Техническая механника

 

 

Момент инерции сечения относительно оси, не проходящей через его центр тяжести равен сумме момента инерции относительно оси х₀ и у₀ и произведению площади фигуры на квадрат расстояния между осями. 

x, y – оси, не проходящие через центр тяжести;

Xo, Yo – оси, проходящие через центр тяжести площади;

а – расстояние между осями.

   Ix_o – осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести. Он называется центральным моментом инерции. Центральные моменты инерции относительно оси Хо и Yо для стандартных прокатов задаются в таблицах.

Iyo- определяется аналогичным образом, только расстояние между осями Y и Yo   

Кроме осевых моментов инерции в таблицах нормального сортамента приводятся величины радиусов инерции, которые служат важной характеристикой сечения при расчетах на устойчивость.

 

Задача. Определить X_c Y_c S_x S_y.

 

с₁(х₁=0 у₁=10) A1 = 240см²   

с₂(х₂=0 у=3) A₂ =1/2 ∙ 6 ∙ 6 = 18см²

S_x = A₁y₁ - A₂y₂ = 2346см³

S_y = A₁x₁ - A₂x₂ = 0

 

 

Центр тяжести площади  т.С (Хс=0;Ус=10,5см)

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8.5   Определение центра тяжести площади, выполненной из профилей стандартных прокатов.

 

 

ДВ №40

h = 10см   b = 4,6см

A =12см²

 

 

 

 

 

 

ШВ №12

 

Z₀ = 1,54см

 

 

 

      

 

 

 

5 х 50 х 4

 

 

 

 

 

 

Задача. Определить статические моменты площади и координаты центра тяжести сложного сечения, выполненного из швеллера №18 и двутавра №20.

ШВ №18

А_шв = А₁ = 20,7см²

h₁ =18см Z₀ = 1,94см

 

ДВ №20

А_дв = А₂ = 26,8см²

h₂ = 20см

 

C₁ (x=0 y=h₂/2 + z₀ = 10 + 1.94 = 11,94).

С₂ (x₂=0 y₂=0)

 

 

 

 

 

 

 

    Задача. Определить осевые моменты инерции сложного сечения, выполненного из  двутавра №12 и швеллера №10, относительно оси x и y.

Определить I_x I_y, x_c y_c.  

Из таблиц сортамента

ДВ №12                      ШВ №10

А₁ = 14,7см²              А₂ = 10,9см²

h₁ = 12см                   h₂ = 10см

I_xo1 = 350см⁴              I_xo2 = 174см⁴

I_yo1 = 27,9см⁴             I_yo2 = 20,4см⁴

                                    Z₀ = 1,44см

 

Определяем центр тяжести  сложного сечения, для этого находим  координаты точек с₁ с₂ в данных осях координатах x и y.

С₁(х₁=0; y₁=7,44cм)

С₂(x₂=0; y₂=0)

Сделаем подстановку в основные уравнения

Определяем моменты  инерции относительно I_x I_y

I_y = I_y1 + I_y2 = 27,9 + 174 = 201,9см⁴, т. к.

I_y1 = I_yo1 + A₁ ∙ b²₁ = 27,9 + 14,7 ∙ 0 = 27,9см⁴

I_y2 = I_yo2 + A₂ ∙ b²₂ = 174 + 10,9 ∙ 0 = 174см⁴

I_x = I_x1 + I_x2 = 1135,5 + 20,4 = 1155,9см⁴

Ix₁ = I_xo1 + A₁ ∙ a²₁ = 350 + 14,7 ∙ 7,44² = 1163,7см⁴;

Ix₂ = I_xo2 + A₂ ∙ a²₂ = 20,4 + 10,9 ∙ 0 = 20,4см⁴

Раздел II Сопротивление материалов

Тема  2.1 Виды деформаций

Все существующие деформации делятся  на 2 группы:

• по виду материала
• по приложению нагрузки

По виду материала деформации бывают упругие и пластичные.

По приложению нагрузки существует 5 видов деформации:

1. Деформация растяжения и сжатия – сила приложена вдоль оси;

2. Деформация среза или сдвига – сила приложена перпендикулярно оси, при этом верхние слои конструкции сдвигаются относительно нижних слоев, этот вид деформации рассматривается в заклепочных и сварных соединениях;

3. Деформация кручения возникает под действием пары сил, плоскость которой перпендикулярна оси;

4. Деформация поперечного изгиба – сила приложена перпендикулярно оси;

5. Деформация продольного изгиба – сила приложена вдоль оси и может вызвать нарушение равновесия в конструкции.

 

Тема  2.2  Основные допущения и гипотезы в сопромате

1. Перемещения, возникающие в упругих телах под действием внешних сил, очень малы по сравнению с размерами рассматриваемых элементов. Это допущение позволяет не учитывать изменение размеров тел при деформации и связанного с этим изменения в расположении сил.

Перемещение точек упругого тела прямо-пропорциональны действующим нагрузкам

2. Элементы и конструкции, подчиненные  этому допущению называются линейно-деформируемыми.

Пример прямо-пропорциональной зависимости между нагрузками и перемещениями.

 

 

 

 

 

 

 

            а)                                    б)

 

Под действием F точка А стержня, изображенного на рис. переместится на f, а под действием 3F перемещение этой точки будет в 3 раза больше.

3. Принцип независимости действия  сил.

К телу приложена система сил  F₁ F₂ F₃. Под действием их тело деформируется и точка К перемещается в К₁. Все 3 силы могут быть приложены одновременно и поочередно. Независимо от этого прогиб в точке К будет одинаковым и равен сумме прогибов от каждой F.

 

 

   

        

4. В упругом теле силу нельзя переносить по линии ее действия. Нельзя заменять систему сил их равнодействующей.

 

          Тема  2.3. Метод сечений

Метод сечений – основной метод  в сопромате, с помощью которого определяются внутренние силовые факторы (ВСФ).

 

 

 

 

Р – рассекаем

О – отбрасываем

З – заменяем

У – составляем уравнение равновесия

N (Н) – продольная сила рассматривается при деформации растяжения и сжатия.

Q (H) – поперечная сила – деформация поперечного изгиба

М_и (H*M) – изгибающий момент – деформация поперечного изгиба

М_к (H*M) – крутящий момент – деформация кручения

 

Тема  2.4 Виды напряжений.

 Напряжение = =  =1Па

ВСФ – внутренний силовой  фактор

ГХС – геометрическая характеристика сечения

Напряжение – это  величина, которая характеризует  распределение внутреннего силового фактора по сечению конструкции.

 

 

1 МПа = 1 = = 1   

Все напряжения делятся  на 2 группы:

I Напряжения по направлению:

1. σ (сигма) – нормальное напряжение – направлено перпендикулярно сечению,рассматривается в деформации растяжения, сжатия, изгибов (продольных, поперечных)

 

 

2. t (тay)- касательное напряжение – направлено по касательной к сечению, рассматривается в деформации кручения, сдвига и сложном виде деформации.

3. (po) – общее напряжение, находится по теореме Пифагора

 

II. Напряжения по величине

1. Рабочее напряжение – напряжение, которое возникает внутри конструкции под действием приложенных сил.

 

 

 

2. Допустимое напряжение – напряжение, которое определяется по диаграмме испытания материалов и при котором конструкция работает долговечно. Величина рабочего напряжения должна быть меньше допустимого(табличного).

[ ]-допустимое нормальное напряжение

[ ]-допустимое касательное напряжение

3.Предельное напряжение – напряжение, при котором конструкция разрушается.

 - предельное нормальное напряжение

 - предельное касательное напряжение

 

 

 

 

 

 

Тема 2.5   Деформация растяжения и сжатия.

        2.5 .1     Модуль упругости. Закон Гука

 

 

 

 

l-первоначальная длина

l₁-конечная длина после растяжения                                          закон Гука

Δl=l₁-l – абсолютное удаление

- относительное удлинение, продольная деформация

Е (МПа)  - модуль упругости 1-ого  рода – характеризует свойство материала. Чем тверже материал, тем выше модуль упругости.

Сталь величина Е = 1,9 ÷ 2,2 МПа

Чугун  величина Е = 0,9 ÷ 1,6 МПа

 

Формулировка закона Гука – нормальное напряжение прямо-пропорционально относительному удлинению. Закон Гука может быть представлен графически.

                             σ_пц- напряжение пропорциональности, до достижения 

                                             которого выполняется закон Гука

 

 

 

Закон Гука справедлив до определенного значения напряжения, которое зависит от материалов.

                                

А*Е - жесткость конструкции

При растяжении и сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. Поперечный размер = а, уменьшится до а₁. Изменение первоначального размера ∆ а = а – а₁, а поперечная деформация ε_┴ равна

ε_┴ = ∆а/а

Отношение поперечной деформации ε_┴ к продольной деформации ε при растяжении (сжатии) для данного материала величина постоянная. Обозначив абсолютное значение данного отношения μ, получим

  - коэффициент поперечной деформации  или

 коэффициент Пуассона

 

      Продольная и поперечная деформация всегда противоположны по знаку. При растяжении продольный размер увеличивается, а поперечный размер уменьшается. При сжатии наоборот.

μ – коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона.

Сталь 0,24 – 0,32     Бронза 0,32 - 0,35

Медь 0,31 – 0,35      Резина 0,47

 

2.5.2 Построение эпюр продольных сил. (N)

Эпюра – графическое изображение  каких – либо величин по длине  конструкции в соответствующем масштабе.

Методика построения эпюр:

1. Разбиваем тело на участки  по точкам приложения сил и  по длине. 

2. Выбираем базовую ось (БО), которая  располагается параллельно оси тела.

3. С помощью метода сечений  на каждом участке определяем  величину внутренних силовых  факторов.

4. Строим эпюру.

При деформации растяжения продольная сила N положительна

При деформации сжатия продольная сила N отрицательна

 

 

Задача. Построить эпюру продольных сил.

                                                                I Участок

 

 

II Участок

 

 

 

III Участок

 

 

 

Задача. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Эпюра σ -  для каждого участка с учетом изменения сечения конструкции.

 

 

 

 

                                                              I Участок

 

 

                                                           

 

 

II Участок

III Участок

 

VI  Участок

 

3. Расчет на прочность при деформации растяжения и сжатия.

Условие прочности  при деформации растяжения или сжатия

На основании данного  условия прочности решаются 3 задачи:

1. Проверочный расчет. Надо определить σ_раб

Проверочный расчет –  рабочий расчет.

2. Проектный расчет. Определяются размеры конструкций. В нашей формуле они характеризуются площадью А.

3. Определение допустимой нагрузки. Определяются N – внутренние силы.

В каждом из расчетов должен быть известен материал конструкции, а значит допустимое нормальное напряжение.

2.5.4 Диаграмма испытания материалов