Понятие многогранника и его элементы

 

РАБОТА

 

Содержание

Введение______________________________________________________	3
1 Понятие многогранника и его элементы _______________________	5
1.1 История многогранников__________________________________ 1.2. Понятие многогранника _____________________________________ 1.3 Теорема Эйлера  __________________________________________	5 5 7
2 Виды многогранников______________________________________	10
2.1. Призма_________________________________________________	10
2.1.1. Площади боковой и полной поверхности призмы______________	11
2.2 Пирамида_______________________________________________ 2.2.1 Площади боковой и полной поверхности пирамиды___________ 2.3 Параллелепипед__________________________________________ 2.3.1 Площади боковой и  полной поверхности параллелепипеда_____ 2.4 Правильные многогранники________________________________ 2.5 Полуправильные многогранники____________________________	11 12 13 16 17 21
2.6 Звездчатые многогранники_________________________________ 2.7 Невозможные фигуры_____________________________________ 3 Многогранники вокруг нас__________________________________	23 25 27
3.1 Чудо природы – кристаллы ___________________________________ 3.2 Многогранники в природе____________________________________ 3.3 Использование многогранников в искусстве _____________________	27 27 28
3.4 Применение многогранников в архитектуре___________________	30
3.4.1 Математическая характеристика египетских пирамид__________	33
4 Практическая часть	36
4.1. Развертка тетраэдра, куба  ___________________________________	36
4.2. Развертка октаэдра, додекаэдра, икосаэдра______________________	37
4.3. Простые и непростые вопросы_____________________________ 4.4 Ответы на простые и непростые вопросы______________________ Заключение ___________________________________________________	38 40 43
Список литературы_____________________________________________	44
Приложение  1_________________________________________________	45
Приложение 2_________________________________________________ Приложение 3_________________________________________________	46 47

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Если самые замечательные открытия

древних математиков охватываются

теперь элементарной математикой...

то это потому, что открытия сведены

к фактам.

 

Клод Адриан Гельвеций (1715—1771) —

французский литератор и философ-материалист

утилитарного направления; идеолог французской

буржуазии эпохи Просвещения.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться           с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Таким образом, устроен окружающий нас мир,                что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов.

Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве, называется стереометрия (от греч. «стереос» — обьѐмный, «метрео» — измеряю). Говоря о стереометрии, невозможно не затронуть такой невероятно красивый материал, как "Правильные многогранники". Ни одни геометрические тела  не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение        в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах.

В прошлом году я написал научно – исследовательскую работу по теме «Оригами  и математика». Когда я писал эту работу, я заметил, что модули,          с которыми я работал, напоминают объемные геометрические фигуры.          В этом году я стал изучать геометрию, интерес к фигурам из оригами постепенно перерос к объемным геометрическим телам. Мне захотелось больше узнать о многогранниках, научиться изготавливать их различные модели и выявить их роль в окружающем мире.

Актуальность исследования состоит в том, что многие мои сверстники испытывают затруднения при изучении предмета геометрии. Они                   не могут представить некоторые простейшие геометрические построения.   Но как можно не замечать того что, многие здания похожи                              на многогранники. А также во многих профессиях, к которым мы стремимся, понадобятся знания свойств геометрических фигур, ведь в современном мире очень широко применяются различные виды многогранников.

Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры,       то природа этим широко пользуется.

Цель исследования: познакомиться с многогранниками, их применением в окружающем мире, получить представление о возможных видах правильных  многогранников, с точки зрения геометрии, сделать модели многогранников.

Задачи исследования:

- изучить необходимую литературу по данной теме;

- обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;

- доказать, что многогранники встречаются в жизни;

- сделать модели многогранников.

Объект исследования: многогранники.

Предмет исследования: стереометрия.

Методы исследования:

- поиск информации из разных источников (специальная литература, ресурсы интернета);

- беседа с преподавателем;

- наблюдение;

- практическая работа.

 

 

1. Понятие многогранника и его элементы
1. История многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет      до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса.          Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м            и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения,                с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

– Вселенная – додекаэдр

– Земля – куб

– Огонь – тетраэдр

– Вода – икосаэдр

– Воздух – октаэдр.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил                 в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

 

1.2. Понятие многогранника

 

«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.

Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.

Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

 

 

 

 

 

 

          

 

Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников

 

Многогранники обладают следующими свойствами:

1. Каждая грань выпуклого  многогранника является выпуклым  многоугольником.

2. Плоскость, проходящая  через внутреннюю точку выпуклого  многогранника, пересекает его по  выпуклому многоугольнику.

3. Выпуклый многогранник  лежит по одну сторону от  каждой своей грани.

4. Выпуклый многогранник  является выпуклой оболочкой  всех своих вершин, то есть  наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.

Докажем одно из них.

Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В – точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F – выпуклый многоугольник.

 

Рис. 1.2.

 

 

3. Теорема Эйлера

 

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.

 

Название многогранника	В	Р	Г
Треугольная пирамида	4	6	4
Четырехугольная пирамида	5	8	5
Треугольная пирамида	6	9	5
Четырехугольная призма	8	12	6

 

В – число вершин

Р - число ребер

Г – число граней

 

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.

Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.