Динамические чертежи

Таким образом, анализ этапов исследований позволяет сделать вывод, что обязательными из них являются четыре (рисунок 2), которые и образуют основную структуру учебного исследования:

1) постановка проблемы;

2) выдвижение гипотезы;

3) проверка гипотезы;

4) вывод.

 

Рисунок 2. Структура учебного исследования

 

При более детальном анализе структуры учебного исследования можно выделить и такие его этапы, как:

1) мотивация учебной  деятельности;

2) постановка проблемы  исследования;

3) анализ имеющейся информации  по рассматриваемому вопросу:

4) экспериментирование (проведение  измерений, испытаний, проб и т. д.) с целью получения фактического материала;

5) систематизация и анализ  полученного фактического материала;

6) выдвижение гипотезы;

7) подтверждение или  опровержение гипотез:

8) доказательство гипотез.

Очевидно, что различные виды исследований имеют свои особенности, поэтому для каждого из них характерно свое сочетание названных этапов. В контексте нашего исследования немаловажным является рассмотрение вопроса о видах учебных исследований.

Приведем различные подходы ученых. В зависимости от способа выдвижения гипотезы Е. В. Баранова [5] выделяет следующие виды учебных исследований: интуитивно-опытные; опытно-индуктивные; индуктивные; дедуктивные. О. В. Охтеменко [24] выделяет три вида учебных исследований: урок-исследование, мини-исследование, исследовательский комплекс.

«Урок-исследование» - это исследовательское задание, в выполнении которого заняты все учащееся класса, рассчитанное на целый урок и содержащее все или большинство исследовательских компонентов; его выполнение является обязательным для всех учащихся.

«Мини-исследование» выполняется всеми или большинством учащихся, предлагается в качестве домашнего задания, включает лишь отдельные исследовательские компоненты; по усмотрению учителя его выполнение является обязательным или добровольным.

«Исследовательский комплекс» выполняется отдельными учащимися исключительно добровольно: задания может быть предложено как продолжительное домашнее задание, содержит все или большинство исследовательских компонентов.

Раздел 2. Возможности учебных исследований

на динамических чертежах

 

2.1. Содержание динамических чертежей

 

Динамические чертежи – это компьютерные геометрические чертежи-модели, исходные данные которых можно варьировать с сохранением всего алгоритма построения, т.е. один чертеж позволяет работать с целым семейством однородных конфигураций. Программы, с помощью которых создаются такие модели, называют программами динамической геометрии или «интерактивными геометрическими системами» (ИГС). В настоящее время их насчитывается более полутора десятков, одной из первых и наиболее распространенных является The Geometer's Sketchpad (в русских версиях – «Живая Геометрия» и «Живая Математика»).

Кроме элементарных чертежных инструментов – виртуальных циркуля и линейки, ИГС дают пользователю возможность быстрого выполнения таких простейших построений, как проведение перпендикуляров и параллелей к данным прямым, нахождение середин отрезков, и более сложных – геометрических преобразований, построений в координатах. Как правило, базовый инструментарий ИГС включает и команды построения однопараметрических семейств объектов, в частности геометрических мест точек. Набор команд можно расширять, создавая собственные макросы. Большинство ИГС позволяют вставлять в чертежи текстовые комментарии, а некоторые предоставляют средства для создания своего рода математических презентаций. Обобщая опыт применения богатого инструментария ИГС (см., в частности, [11]), в этой заметке мы попробовали дать классификацию динамических чертежей с точки зрения их роли и путей использования в учебном процессе.

Прежде всего, можно выделить три основных «ипостаси» динамических чертежей:

1) иллюстрации (и презентации) фактов и рассуждений;

2) виртуальная лаборатория, своего рода «установка», позволяющая проводить математические эксперименты, исследовать заданные математические ситуации;

3) инструментальная оболочка для выполнения заданий на конструирование.

Для каждого из этих видов чертежей можно указать несколько «подвидов»; они описаны ниже.

1.Чертежи иллюстративного  характера.

Иллюстрации к определениям, фактам, условиям задач. Это простейший тип чертежей, аналогичный рисункам в учебнике, но отличающийся более высоким качеством, а главное, возможностью увидеть на одном чертеже целый класс фигур. Современные программы позволяют показывать не только плоские конфигурации, но и пространственные фигуры с трехмерными эффектами – невидимыми гранями, вращением и т.п., а также модели физических объектов и явлений - шарнирные механизмы, оптические системы и др.

Иллюстрации к задачам с визуальными подсказками. Поиск решения подлинно содержательной, красивой геометрической задачи требует умения анализировать чертеж, находить связи между его элементами, вносить в чертеж новые элементы – дополнительные построения, которые выявляют такие связи. (Именно в этом, а не в сообщаемом учащимся наборе сведений автору видится основная ценность элементарной геометрии в современной школе.) Динамические чертежи открывают новые возможности для развития этих умений. Инструментарий современных программ позволяет закладывать в рисунок спрятанные подсказки, которые можно вызвать, нажав соответствующую виртуальную кнопку. Такой подсказкой может быть как возникающее на картинке дополнительное построение, так и выделение равных или подобных фигур, показ значений тех или иных величин, анимированное преобразование фигуры и др. Особенно важно, что такие подсказки носят невербальный характер, т.е. учащийся должен еще понять, что ему показали и как этим воспользоваться. Тем самым развивается геометрическое воображение, интуиция, умение воспринимать разные формы представления информации.

Пошаговые демонстрации рассуждений. На таких чертежах имеется последовательность кнопок, раскрывающая доказательства, построение или ход вычисления шаг за шагом и сопровождающая их текстовыми комментариями. При этом пользователь может (или даже должен) производить с чертежом некоторые действия. Чертежи этого типа могут заменять фрагменты учебника, и особенно полезны при самоподготовке.

Задания с проверкой ответа. Аналитический аппарат некоторых ИГС позволяет создавать внутри чертежа окна для ввода числовых ответов и проверять их средствами самой системы. Такие окна можно вставлять в пошаговые демонстрации, существенно активизируя работу учеников.

2.Задания на эксперимент  и исследование. В заданиях этого  типа ученикам предъявляется  законченная модель, некоторые элементы  которой можно перемещать (как  правило, не выполняя новых построений).

«Сделать геометрическое открытие». Варьируя чертеж, учащиеся обнаруживают закономерности в поведении фигуры (например, инвариантные величины), на основе чего формулируются теоремы или выделяются некоторые классы объектов и, далее, даются их определения.

«Черный ящик». Наблюдая за изменениями одних элементов чертежа при перемещении других элементов, учащиеся должны разгадать скрытый связывающий их «механизм». Пример: дана (подвижная) фигура и ее образ при некотором движении; требуется указать вид движения и его параметры.

Экстремальные задачи. Задачи на максимум и минимум, решаемые экспериментально. Интересна разновидность этих заданий, в которой на одной странице находятся рассматриваемая геометрическая фигура и график исследуемой геометрической величины. Такие модели устанавливают прямую и наглядную связь между геометрией и алгеброй.

Линии уровня. В некоторых ИГС имеется возможность параметрического форматирования объектов, которое в частности, позволяет закрашивать точки плоскости цветом, зависящим от их координат. Таким образом, нетрудно получить, например, карту линий уровня заданной функции. Это открывает широкие возможности для постановки и выполнения оригинальных экспериментальных заданий, связанных с геометрическими местами точек, рассматриваемых как задачи о линиях уровня, экстремальных задач.

3.Задания на конструирование. В этих заданиях учащиеся строят  фигуры, пользуясь инструментарием  виртуальной геометрической лаборатории.

Задачи на построение. По формулировке это обычные задачи на «евклидовы построения», но компьютерная специфика придает им новые качества. Прежде всего, построение должно быть проведено от начала до конца и абсолютно точно. Это вырабатывает правильное понимание того, что значит «решить задачу на построение», а заодно и понимание того, что такое алгоритм. Далее, на готовом построении можно провести экспериментальное исследование, варьируя данные (отметим, что при работе «с карандашом и бумагой» исследование в задачах на построение нередко игнорируется). Вариация данных обеспечивает и (само)контроль решения. Обычно компьютерное задание на построение представляет собой комплект, в который, кроме чертежа с условием и данными, входит и чертеж с решением, часто без словесных пояснений, которые должны восстановить учащиеся (см., например, раздел, посвященный геометрическим построениям, в [12]). Такие «комплекты» обеспечивают уровневую дифференциацию при работе с одной и той же задачей.

Задачи на построение с автоматической проверкой. По своему первоначальному замыслу ИГС создавались как открытые среды, рассчитанные на работу с открытыми заданиями. Поэтому в большинстве ИГС автоматическая проверка правильности построений не предусмотрена; среди наиболее распространенных ИГС исключение составляет лишь программа Cinderella. Однако с учетом традиций нашей школы процедура автоматической проверки безусловно полезна, и приходится создавать специальные инструменты для этого – на каждом чертеже отдельно.

Построения со специальными наборами инструментов. Изменяя набор применяемых инструментов, из одной и той же задачи можно сделать несколько задач совершенно разного геометрического содержания. Например, задача из стандартного учебника «построить точку, симметричную данной относительно середины данного отрезка» при решении циркулем и линейкой служит просто для усвоения понятия центральной симметрии, но если разрешить пользоваться только линейкой и инструментом для проведения параллельных или только циркулем, она приобретает новый, более интересный смысл, активизирует владение определением и свойствами параллелограмма и может послужить «затравкой» для проектной работы о построениях ограниченными средствами.

Построение геометрических мест точек. В обычных задачах на ГМТ требуется не столько «построить», сколько «найти» задаваемое указанным условием ГМТ. В их компьютерном варианте используется команда рисования «следа» точки, движущейся на экране; при этом геометрическое место именно строится. Точнее, строится его произвольная точка, описывающая искомую кривую при изменении определяющей ее положение на ГМТ «ведущей точки». Опыт работы с заданиями этого типа позволил сделать любопытное наблюдение: учащиеся, научившиеся строить ГМТ на компьютере, начинают применять, и с успехом, те же приемы при решении аналогичных задач на бумаге. В заданиях этого типа могут рассматриваться не только «элементарные ГМТ» (прямые и окружности), но и более сложные кривые: коники, заданные различными геометрическими условиями, циклоиды и т.д., а также семейства прямых, окружностей и других фигур.

Построения на шаблонах. Наиболее яркий пример этого вида заданий – задачи на построение сечений, выполняемые на «вращающихся» моделях геометрических тел.

Построение моделей. Каждую модель-иллюстрацию или модель для исследования, о которых говорилось в пп. 1) и 2), можно рассматривать как объект самостоятельного конструирования «с чистого листа». При этом может и должен применяться весь спектр функциональных возможностей системы: всевозможные инструменты для построений, команды форматирования, кнопки управления презентациями. Этот вид деятельности может использоваться при работе над проектными заданиями, для подготовки печатных отчетов по ним и т.п.

Разнообразие типов динамических чертежей и основанных на них заданий, возможность уровневой дифференциации открывают широкие перспективы внедрения ИГС в учебный процесс, качественного обновления методики преподавания геометрии.

Динамические чертежи могут служить инструментальной средой для исследовательской работы учащихся на уроке (или дома) «с чистого листа». При этом перед учениками ставятся проблемы, задачи построения и исследования определенных объектов, в ходе решения которых и должны достигаться те или иные учебные цели.

Использование динамической среды в таком качестве отвечает самым современным педагогическим концепциям. Однако, это предполагает качественную перестройку учебного процесса, в том числе подготовку новых учебников и пособий, рассчитанных на проектную, поисковую деятельность учащихся, переподготовку учителей.

Для образовательных учреждений, имеющих государственную аккредитацию, по условиям лицензионного соглашения допускается установка и одновременное использование одного приобретенного комплекта ИГС на нескольких компьютерах образовательного учреждения.

ИГС может использоваться для создания конкретных моделей-заданий, содержащих объяснение материала, заготовки геометрических объектов, тексты с условиями и чертежи с данными, пошаговые планы построений и т.п. информацию. После чего ученики работают не с ИГС как таковой, а с этими готовыми моделями.

Динамическая среда позволяет создавать анимированные и интерактивные объекты и использовать их в учебном процессе даже при отсутствии интерактивной доски. Обширные функциональные возможности позволяют использовать динамическую среду как виртуальную лабораторию для демонстрации динамических моделей и для самостоятельной работы учащихся по их созданию и исследованию.

Динамические чертежи разделить на три типа в соответствии с характером деятельности учащихся при работе с ними.

• Чертежи-иллюстрации (и презентации) фактов и рассуждений. Такого рода чертежи, прежде всего, используются при объяснении материала учителем; при этом ученики по отношению к ним выступают, в основном, пассивными потребителями информации. В данном случае преимущества ИГС перед, например, обычными графическими редакторами заключаются в удобстве инструментария, специально предназначенного для создания и демонстрации геометрических конструкций. Весьма важно и то, что один динамический чертеж фактически представляет собой целое семейство однотипных конфигураций. На рисунке 3. показана иллюстрация к теореме Фейербаха об окружности девяти точек в «развернутом виде», выполненная с помощью МК (при ее демонстрации элементы конструкции и текст появляются по шагам, что позволяет проследить за построением и акцентировать внимание на свойствах фигуры).