Понятие многогранника и его элементы

 

Sполн = 2 ( ab + ac + bc ).

 

2.4 Правильные многогранники

 

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Л. Кэррол

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.9. «Космический кубок»

 

Ещё во времена древних греков был установлен поразительный факт – существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многоугольников были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике платоновыми телами.

И. Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера (рис.2.9).

Существование только пяти правильных многогранников представлялось ученым фундаментальным фактом, который должен иметь прямое отношение к строению материи во Вселенной. Пифагорейцы считали многогранники божественными. Согласно их воззрениям, атомы основных элементов должны иметь форму различных платоновых тел: атомы огня – форму тетраэдра, земли – форму куба, воздуха – форму октаэдра, воды – форму икосаэдра. Древнегреческий учёный Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых, путём сгущения и разрежения, охлаждения и нагревания образуются все тела.) Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших (а поэтому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что, поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел, он обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий – земле пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник – куб.

С помощью простых и сложных атомов Платон попытался даже отразить взаимоотношения между стихиями: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь. Это «уравнение» надо понимать так: в элементе воды – икосаэдре – 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела – прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.

 

огонь	тетраэдр
вода	икосаэдр
воздух	октаэдр
земля	гексаэдр
вселенная	додекаэдр

 

Пять правильных тел изучали Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Также необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в кругах художников, скульпторов, архитекторов. Ими занимались Леонардо да Винчи, Альберт Дюрер.

Итак, существует всего пять правильных многогранников.                           

 

Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре). Его четыре грани – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.

 

 

Куб, или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине.

Октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр – одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники.

 

 

 

 

 

 

 

И загадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников. В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

 

2.5 Полуправильные многогранники

 

В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10). имеет своими гранями два правильных пятиугольника – основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

 

Рис. 2.10. Правильная призма

 

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется ещё 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 2.11 (1)) . Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2.11 (2)) и усеченный икосаэдр (рис. 2.11 (3)). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 2.11 (4)) и усеченный додекаэдр (рис. 2.11 (5)) .

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате чего получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 2.11 (6)). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название – кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 2.11 (7)). У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 2.11 (8)) и усеченный икосододекаэдр (рис. 2.11 (9)).

Было рассмотрено 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа.

Поверхность ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлена еще 12 квадратов (рис. 2.11 (10)).

Поверхность ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов (рис. 2.11 (11)). На рисунках 12, 13 представлены соответственно так называемые плосконосый куб и плосконосый додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит их двух или трех типов граней: квадраты, треугольники и пятиугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

 

 

2.6 Звездчатые многогранники

 

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты Кеплером (1571–1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777–1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера–Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Л. Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О.Коши (1789 – 1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис.2.11).

Рис. 2.11.

 

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во–первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получатся так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр. Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни : он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

Мауриц Эсхер пишет: «Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис.2.12).

Рис. 2.12.

 

Таким образом, существует 4 типа правильных звездчатых многогранников. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применить их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

 

 

2.7 Невозможные  фигуры

Невозможные фигуры – один из видов зрительных иллюзий, когда на первый взгляд кажется, что изображение на плоскости отражает проекцию реальной трехмерной фигуры, но при внимательном рассмотрении видны противоречивые соединения ее элементов и становится очевидно, что существование такой фигуры в трехмерном пространстве невозможно.

Наиболее известные невозможные фигуры – невозможный треугольник (треугольник Пентроуза), бесконечная лестница и невозможная вилка (трезубец):

«Отцом» невозможных фигур является шведский художник Оскар Реутерсвард (Oscar Reutersvard), который за годы своего творчества нарисовал тысячи таких фигур. Настоящую известность невозможные фигуры обрели, когда их изобразил на своих литографиях известный голландский художник Мауриц Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher).

Направление в изобразительном искусстве, нацеленное на изображение невозможных фигур, называется имп-арт (imp-art, от англ. impossible – невозможный и art – искусство).

   

 

 

3. Многогранники вокруг нас

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». 
Бертран Рассел

3.1. Чудо природы – кристаллы

 

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба.