Техническая механника

б) α = 90⁰, cos 90⁰ = 0, F_x = 0

 

Рис.21

 

в) α = 180⁰, cos 180⁰= - 1          Знак – показывает, что направление проекции не совпадает с направлением оси координат.    F_x = -F

F_x = -F

 

Рис.22

Задача. Определить проекции всех сил на оси координат:

 

Для решения задач приближенно принимаем значение косинусов:

 

 

 

 

Рис.23

 

Дано: F₁ = 10 H, α = 30⁰

F_1x = F₁ * cos 30⁰ = 10 * 0.89 = 8.9 H

F_1y = F₁ * cos 60⁰ = 10 * 0.5 = 5 H

Дано: F₂ = 20 H, α = 90⁰

F_2x = F₂ * cos 90⁰ = 0

F_2y = F₂ * cos 0⁰ = 20 H

Дано: F₃ = 5 H, α = 0⁰

F_3x = -F₃ * cos 0⁰ = -5 H

F_3y = F₃ * cos 90⁰= 0

Дано: F₄ = 30 H, α = 45⁰

F_4x = F₄ * cos 45⁰ = 30 * 0.7 = 21 H

F_4y = -F₄ * cos 45⁰ = -21 H

 

 

 

1.5.5 Проекция равнодействующей на ось координат

∆ABCDE – силовой многоугольник для системы сходящихся сил F₁ F₂ F₃ F₄

R  - равнодействующая

 

 

 

 

 

Рис.24

Отсюда следует, что    

Аналогично на ось Y   

Вывод: Проекция равнодействующей плоской системы сходящихся сил на ось координат равна алгебраической сумме проекций всех сил на эту же ось координат.

 

1.5.6 Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

Если R = 0, то система находится в равновесии. Расположим равнодействующую системы сходящихся сил в осях координат.

 

 

 

 

Плоская система сходящихся сил

            Рис.25                    Рис.26

 

Если R = 0, то значит R х = 0 и R_у = 0. Из данного условия записываем уравнение равновесие плоской системы сходящихся сил.

        или      

 

Формулировка: если система сходящихся сил находится в равновесии, то алгебраическая сумма проекций всех сил на ось х и ось у равна нулю.

 Задача. Определить

 

 

 

 

 

 

Рис.24

Ответ:

 

1.5.7 Методика решения задач плоской системы сходящихся сил

1. Число неизвестных в данных задачах не превышает двух.
2. Рассматриваем точку, находящуюся в равновесии.
3. Определяем наличие активных тел.
4. Освобождаемся от связей и заменяем их реакциями.
5. Выбираем оси координат и располагаем в этих осях имеющиеся активные и реактивные силы.
6. Решаем уравнения равновесия относительно неизвестных.
7. Выполняем проверку.

 

 

 

 

 

Задача. Определить реакции, возникающие в гибких связях. Сила F – активная сила. R₁ и R₂ – реактивные силы.

 

 

 

 

 

Рис.25     Рис.26

 

силы
R1
R2
F

 

 

 

 

Делаем подстановку R₂ в первое уравнение

 

Ответ:  R₁=10,2 H      R₂=14,3 H

 

 

 

 

 

Задача.  Определить реакции связи

 

 

 

 

                                      Рис.27                                                    Рис.28

 

 

силы
R1
R2
F1	0	-
F2		0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: R₁=21,4 H      R₂=35,7 H

 

Задача. Определить реакции гладкой поверхности под воздействием шара силой тяжести   F1=10Н.

 

 

 

Рис.29   

Рис.30

силы
R1
R2
F1	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: R₁=4,7 H      R₂=8,46 H

 

Тема 1.6 Плоская система произвольно – расположенных сил

         1.6.1 Момент силы относительно точки

 

 

 

 

 

Рис.31

Момент –способность силы создавать вращение (М).

                                                                          а – плечо

 

Единица измерения М [ Н * м]   1кНм = 10³ Нм

    1мНм = 10⁶ Нм

Момент силы относительно точки равен произведению силы на перпендикуляр, опущенный из точки вращения на линию действия силы.

а – плечо, перпендикуляр или кратчайшее расстояние между точкой вращения и линией действия силы.

 

Если вращение тела происходит по часовой стрелке, то момент положительный.

 

 

 

 

 

 

Момент отрицательный, если вращение тела против часовой стрелки.

 

 

 

 

 

Рис.32

М_о (F₁) = 0, М₀ (F₂) = 0

 

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через точку вращения, т.к. плеча равно нулю, нет вращения.

 

 

 

 

 

 

Рис.33

 

Задача. Определить моменты силы F₁, F₂, F₃  относительно точек А, В, С.

 

 

1.6.2 Пара сил. Свойства пары сил

Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил.

 

 

 

 

F=F'     Рис.35   F=F'

 

Сумма проекций пары сил на ось  х и на ось у равна нулю, поэтому  пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это, тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда   М = Fа = F^’а.

Плечо пары – это кратчайшее расстояние между линиями действия сил, поэтому момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

 

 

Эквивалентность пар

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, то есть не нарушается его равновесие или не изменяется движение тела.

Пару сил можно переносить в  плоскости ее действия в любое  положение

Эквивалентные пары

 

 

 

 

Задача. Определить момент пары сил М(F₁ F₁¹)

 

 

 

Задача. Определить моменты сил относительно точек А, В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.3 Приведение силы к точке

В точке А приложена сила F₁, в точке О приложим взаимно-уравновешивающие силы F₂ и F₃.

Все силы равны. F₁ = F₂ = F₃

 

 

 

 

 

 

Рис.36

 

Полученную систему сил F₁ F₂ F₃ можно рассмотреть:

1. Сила F₁ перенесена в точку О. (это сила F₂)

2. К данному телу приложена  пара сил F₁ F₃, которая уравновешивает перенос силы F₁.

3.F₁ F₃ – присоединенная пара сил.

 

Момент присоединенной пары F₁ F₃

определяется М(F₁ F₃)= - F₁∙ a

Моменты силы F₁ относительно точки 0 определяется М₀(F₁)= - F₁∙ a

а-плечо присоединенной пары и плечо  для определения момента силы F1относительно точки О.

Вывод: При приведении силы к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система сил, состоящая из силы, приложенной в точке приведения (т. О) и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту силы, относительно точки приведения. 

 

 

 

1.6.4 Приведение системы сил к точке

Приведение плоской системы произвольно-расположенных сил к точке. При приведении сил к точке О получилась система сходящихся сил F₁^’ F₂^’ F₃^’ и три присоединенных пары

 

 

 

 

Рис. 37

 

Вводятся обозначения:

 R_гл – главный вектор системы, который равен равнодействующей системы сходящихся сил, определенный по правилу силового многоугольника.

          М_гл – главный момент системы, величина которого равна сумме моментов всех сил относительно точки приведения 0.

Заключение: Если система произвольно-расположенных сил находится в равновесии, то     

 

1.6.5 Условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно- расположенных сил.

При приведении системы сил к точке получается R_гл и М_гл.

Если система сил находится  в равновесии, то R_гл = 0, М_гл = 0.

Запишем три вида уравнений равновесия для данной системы.

Первый вид

Если система находится в  равновесии, то сумма проекций всех сил на ось х  и ось у равна  нулю, а также сумма моментов всех сил относительно какой – либо точки равна нулю.

Второй вид

Третий вид

 

1.6.6 Методика решения задач плоской системы произвольно -расположенных сил.

1. Освобождаемся от связей и заменяем их реакциями.
2. Выбираем оси координат и определяем точки вращения
3. Составляем таблицу проекций сил на ось координат и моментов сил относительно какой-либо точки.
4. На основании таблицы составляем уравнения равновесия и решаем относительно неизвестных.
5. Выполняем проверку по дополнительному уравнению.

 

Задача. Определить реакции в опорах R_А и  R_В с учетом внешних активных сил.

Силы
RА	0	6RA	RA
RBY	-6RBY	0	RBY
F1	2F1	-4F1	-F1
F2	-4F2	2F2	F2

    R_BX =0 т.к. все силы располагаются параллельно балке R_B =R_BY

Составляем уравнение по II-ому виду

   

Проверочное уравнение

-6R_BY+16-8=0  6R_A-32+4=0

-6R_BY=-8   6R_A=28

R_BY =  1,3 кН  R_A =  4,7 кН             Проверка:  4,7+1,3-8+2=0

Задача. Определить реакции в опорах с учетом внешнего момента

 

 

Рис. 38

 

m – внешний момент, который приложен к балке под действием пары сил или какой-то силы. Этот момент является активной нагрузкой. При составлении уравнений следует помнить, что на ось координат момент не проецируется, а знак момента рассматривают в плоскости действия момента; момент  на расстояние не умножается.

 

Силы
RА	0	5RA	RA
RB	-5RB	0	+RB
F1	F	-4F	-F
m	-m	-m	-