вдвое больше периметра пирамиды.
• Если умножить изначальную высоту Великой Пирамиды – 146,6 м на один миллион, получается наименьшее расстояние от Земли до Солнца - 147000000 км (перигелий).
• Соотношение изначальной высоты Великой пирамиды к ее основанию равнялось 7:11. Это соотношение имеет ряд важных геометрических свойств. В нем скрыты числа «Пи» и«Фи».
• Площадь каждой из граней пирамиды равна квадрату ее высоты.
• Длина грани пирамиды, делённая на высоту, даёт соотношение Фи = 1,618.
• Высота в футах - 484,4 соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - числа из последовательностиФибоначчи.
• Верхняя северная и нижняя южная шахты построены по диагоналям прямоугольников, описанных вокруг пирамиды. 

 

Если через пирамиду провести две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через центр, получатся два двойных золотых треугольника, пересечение которых дает крест в квадрате - один из основных эзотерических символов Древнего Египта.

Пирамида является примером подлинной квадратуры круга – задачи, превосходно решённой древними архитекторами, сумевшими построить квадрат, равновеликий кругу.

Круг олицетворяет вечность, Солнце, Ра. Круг вечен, цикличен, но в нём отсутствует направление, любое движение по кругу равносильно отсутствию движения.

 

 

 

 

 

 

 

4. Практическая часть

 

Тот, кто, обращаясь к старому,

способен открывать новое, достоин

быть учителем.

Конфуций (ок. 551 до н. э., — 479 до н. э.) —

китайский мыслитель и философ.

 

4.1. Развертка тетраэдра, куба

 

 

 

 

4.2. Развертка октаэдра, икосаэдра, додекаэдра

Развертка икосаэдра

Развертка додекаэдра

 

 

 

4.3 Простые и  непростые вопросы

1. Чему равна длина ребра куба с объемом 64 см3?
2. На сколько кубиков с длиной ребра 1 дм можно распилить куб с ребром 1 м?
3. Сколько кубиков с длиной ребра 1 см содержит прямоугольный параллелепипед с размерами 3 см на 4 см на 5 см?
4. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 6 см?
5. Объем прямого параллелепипеда с высотой 10 см равен 200 см3. Чему равна площадь его основания?
6. В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. высота параллелепипеда равна диагонали основания. Чему равен объем параллелепипеда?
7. Объем пятиугольной наклонной призмы равен G, площадь основания равна Q. Чему равна высота призмы?
8. Периметр основания правильной четырехугольной призмы равен P, высота k. Чему равен объем призмы?
9. Каждое ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличится объем куба?
10. Стороны основания параллелепипеда уменьшили в 2 раза, а высоту параллелепипеда увеличили в 2 раза. Как изменился его объем?
11. Площадь основания пирамиды равна 30 см2, высота пирамиды – 10 см. Чему равен объем пирамиды?
12. Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды равен 12 см, высота пирамиды равна ребру основания. Чему равен объем пирамиды?
13. Объем куба ABCDA1B1C1D1 равен 120 см3. Чему равен объем пирамиды A1ABCD?
14. Дана пирамида объемом 40 см3. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. Чему равен объем отсеченной пирамиды?
15. Сколько кубиков в кубике Рубика?
16. Сколько всего граней имеет параллелепипед?
17. Сколько вершин имеет пятиугольная призма?
18. Сколько диагоналей у параллелепипеда?
19. Сумма длин диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна 24 см. Чему равна длина одной диагонали?
20. Сколько всего диагоналей боковых граней имеет параллелепипед?
21. На сколько больше ребер у четырехугольной призмы, чем у четырехугольной пирамиды?
22. Чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной треугольной призмы?
23. Является ли правильная призма прямой призмой?
24. Является ли прямая призма правильной призмой?
25. Является ли правильная четырехугольная призма параллелепипедом?
26. Чем отличается прямой параллелепипед от прямоугольного параллелепипеда?
27. Чем отличается четырехугольная призма от параллелепипеда?
28. Периметр основания правильной призмы равен 24 см, высота призмы – 10 см. Чему равна площадь боковой поверхности призмы?
29. Чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильного тетраэдра?
30. Сколько граней имеет шестиугольная пирамида?
31. У пирамиды 36 ребер. Сколько у нее граней?
32. У n-угольной пирамиды 42 ребра. Чему равно n?
33. У правильной n-угольной призмы 60 ребер. Чему равно n?
34. Сумма боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды равна 96 см. Чему равна длина одного бокового ребра?
35. Сумма всех ребер правильного тетраэдра равна 48 см. Чему равна длина одного ребра?
36. У правильной четырехугольной пирамиды ребро основания равно 4 см, а боковое ребро – 6 см. Чему равна сумма всех длин ребер пирамиды?
37. Сколько диагоналей имеет треугольная призма?
38. Периметр основания правильной пирамиды равен 30 см, апофема – 5 см. Чему равна площадь боковой поверхности пирамиды?
39. Если боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проектируется в …
40. Если боковые ребра пирамиды равно наклонены, то ее вершина проектируется в …
41. Если боковые грани пирамиды равно наклонены к основанию, то ее вершина проектируется в …
42. Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания, то у пирамиды … и …
43. Если вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности, то у пирамиды …
44. Сколько всего существует видов правильных многогранников?
45. Сколько существует видов правильных многогранников, у которых грани являются треугольниками?
46. Какой из правильных многогранников имеет большее количество граней и ребер: икосаэдр или додекаэдр?
47. Есть груда кирпичей. Как при помощи линейки измерить диагональ кирпича, не используя формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда?
48. Сколько граней у «алмаза» Национальной библиотеки?
49. Шесть одинаковых кубов необходимо расположить так, чтобы каждый куб касался всех остальных. Считаются только соприкосновения гранями или частями граней.