Динамические чертежи

 

Рисунок 3. иллюстрация к теореме Фейербаха об окружности девяти точек в «развернутом виде»

 

• Чертежи-модели, предназначенные для проведения экспериментов, исследования конструкций, которые обычно даются в готовом виде и не предполагают проведения учениками собственных построений. Здесь в полной мере проявляются возможности, заложенные в динамическом характере моделей: наблюдая за изменением картинки при вариации данных, можно выявить как скрытые в ней закономерности, т.е. самостоятельно «открыть» какую-то теорему, так и причины, их обуславливающие, т.е. увидеть идею доказательства. На рисунке 4. Изображена модель, позволяющая обнаружить, что треугольник A1B1C1 является правильным для любого данного треугольника ABC (т.е. «открыть» так называемую теорему Наполеона).

динамический модель математика учебный

Рисунок 4. Теорема Наполеона

 

• Задания на построение, в которых учащимся предлагается построить те или иные фигуры, пользуясь виртуальными инструментами. Наряду с традиционными задачами на построение циркулем и линейкой, приобретающими в компьютерной версии особую специфику, в частности, требующими от решающего абсолютной четкости и полноты решения, к таким заданиям относятся и, например, задания на «трехмерных» вращающихся изображениях пространственных фигур, задания на построение геометрических мест и др.

Подводя итог, выделим следующие виды учебных исследований по математике на основе динамических моделей:

1. «открытие» математических фактов на основе наблюдений готовых динамических моделей;
2. самостоятельное создание динамических моделей с заданными характеристиками.

 

2.2. Решение динамических задач

 

Динамические задачи занимают важное место в курсе геометрии. Данная тема богата по содержанию, по способам и приемам решения динамических задач, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса геометрии. Это объясняется тем, что  широко используются в различных разделах геометрии, при решении важных прикладных задач.

Пример 1:

Какие значения может принимать отношение:

а) периметра треугольника к его наибольшей стороне;

б) суммы углов треугольника к его наибольшему углу?

Решение. А) полагая то для положения на рисунке  1 имеем:

(треугольник стремится стать равносторонним),

.

Для положения на рисунке 2: (неравенство треугольника), (треугольник стремится стать отрезком), .

 

б) Наибольший угол (или два наибольших угла из трех) может изменятся в пределах от (но не равен ) до (и не равен ), поэтому отношение суммы углов треугольника к его наибольшему углу может находиться только в интервале от 1 до 3.

Ответ: а) (2; 3); б) (1;3).

Пример2:

Для всех равнобедренных треугольников найти множество значений отношения периметра к боковой стороне.

Решение. Для положения на рисунке 3: . Для положения на рисунке 4: , .

Ответ: (2; 4).

 

Преподавание геометрии не может обойтись без наглядности. В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Обучение не должно быть перенасыщено иллюстрациями, схемами, таблицами и другими формами наглядности, но в некоторых труднодоступных вопросах применение наглядности необходимо.

Пример 3:

Для всех прямоугольных треугольников найти множество значений отношения медиан, проведенных к катетам.

Решение. Первый способ решения – «протащить» вершину прямого угла вдоль полуокружности (рисунок 5) от одного конца диаметра (гипотенузы) к другому, рассмотрев при этом два предельных положения.

 

 

 

В первом положении , , , .

Во втором положении , , , .

Изменение отношения при переходе от первого положения ко второму следует рассмотреть на наглядно-интуитивном уровне, изобразив рисунками несколько последовательных промежуточных положений (включая ) и отметив при этом уменьшение одной медианы и увеличение другой .

Второй способ решения состоит в привлечении алгебры:

, ,

.

Отсюда ясно, что отношение уменьшается при увеличении .

Если , то .

Если то .

Ответ: .

Методические рекомендации по решению задачи:

1. Для решения данной задачи необходимо знать, прежде всего, что такое окружность, полуокружность, диаметр, прямоугольный треугольник, катеты, гипотенуза, медиана, свойства медианы. Так же для решения задачи вторым способом, т. е. с привлечением алгебры, необходимо знать теорему Пифагора.
2. В ходе решения задачи отрабатываются умения анализировать условие задачи, правильность построения рисунка, логическое мышление. Работа учителя должна быть направлена на то, чтобы учащиеся осознали, что если  в задаче точно не определены особенности геометрической конструкции, то для полного решения такой задачи необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения элементов конструкции и других ее особенностей. На начальных этапах знакомства с такими задачами, когда учащиеся еще не имеют достаточного запаса приемов решения подобных задач, представляется важным обучение рассмотрению различных ситуаций, выявлению существенных фактов, влияющих на конкретную геометрическую ситуацию.

Систематическая организация подобной работы будет способствовать развитию конструктивного мышления и такого компонента творческого мышления как гибкость.

3. Так как в школьном курсе геометрии динамических задач нет, наглядное решение таких задач можно использовать для изучения либо закрепления нового материала. Задачу, решенную первым способом, необходимо рассмотреть при изучении прямоугольного треугольника, его элементов (7 класс). Задачу, решенную вторым способом, необходимо рассмотреть при изучении теоремы Пифагора (8 класс). Так же можно подобрать ряд задач для самостоятельного исследования, с целью более глубокого понимания методов решения динамических задач. Разработать факультативный курс.

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Графические средства отображения информации широко используются во всех сферах жизни общества. Графические изображения характеризуются образностью, символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обусловливают их расширенное использование.

В ходе исследования поставленные задачи решены, цели достигнуты, получены следующие результаты и выводы:

1. выявлены роль и место учебных исследований в обучении математике;
2. изучены возможности динамической среды в организациях учебных исследований; программы динамической геометрии позволяют быстро создавать высококачественные чертежи и добиваться требуемого расположения их элементов, не перерисовывая чертеж. Но большую ценность, чем быстрое построение и вариации чертежа, составляет то, что наблюдая изменения чертежа, можно выделить те его свойства, которые сохраняются при динамике. Благодаря этому, модели, созданные в динамической среде, становятся инструментом для геометрических открытий и уникальным дидактическим средством. Смоделировав подобный эксперимент заранее, учитель может подвести учеников к открытию «новых» фактов.

Сказанное позволяет увидеть уникальность и универсальность учебной дисциплины для развития познавательных способностей человека, расширения круга используемых мыслительных средств и умственных операций, что, в свою очередь, повышает адаптивные возможности человека.

Все перечисленное показывает необходимость рассматривать географическое образование как необходимую составляющую содержания общего образования.

 

Список литературы

 

1. Андреев В. И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности: Методическое пособие. – М.: Высшая шк., 1981. – 240с.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть первая. М.: Просвещение, 1986. - 268с.
3. Аргунов Б.М., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1986. - 422 с.
4. Бахман Ф.М. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Просвещение, 1969. - 356 с.
5. Баранова Е. В. Методические основы использования учебных исследований при обучении геометрии в основной школе: Автореф. дис. канд. иед. наук. - Саранск, 1999. — 17 с.
6. Богоявленский Д. Н., Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: РЛП РСФСР, 1959. - 348 с
7. Вольхин К.А. Астахова Т.А. Геометрические основы построения чертежа. Геометрическое черчение. Электронное учебное пособие. Новосибирск, 2004
8. Готман Э. Г., Скопец 3. А. Задача одна - решения разные. - Киев: Род. шк., 1988. - 173 с.
9. Далингер В. А., Толепкина Н. В. Организация и содержание поисково- исследовательской деятельности учащихся по математике: Учеб. пособие – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. – 263 с.
10. Дадаян А.А. Основы черчения и инженерной графики. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. М.: Изд-во Форум, 2007. - 464 с.: ил.
11. В.Н. Дубровский и др., "Математика, 5-11 класс. Практикум", ЗАО "1С", 2004.
12. В.Н. Дубровский и др., Интерактивные стереочертежи к учебнику А.В.Погорелова, www.mto.ru/katal/index.html (сайт РЦ ЭМТО).
13. Домкина Г., Лаптева Т. В одной задаче – почти вся планиметрия/ Математика в школе. – 1983. - №6. – 34-36 с.
14. Емельянов А.Е. Универсальная геометрия в природе и архитектуре. (Симметрия, гармония, абсолютные системы отсчета). Донбасс, 1990.
15. Зайкин М.И. От задач к заданию – в глубину познания.
16. Зильберберг Н. Л. Урок математики: подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1995. – 178 с.
17. Ларькина Е. В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии: Автореф. дис. канд. пед. наук. - М., 1996. -17 с.
18. Рассудовская М. М. Домашние задания творческого характера // Математика в школе. – 1984. - №5. - 28-30 с.
19. Маркова А К. Психология труда учителя. Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1993. - 192 с.
20. Муравин Г. К. Исследовательские работы в школьном курсе алгебры // Математика в школе. - 1990. - № 1. - С. 43-44.
21. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в шкопе. - М. Просвещение, 1977. - 240 с,
22. Столяр А. А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ. – мат. фак. пед. А. А. Столяр 3-е изд., перераб. и доп, - Минск: Высшей шк., 1986. – 413 с
23. Окунев А. А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся: Кн, для учителя: из опыта работы. – М.: Просвещение, 1988. – 128 с.
24. Охтеменко О. В. Исследовательские задания как средства познавательного интереса и развития учащихся на уроках геометрии в основной школе: Автореф пед. наук. - М., 2003. - 18 с.