Геометрия на Востоке

2.6 Евклид. Элементы Евклида

Евклид (285 г. до Р. X.). В лице Евклида, знаменитого творца элементов геометрии, соединяется Платонова школа, в которой он получил свое образование, с вновь возникшею Александрийскою школой.

Еще до Евклида многие греческие  геометры писали об элементах геометрии. Прокл, который оставил нам имена их, особенно отличает следующих: Гиппократа Хиосского; Леона, сочинение которого было полнее и полезнее предыдущего; Федия Магнезийского, замечательного по тому порядку, в котором он расположил свое сочпнение; Гермотима Колофонского, который усовершенствовал открытия Евдокса и Фетеса и присоединил к элементам многие собственные исследования. Вскоре после этого явился Евклид, который, по словам Прокла, «собрал элементы, привел в надлежащий порядок многое открытое Евдоксом, дополнил начатое Фетесом и доказал строго всё, что до него было доказано еще неудовлетворительно».

Евклид ввел в элементы геометрии метод, известный под  названием reductio ad absurdum и состоящий в доказательстве, что всякое предположение, несогласное с доказываемой теоремой, ведет к противоречию; этот метод особенно полезен в таких изысканиях, где входит понятие о бесконечности под видом несоизмеримых количеств. Архимед в большинстве своих сочинений употреблял этот способ доказательства; Аполлоний пользовался им с успехом в 4-й книге о конических сечениях; новейшие геометры извлекли из него также много пользы в тех случаях, где наука не в состоянии дать прямого доказательства, которое одно доводит истину до совершенной очевидности и вполне удовлетворяет требованиям нашего ума.

Элементы Евклида состоят из 13 книг, к которым обыкновенно присоединяют две книги о пяти правильных телах, приписываемые Гипсиклу Александрийскому, который жил на 150 лет позднее Евклида.

«Можно получить ясное  понятие о всем сочинении, представив себе его составленным из четырех частей. Первая часть состоит из 6 первых книг; она в свою очередь подразделяется на три отдела, именно: прямые выводы свойств данных фигур, заключающиеся в книгах 1, 2, 3 и 4; далее теория отношений между величинами вообще в 5 книге и наконец приложения этой теории к плоским фигурам. Вторую часть составляют книги 7, 8 и 9, которым присваивается название арифметических, потому что в них говорится об общих свойствах чисел. Третья часть состоит из одной 10 книги, в которой автор рассматривает в подробности величины несоизмеримые. Наконец в четвертой части, состоящей из 5 последних книг, изучаются поверхности и тела. Из этого обширного учебника в наше преподавание введены только 6 первых, 11-я и 12-я книги.»

Элементы сделали имя Евклида знаменитым, хотя это — не единственный труд его, заслуживающий удивления. Великий геометр расширил пределы науки многими другими сочинениями, которые доставили бы ему не меньшую славу, если бы дошли до нас. Для нас сохранилось только одно из них, и именно наименее важное, известное под названием δεδομένα (данные, data). Это есть продолжение элементов, назначавшееся для того, чтобы облегчить употребление и приложение их к решению всех вопросов, входящих в область геометрии. Евклид называет здесь данным всё то, что, на основании теорем, заключающихся в элементах, непосредственно следует из условий задачи. Например, «если проводим из данной точки прямую, касательную к данному кругу, то эта прямая есть данная по величине и положению» (Теорема 91 в Data Евклида).

Древние и средневековые  геометры во всех геометрических изысканиях ссылались на теоремы «данных», также как и на теоремы «элементов»; сам Ньютон пользовался в «Principia» этою книгою Евклида, также как и «коническими сечениями» Аполлония. Но с того времени подобные следы древности исчезли из сочинений геометров и теперь книга «данные» знакома разве только тем, кто занимается историею науки.

Из некоторых теорем книги  «данные» легко можно вывести  решение уравнений второй степени, которое у древних в первый раз встречается только у Диофанта, жившего 600 лет позднее Евклида. Примером этому может служит следующая теорема: «Если две прямые, наклоненные под данным углом, заключают данную площадь и если дана их сумма, то и каждая из них будет дана (известна)». В 13-й книге элементов, имеющей предметом вписывание правильных многоугольников и многогранников в круг и шар, находим после 5-й теоремы следующее объяснение анализа и синтеза.

«Что такое анализ и  что синтез?

В анализе принимаем требуемое за доказанное и таким путем достигаем до истины, которую желаем обнаружить.

В синтезе начинаем с того, что уже доказано, и переходим  к заключению, или к познанию того, что нужно доказать.»

Многие следующие за этим предложения исследованы и по аналитическому и по синтетическому методу.

Из недошедших до нас трудов Евклида должно особенно сожалеть об утрате: четырех книг о конических сечениях, теория которых была им значительно развита, потом четырех книг о местах на поверхности и наконец трех книг о поризмах. Из предисловия к 7-й книге «Математического Собрания» Паппа видно, что сочинение «Поризмы» отличалось глубиною и проницательностью и употреблялось, как пособие, для решения труднейших задач. (Collectio artificiosissima multarum rerum, quae spectant ad analysin difficiliorum et generalium problematum.) 38 лемм, предложенных этим ученым комментатором для пояснения «поризм», доказывают, что «поризмы» Евклида заключали в себе такие свойства прямой линии и круга, которые в новейшей геометрии доставляются теорией трансверсалей.

2.7 Папп и Прокл

 Папп и Прокл суть единственные геометры древности, упоминавшие о поризмах; но уже во времена первого из них значение слова πόρισμα изменилось и объяснения как Паппа, так и Прокла, об этом предмете так неясны, что для ученых нового времени было трудной задачей понять, в чем заключалось различие, которое древние установили между теоремой и проблемой с одной стороны и третьим видом предложений, называвшихсяпоризмами, с другой; и в особенности трудно было узнать, что такое были именно поризмы Евклида.

Папп приводит тридцать предложений, относящихся к поризмам, но они изложены так кратко и от ветхости рукописи и утраты чертежа сделались настолько неполными, что знаменитый Галлей, который бесспорно имел достаточно опытности в деле древней геометрии, признается, что в этих предложениях он ничего не понимает и что ни одно из них не было еще восстановлено до средины последнего столетия, хотя лучшие геометры посвящали свои исследования этому предмету.

2.8 Р. Симсон

Р. Симсону принадлежит честь разъяснения как многих из этих загадочных теорем, так и той особой формы, которая была свойственна только этому роду предложений. Объяснение поризм, предложенное этим геометром, следующее:

«Поризма есть предложение, в котором высказывается, что некоторые геометрические величины могут быть определены и действительно определяются, если даны их соотношения с величинами постоянными и известными, а также с такими величинами, которые могут быть изменяемы до бесконечности; эти последние величины связываются сверх того одним или несколькими условиями, определяющими закон их изменяемости».

Например, если даны две неподвижные  оси, на которые из каждой точки некоторой прямой опускаются перпендикуляры и , то всегда можно найти такую величину (длину) и такое отношение , чтобы между двумя перпендикулярами существовало постоянное соотношение . (По способу древних это предложение будет выражено так: первый перпендикуляр будет более второго на величину данную относительно содержания).

Здесь данные постоянные величины — две оси; изменяемые величины —  перпендикуляры и ; закон, которому подчиняются переменные величины — условие, что точка, из которой опускаются эти перпендикуляры, берется всегда на данной прямой; наконец искомые суть длина и содержание , с помощью которых между постоянными и изменяющимися величинами устанавливается предписанное соотношение.

Из этого примера видно, в чем заключается сущность поризм, как понял ее Р. Симсом, воззрение которого вообще признается справедливым. Впрочем следует заметить, что не все геометры считают это воззрение Симсона истинным выражением идеи Евклида. Хотя мы, лично, и разделяем мнение знаменитого глазговского профессора, однако должны сказать, что в его сочинении мы не нашли полного разрешения великой загадки поризм. Это задача в действительности весьма сложная и для всех частей её желательно иметь решения, которых мы напрасно искали бы в труде Симсона. Остается еще разрешить следующие вопросы.

1) Какова была форма  выражения поризм?

2) Каковы были предложения,  заключавшиеся вообще в этом  сочинении Евклида и в особенности те из них, относительно которых Папп оставил нам весьма неполные указания?

3) Какие намерения и  философские соображения заставили  Евклида изложить это сочинение  в такой необыкновенной форме?

4) Почему это сочинение  заслуживало того особенного  предпочтения, которое дает ему  Папп перед всеми другими трудами древних? В одном только способе выражения теоремы конечно не заключается еще ни заслуги, ни пользы.

5) Какие в наше время  методы и операции, хотя и в  иной форме, ближе всего подходят к поризмам Евклида и что заменило их в решении задач? Нельзя же предположить, чтобы такое прекрасное и плодотворное учение могло без следа исчезнуть в науке.

6) Наконец было бы необходимо  дать удовлетворительное разъяснение  отдельных мест у Паппа об этих поризмах, — например того места, где он говорит, что новые геометры изменили значение слова поризма, потому что сами собою не могли всего найти, или, так сказать, поризмировать. Если бы поризмы отличались]только способом выражения, как это, кажется, должно заключить из воззрения Р. Симсона, то во всякое время было бы легко поризмировать все предложения, способные к этому; и мы не видим, в чем могли заключаться трудности, принудившие новых геометров изменить значение слова.

Вскоре после Евклида  являются два человека, одаренные  необыкновенною умственною силою, — Архимед и Аполлоний; ими обозначается самая блистательная эпоха древней геометрии. Многочисленные открытия их во всех отделах математического знания положили основание многим из самых важных современных теорий.

2.9 Архимед

Архимед (287-212 до Р. Х.). Квадратура параболы, выведенная Архимедом двумя различными способами, была первым примером точного определения площади, заключающейся между прямою и кривою линией.

Всем хорошо известно, что  Архимеду принадлежат следующие  открытия: исследование спиралей, отношения их площади к площади круга, способ проводить к ним касательные; определение центра тяжести параболического сектора; выражение объема отрезков сфероида, параболического и гиперболического коноидов; соотношение между шаром и описанным цилиндром; отношение окружности к диаметру и многие другие. Эти открытия навсегда останутся удивительными по новизне и трудности, которые они представляли в свое время, и потому, что в них лежат зачатки большей части дальнейших открытий, преимущественно в тех отделах геометрии, которые касаются измерения]кривых линий и поверхностей и требуют рассмотрения бесконечных величин.

Изыскание отношения окружности к диаметру было первым примером решения  задачи по приближению; этот способ решения с успехом и пользою прилагается весьма часто как в алгебраических вычислениях, так и в геометрических построениях.

Способ, который Архимед  употреблял для доказательства всех этих новых и трудных истин, по сущности своей был способ истощения (méthode d'exhaustion). Он состоял в том, что искомая величина, напр. кривая линия, рассматривалась как предел, к которому приближаются вписанные и описанные многоугольники по мере постепенного удвоения сторон, так что разность становится менее всякой данной величины. При этом мы как бы истощаем разность, откуда взято и название способа истощения. Такое постепенное приближение многоугольника к кривой доставляет нам о ней всё более и более ясное представление и, при помощи закона непрерывности, мы открываем её искомое свойство. В заключение, прилагая метод reductio ad absurdum, мы доказываем строго справедливость найденного результата.

Часто говорят, что древние  рассматривали кривые линии, как  многоугольники с бесконечно большим числом сторон. Но такого положения мы нигде не встречаем в их сочинениях и оно было бы в совершенном противоречии с строгостью их доказательств: оно введено новейшими математиками и, благодаря ему, значительно упростились доказательства древних. Эта счастливая мысль составляет уже переход от метода истощения к исчислению бесконечных.

Утверждают также, что  методы Архимеда запутаны и мало понятны, основываясь в этом случае на показании Бульо (Boulliaud) довольно искусного геометра XVII столетия, который говорит, что он не мог хорошенько понять доказательств в книге Архимеда о спиралях. Но это мнение противоположно мнению самих древних, которые, благодаря удивительному порядку и ясности, введенным Евклидом в геометрию, должны были быть самыми верными судьями в этом деле; подобный приговор опровергается также и мнениями новых геометров: достаточно указать на суждения Галилея и Маклорена, которые достаточно изучали творения Архимеда.

«Действительно думают, говорит  Маклорен, что для доказательства главных предложений нужно бывает много приготовительных теорем, отчего метод его (Архимеда) кажется тяжелым. Но число переходных предложений не составляет еще важного недостатка: лишь бы мы были убеждены, что эти переходы необходимы для полного и связного доказательства».

Пеирар (F. Peyrard), который из всех ученых нашего времени изучил наиболее основательным образом и во всех подробностях творения четырех великих геометров древности: Евклида, Архимеда, Аполлония и Паппа, который перевел и объяснил их, говорит прямо:

«Архимед в действительности труден только для тех, кто не освоился с методами древних; для тех же, кто изучал эти методы, он напротив ясен и легко понимается».

2.10 Аполлоний

Аполлоний (около 247 до Р. X.). Аполлоний написал сочинение в 8 книгах о конических сечениях. В первых четырех книгах содержалось, местами в более развитой и обобщенной форме, всё то, что было прежде написано об этом предмете и что в то время называлось элементами конических сечений четыре последние книги заключали в себе собственные открытия этого великого геометра.

Аполлоний первый рассматривал конические сечения на косом конусе с круглым основанием: до него для этой цели употребляли всегда прямой конус вращения и притом всегда брали секущую плоскость перпендикулярную к образующей; вследствие этого было необходимо для получения трех родов конических сечений рассматривать три конуса с различными углами при вершине. Поэтому и самые кривые носили названия сечений остроугольного, тупоугольного и прямоугольного конуса; названия эллипс,]гирпебола и парабола даны им в первый раз в сочинении Аполлония.