Геометрия на Востоке

Содержание

Введение	3
Геометрия на Востоке	4
Греческая геометрия Фалес Милетский Пифагор Самосский Платонова школа Квадратрикса Диностра Открытие Персея Евклид.  Элементы Евклида Папп и Прокл Р. Симсон Архимед Аполлоний «Начала геометрии»	6 7 7 9 10 10 13 13 16 18 23
Геометрия новых веков 3.1  Ферма и Декарт 3.2  Монж	29 31 32
Классическая геометрия XIX века.	35
Неевклидовая геометрия 5.1  Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии 5.2  Янош Бояи 8.3  Геометрия Лобачевского	38 39 39 40
Геометрия ХХ века 6.1 Геометрия Эйнштейна  — Минковского	42 42
Заключение	44
Литература	45

 

 

 

Введение

Геометрия возникла очень  давно, это одна из самых древних  наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно. уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины  окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

 

 

 

 

 

 

 

1. Геометрия на Востоке

Родиной геометрии  считают обыкновенно Вавилон  и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу.

Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в  Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны  с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Payee ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры. Это — руководство, содержащее различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из последних почти все связаны с измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес принимает площадь равнобедренного треугольника  равной  произведению  основания  на   половину боковой  стороны,  а площадь  круга — равной  площади  квадрата,  сторона  которого  меньше диаметра  на   1/3  его часть (это  дает  л=3,160...);   площадь  равнобочной   трапеции   он принимает равной произведению   полусуммы   параллельных сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких других задач Ахмеса,  египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного  треугольника   определяются   отношением   катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее просвещенные   жрецы — хранители    египетской   науки, — что их данные являются лишь приближенными, об этом  мы не имеем  никаких сведений.  Столь же мало  знаем  мы о том, что прибавило к этим познаниям  египтян  следующее тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они во всяком случае не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Несомненно лишь то, что геометрические сведения  вавилонян  были  столь же  отрывочны и столь же  скудны.  Им  принадлежит деление окружности  на  360^о; они имели сведения о параллельных линиях и точно воспроизводили  прямые углы;   всё  это  было  им   необходимо   при астрономических  наблюдениях,  которые,  по-видимому,  главным   образом   и   привели   к   их   геометрическим   знаниям. Вавилоняне  знали,  что  сторона  правильного   вписанного   в круг  шестиугольника   равна    радиусу. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического,   периода  геометрии  являются  две  стороны  дела: во-первых,   установление   наиболее  элементарного   геометрического материала, прямо необходимого в практической работе,   а  во-вторых,   заимствование этого   материала  из  природы   путем непосредственного   наблюдения   («чувственного восприятия»,   по   словам    Евдема    Родосского).    Наиболее характерное   выражение  этого   непосредственного   апеллирования  к  интуиции  как  единственному   удостоверению   правильности  высказанной  истины   мы   находим   у   индусского математика Ганеши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Греческая геометрия

2.1 Фалес Милетский

Греческие авторы относят  появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. и связывают его с именем Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важнее, по-видимому, другое. Трудно допустить, чтобы наука, "хотя бы в зачаточном своем состоянии, была перенесена на треческую почву одним чел овеком. Важио то, что в Элладе в иных условиях экономических отношений и социальной жизни образовался класс, для того времени несомненно прогрессивный, не только усвоивший восточную культуру, но и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким образом, уже свою высокую эллинскую культуру. В условиях быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, не только очень   скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, — задач, узких при всей их важности, — и поставить ей неизмеримо более широкие задания. Этой тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играть видную роль и абстрактная логика.

2.2 Пифагор Самосский

Пифагор Самосский (род. 580 до Р. X.), ученик Фалеса, подобно ему, сперва отправился в Египет, а потом в Индию; возвратившись в Италию он основал здесь свою школу, которая сделалась гораздо знаменитее той, из которой он произошел сам. Этому философу, сделавшему из геометрии часть своей философии, и его ученикам преимущественно принадлежат первые открытия в геометрии; самые важные из них: теория несоизмеримости некоторых линий, напр. диагонали квадрата с его стороною, и теория правильных тел. Впрочем первые успехи науки о протяжении состояли только из нескольких простейших предложений о прямой линии и круге. Между ними наиболее замечательны: теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника (за открытие которой, по сказанию истории, или басни, Пифагор принес в жертву гекатомбу) и то свойство круга и шара, что они из всех фигур одинакового периметра или одинаковой поверхности суть наибольшие; эта последняя теорема содержит в себе первый зачаток учения об изопериметрах.

2.3 Платонова школа

Геометрия оставалась в таком  ограниченном виде до основания Платоновой школы, которое было эпохою более важных открытий.

Платон (430-347 до Р. X.). Чтобы изучить математику, Платон, подобно своим предшественникам, отправился сперва к египетским жрецам, а потом в Италию к пифагорейцам. Возвратившись в Афины, он стал во главе новой школы и ввел в геометрию аналитический метод, конические сечения и учение о геометрических местах. Эти замечательные открытия сделали из геометрии как бы новую науку в сравнении с существовавшей до этих пор элементарной геометрией, науку высшую, которая учениками Платона названа была трансцендентною геометрией.

С этого времени стали  прилагать с замечательным искусством учение о геометрических местах к  решению знаменитых задач об удвоении куба, о двух средних пропорциональных и о делении угла на три равные части.

Первая из этих задач, известная  по своей трудности и по своему баснословному происхождению, занимала геометров еще прежде этого времени.

Гиппократ Хиосский (около 450 до Р.Х.), достаточно известный квадратурой своих луночек, привел задачу о удвоении куба к нахождению двух средних пропорциональных между стороной данного куба и удвоенной стороной его; по всей вероятности, это и было поводом к общей задаче о двух средних пропорциональных. Эта последняя задача была решена весьма различными способами, которые все делают честь геометрам древнего мира. Первое решение принадлежит Платону, который для этого изобрел особый снаряд, состоявший из прямого угла, на одной стороне которого двигалась прямая, оставаясь параллельною другой стороне: бесспорно это был первый пример механического решения геометрической задачи.

Менехм, ученик Платона, пользовался для той же цели геометрическими местами: двумя параболами, оси которых взаимно перпендикулярны, а также параболою и гиперболой между асимптотами.

Евдокс, другой ученик и друг Платона, прилагал другие кривые, нарочно для этой цели изобретенные им; к сожалению, его решение не дошло до нас и мы даже не знаем, какие это были кривые.

Решение знаменитого пифагорейца Архитаса, чтения которого слушал Платон в Италии, было чисто умозрительное. Оно замечательно тем, что основывалось на употреблении кривой двоякой кривизны; это была первая кривая такого рода, рассмотренная геометрами; по крайней мере она самая древняя из известных нам

Четыре приведенные здесь  решения задачи о двух средних  пропорциональных, как мы видим, существенно различны между собою. Та же задача и после того в течение многих веков занимала геометров и потому число решений её значительно увеличилось. Евтоций, математик шестого столетия по Р. X., к своем комментарии ко второй книге о шаре и цилиндре Архимеда, приводит решения Эратосфена, Аполлония, Никомеда, Герона, Филона, Паппа, Диоклеса и Спора. О всех этих математиках мы упомянем далее в хронологическом порядке.

Превосходные методы, указанные  Платоном и учениками его, ревностно разрабатывались их последователями и были предметом многих замечательных сочинений, в которых развиты были главнейшие свойства конических сечений, этих знаменитых кривых линий, которым 2000 лет спустя пришлось играть такую важную роль в небесной механике, когда Кеплер узнал в них истинные пути, описываемые планетами и спутниками, и Ньютон в их фокусах открыл средоточие силы, приводящей в движение все тела вселенной.

Важнейшим из таких сочинений  было сочинение Аристея (около 450 до Р. X.), которое состояло из пяти книг о конических сечениях и о котором древние отзываются с необыкновенною похвалою. К сожалению оно не дошло до нас, также как пять книг «о телесных местах» того же геометра.

2.4. Квадратрикса Диностра.

 К тому же почти  времени относится открытие квадратриксы Динострата. Главное свойство этой кривой дает способ делить угол на несколько частей, пропорциональных данным линиям, и вероятно она была изобретена для решения возбужденной в Платоновой школе задачи о делении угла на три равные части. Если бы эта кривая могла быть построена геометрически, то ею решалась бы также задача о квадратуре круга; вследствие этого она и получила от древних свое название — квадратрикса. Папп предполагает, что это свойство кривой было открыто Диностратом, братом Менехма, отчего новые геометры и назвали ее квадратриксой Динострата. Но из двух мест Прокла можно кажется заключить, что кривую эту открыл и обнаружил её свойства Гиппий, геометр и философ, живший во время Платона.

2.5. Открытие Персея

К этой же первой эпохе развития геометрии должно отнести Персея, который приобрел известность открытием улиткообразных линий (lignes spiriques). Он получал эти кривые, пересекая различными плоскостями кольцеобразную поверхность (tоrus), образуемую вращением круга около неподвижной оси, лежащей в той же плоскости.

Об этом предмете осталось только одно указание Прокла в его комментарии к первой книге Евклида, где он ясно описывает образование этих кривых на кольцеобразной поверхности и открытие их приписывает Персею. Спустя несколько строк]он прибавляет, что Гемин также писал об улиткообразных, и это замечание очень важно: оно доказывает, что Персей жил раньше Гемина, о котором известно, что он существовал около времени Гиппарха в двух первых столетиях до Р. X. Очень жаль, что сочинения Персея и Гемина не дошли до нас; было бы интересно узнать их геометрическую теорию улиткообразных, потому что это кривые четвертого порядка, исследование которых в настоящее время требует употребления уравнений поверхностей и довольно трудных вычислений.