Геометрия на Востоке

Почти весь этот ученый труд основывается на одном свойстве конических сечений, вытекающем непосредственно из свойств того конуса, на котором образуются эти кривые. В новейших сочинениях это свойство большею частью вовсе не указывается, но оно заслуживает большего внимания, и мы здесь упомянем о нем, так как оно есть ключ ко всему учению древних и совершенно необходимо для понимания их сочинений.

Рис. к n° 11. — latus transversum (диаметр), — осевой треугольник, — вершины, — latus rectum (параметр); характеристическое свойство конических сечений дается как . См. также статью «Из прошлого аналитической геометрии» Д.Д. Мордухай-Болтовского. — Ред.

Вообразим себе косой конус  с круглым основанием; проведем прямую линию от вершины в центр основания; эта прямая называется осью конуса. Плоскость, проведенная через ось перпендикулярно к основанию, пересекает конус по двум образующим, а круг основания по диаметру; треугольник, имеющий сторонами диаметр основания и две вышесказанные образующие, называется осевым треугольником. Для образования конических сечений Аполлоний берет плоскости, перпендикулярные к плоскости осевого треугольника. Точки, в которых секущая плоскость встречает боковые стороны треугольника, суть вершины кривой, а прямая, соединяющая эти точки, — диаметр. Аполлоний называет этот диаметр latus transversum. Восстановим в одной из вершин кривой перпендикуляр к плоскости осевого треугольника; на этом перпендикуляре можно определить такую точку (найти такую длину перпендикуляра), что если соединим ее с другою вершиною и восстановим из какой-нибудь точки диаметра кривой перпендикулярную ординату, то квадрат этой ординаты, считаемой от диаметра до кривой, будет равен прямоугольнику, составленному из отрезка ординаты между диаметром и упомянутой прямой и из той части диаметра, которая заключается между первою вершиною и основанием ординаты.]В этом и состоит первоначальное и характеристическое свойство конических сечений, открытое Аполлонием, из которого он чрезвычайно искусными путями и преобразованиями вывел почти все другие свойства. Оно имело, как мы видим, в его руках почти то же значение, как уравнение второй степени с двумя переменными в системе аналитической геометрии Декарта.

Из сказанного видно, что  диаметр и перпендикуляр данной длины, восстановленный в конце его, достаточны для построения кривой. На этих двух элементах древние и основывали свою теорию конических сечений. Перпендикуляр, о котором здесь идет речь, назывался latus erectum; ученые нового времени долгое время употребляли измененное название latus rectum, пока наконец оно не заменилось словом параметр, которое удержалось до сих пор. Для определения длины latus rectum Аполлоний и последующие за ним геометры предлагали различные построения на самом конусе, но, кажется, ни одно из них не может сравниться с простым и красивым построением Якова Бернулли. Он говорит:

«Проведем плоскость, параллельную основанию конуса, на таком же расстоянии от вершины, на каком находится от неё плоскость рассматриваемого конического сечения; эта плоскость пересечет конус по кругу, диаметр которого и будет latus rectum конического сечения».

Отсюда выводится без  труда способ помещать данное коническое сечение на данном конусе.

 В сочинении Аполлония исследованы самые замечательные свойства конических сечений. Укажем здесь на следующие: свойства асимптот, занимающие большую часть второй книги; постоянное отношение произведений отрезков, получаемых от пересечения конического сечения двумя прямыми, параллельными двум главным осям и проходящими чрез одну и ту же точку (теоремы 16—23 в 3-й книге); главные свойства фокусов эллипса и гиперболы, которые называются у Аполлония точками приложения (в той же книге теоремы 45—52); две прекрасные теоремы о сопряженных диаметрах (7-я книга, теоремы 12 и 22, 30 и 31).

Мы должны еще указать  на следующую теорему, которая получила особенную важность в новой геометрии, потому что она послужила основным положением теории взаимных поляр и из неё же Де-Лагир извлек основание для своей теории конических сечений.

«Если через точку пересечения  двух касательных конического сечения  проведем секущую, встречающуюся с  кривою в двух точках, и с линиею, соединяющею точки прикосновения, в третьей точке, то эта третья точка с точкой пересечения касательных будут соответственные гармонические относительно первых двух точек.»

Первые 23 предложения 4-й  книги относятся к гармоническому делению прямой, проведенной в плоскости конического сечения, и по большей части суть частные случаи вышеприведенной теоремы. В следующих за тем предложениях Аполлоний рассматривает систему двух конических сечений и доказывает, что они могут пересекаться не более, как в 4 точках. Он исследует, что должно происходить, когда конические сечения касаются друг друга в одной или двух точках, и рассматривает различные другие относительные положения их между собою.

Пятая книга есть самый  драгоценный памятник Аполлониева гения. Здесь в первый раз встречаем мы исследования о наибольших и наименьших. Здесь опять находим мы всё, чему научают нас об этом предмете современные аналитические способы, и вместе с тем усматриваем первые следы прекрасной теории разверток. Аполлоний доказывает именно, что по каждую сторону оси конического сечения находится последовательность точек, из которых можно к противолежащей части кривой провести только одну нормаль; он дает построение этих точек и замечает, что непрерывным рядом их отделяются друг от друга два пространства, имеющия то замечательное различие, что]из точек одного можно провести к противолежащей дуге кривой две нормали, а из точек другого — ни одной. В этом мы узнаем полное определение центров кривизны и развертки конического сечения. Точки конического сечения, чрез которые проходят нормали, проводимые из данной точки, Аполлоний строит при помощи гиперболы, определяя при этом её элементы. Все эти изыскания отличаются удивительною проницательностью. Великий труд Аполлония приобрел ему, по свидетельству Гемина, прозвание геометра по преимуществу (κατ' εξοχήν).

До нас дошли только семь первых книг этого сочинения: первые четыре на языке подлинника, а остальные три в арабском переводе. Галлей сделал опыт восстановления восьмой книги в превосходном и единственном полном издании конических сечений Аполлония^[.

Аполлоний оставил после себя еще многие другие сочинения, относящиеся по большей части к геометрическому анализу; из них мы имеем только одно De sectione rationis; остальные же под заглавиями De sectione spatii, De sectione determinata, De tactionibus, De inclinationibus, и De locis planis восстановлены по указаниям Паппа различными геометрами двух последних столетий.

Аполлонию принадлежит наконец честь применения геометрии к астрономии; ему приписывают теорию эпициклов, помощью которых объясняются явления стояния и возвратного движения планет. Птоломей приводит имя Аполлония по поводу этого предмета в своем Альмагесте.

Между современниками Архимеда и Аполлония следует отличить Эратосфена, родившегося в 276 году до Р X. (11 лет после Архимеда и 31 год прежде Аполлония). Этот философ, глубоко сведущий во всех отраслях знания, был директором александрийской библиотеки при третьем Птоломее и должен быть поставлен на ряду с тремя знаменитыми геометрами древности — Аристеем, Евклидом и Аполлонием. Папп упоминает об его сочинении в двух книгах, которое относилось к геометрическому анализу, но которое для нас утрачено. Оно носило название De locis ad medietates; какие это были геометрические места — неизвестно. Эратосфен изобрел снаряд для построения двух средних пропорциональных, который назывался Mesolabium и который он сам описывает в письме к царю Птоломею, причем он рассказывает также историю задачи об удвоении куба. Это письмо передано нам Евтоцием в его комментарии на книгу Архимеда о шаре и цилиндре. Папп в «Математическом Собрании» дает также построение Эратосфенова мезолябия.

Труды Архимеда и Аполлония обозначают собою самую блистательную эпоху древней науки. Впоследствии труды эти послужили началом и основанием для двух общих вопросов, занимавших собою геометров всех эпох, — вопросов, к которым примыкают почти все их сочинения, распадающиеся таким образом на два класса и как бы разделяющие между собою всю область геометрии.

Первый из этих важных вопросов есть квадратура криволинейных фигур; он был поводом к изобретению исчисления бесконечных, открытого и мало-помалу разработанного Кеплером, Кавальери, Ферматом, Лейбницем и Ньютоном.

Второй вопрос есть теория конических сечений, вызвавшая прежде всего геометрический анализ древних, а затем способы перспективы и трансверсалей. Этот второй вопрос сам был предшественником общей теории кривых линий всех порядков и той обширной части геометрии, в которой при изыскании свойств протяжения принимается в соображение только вид и положение фигур и в которой мы пользуемся только пересечением линий и поверхностей и отношениями между прямолинейными расстояниями (координатами). Эти два обширные отдела геометрии, из которых каждый имеет свой особый характер, можно обозначить названиями: геометрия меры и геометрия вида и положения, или названиями геометрии Архимеда и геометрии Аполлония.

Впрочем на такие же два отдела распадаются и все математические науки, имеющие, по выражению Декарта, предметом изыскания о порядке (расположении) и о мере.

2.11 «Начала геометрии»

Еще Аристотель (383—322 до Р. X.) высказал ту же мысль в следующих словах: «чем же другим занимаются математики, если не порядком и отношением?».

Такое определение математических наук и выраженное в нем разделение их на два обширные отдела применимо в особенности к геометрии. Удивительно, что даже в лучших сочинениях по геометрии эта наука определяется как имеющая предметом измерение пространства. Подобное определение очевидно неполно и дает ложное понятие о цели и предмете геометрии.

Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской  школе только намечался, подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Александрийской школе нашел свое завершение. Была создана наука, широкая по замыслу, богатая фактическим материалом и, несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд чрезвычайно важных практических применений. Больше того, можно сказать, что именно в абстрактной структуре, которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. до н. э., и коренится возможность ее многообразного конкретного использования.

Самое слово «геометрия»  недолго сохраняет свое первоначальное значение — измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый термин — геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином «метрическая геометрия». В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии. Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал геометрии», имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие «Начала» по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.

Евклид жил в Александрии  в эпоху, когда там образовался  наиболее крупный центр греческой  научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. «Составитель Начал» — это прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по существу представляют собой переработку «Начал» Евклида.

Материал, содержащийся в  «Началах», по существу охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время. Метод построения геометрии у Евклида позже характеризовали словами — строить геометрию исключительно геометрическими средствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую. Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий треугольник, а треугольник — в квадрат.

Теорема Пифагора у Евклида  имеет только то содержание, которое  устанавливается его доказательством: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, — он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные основным алгебраическим тождествам, установленным гораздо позже; этому посвящена почти половина второй книги «Начал».

Эпоха великих геометров (второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть, сознательно обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между отдельными греческими государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а в том, что он установил теоретические основы, на которых в конечном счете и по сей день покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии; на этом и сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по существу единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, — путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место греческой математики. Архимед пытался найти радикальные средства для преодоления трудностей счисления — этому посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой лишнее свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление периметров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и описанного около нее.