Техническая механника

    

 

      

 

Задача. Определить реакции в опорах с учетом равномерно-распределенной нагрузки

 

 

 

 

 

          Рис. 39

Q=10·2=20Н

 

 

Равномерно-распределенная нагрузка

 

 

 

q – интенсивность погрузки 

                 l – длина нагрузки в метрах

     Q[Н] – сосредоточенная сила

Силы
RА	0	5RA	RA
RB	-5RB	0	RB
Q	Q1	-4Q	-Q
F1	-3F	2∙F1	F1
m	-m	-m	-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

          

- проверка

 

7. Решение задач для консольной балки с жестким защемлением

 

F₁, F₂, F₃ – активные силы

М_А – реактивный момент

R_X – горизонтальная составляющая реакции

R_Y – вертикальная составляющая реакции

 

 

Задача. Определить реакции заделки консольной балки

Силы
RХ	0	0	-RX	0
RY	0	3RY	0	RY
MA	-MA	-MA	-	-
Q	6Q	3Q	0	-Q
F	3Fsin600	0	Fcos600	-Fcos300

 

 

 

        Рис. 40

Q=4*2=8 H

                

                    - проверочное уравнение

 

Тема 1.7 Пространственная система сил

1.7.1 Момент силы относительно оси.

 

 

 

                        Рис 41                                                                                

                                                                                                   Рис 42

Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси. Сила F₁ (рис.41), линия действия которой пересекает ось ОZ и сила F₂, параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси, то есть не дают момента.

Пусть на тело в какой – то точке (рис. 42) действует сила . Проведем плоскость Н перпендикулярно оси ОZ и проходящую через начало вектора силы. Разложим силу на две составляющих: ₁ в плоскости Н и ₂ параллельно оси O_z . Составляющая ₂ параллельна оси ОZ, момента относительно этой оси не создает. ₁ действующая в плоскости Н, создает момент относительно оси ОZ или, что то же самое, относительно точки О. Момент ₁ измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление этой силы, то есть М( ₁) = F₁а.

Знак момента определяется по направлению вращения вектора силы относительно оси координат.На рис. 41 момент относительно оси ОZ положителен, так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху), тело под действием силы вращается по часовой стрелке.

Следовательно, для определения  момента силы относительно оси, нужно  спроецировать силу на плоскость перпендикулярную оси и найти момент проекции силы относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

 

1.7.2 Уравнения равновесия пространственной системы произвольно - расположенных сил.

Для решения данной системы составляется шесть уравнений равновесия.

Если пространственная система находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на оси координат равна нулю, а также суммы моментов сил, относительно осей координат равны нулю.

Момент силы, относительно оси равен 0:

1. если сила расположена параллельно оси;
2. если вектор силы или ее линия действия пересекает ось;

         Знак момента определяется по часовой стрелке, но необходимо смотреть со стороны направления оси координат (сверху).

 

 

 

 

 

Тема 1.8 Плоская система параллельных сил

1.8.1 Параллельные силы и центр параллельных сил.

 

 

 

 

 

F₁ F₂ F₃ – система параллельных сил

С₁ С₂ С₃ – точки приложения этих сил.

R – равнодействующая, С – центр параллельных сил ( точка приложения равнодействующей)

Для данной системы существует аксиома: если все силы повернуть на угол α, то R так же повернется на угол α, центр параллельных сил своего положения не изменит.

Данное правило применяем для определения центра параллельных силпредварительно рассмотрев теорему Вариньона.

Теорема Вариньона

Момент равнодействующей системы  параллельных сил относительно какой – либо точки равен сумме моментов всех сил относительно этой же точки.

 

Вывод формулы  определения координат центра параллельных сил.

 

 

С-точка приложения равнодействующей

С₁ С₂ С₃ -  точки приложения сил

Х₁ Х₂ Х₃ – координаты точек С₁ С₂ С₃

Х_С – координат центра параллельных сил.

Применяя аксиому параллельных сил, повернем все силы на угол α параллельно оси У, сохраняя их параллельность.

Применяя теорему Вариньона, запишем следующее уравнение относительно точки О.

Таким же образом выводим уравнение для координаты Yc.

 

-уравнения для определения  координат центра            параллельных сил 

 

1.8.2 Центр тяжести площади

 

 

 

 

 

 

А_{i –} элементарная площадь

С_i – центр тяжести элементарной площади

х_i у_i – координаты центра тяжести площади А_i

В каждой элементарной площади можно провести силу тяжести F_тяж и всю систему рассматривать, как систему параллельных сил, а в уравнениях для х_с и у_с силы заменить на F_тяж.

Получим

В данных формулах заменим  F_тяж следующими произведениями.

После подстановки и  преобразований получим

X_c и Y_c – координаты центра тяжести сложной плоской фигуры

 

1.8.3 Методика решения задач по определению координат центра тяжести площади.

Для решения задач плоской системы  параллельных сил и определения координат центра тяжести плоской фигуры сложной конфигурации применяем следующую методику:

1. Сложную фигуру разбиваем на элементарные площади.
2. В каждой элементарной площади определяем центр тяжести
3. Выбираем оси координат
4. Относительно этих осей координат определяем координаты центра тяжести каждой элементарной площади
5. Составив уравнения, решаем задачу по определению центра тяжести сложной фигуры.

6.При решении задач  необходимо помнить, если фигура  имеет вырез, то в уравнениях  для X_c Y_c S_x S_y   площадь выреза ставится со знаком «-»

 

Задача. Определить центр тяжести площади сложной фигуры (X_c  Y_c)

 

 

 

 

Центр тяжести площади фигуры т. C (x_c = 3; y_c=7 )

1.8.4  Геометрические  характеристики сечений.

 

          1. Статические моменты площадей

 

 

 

 

 

 

 

 

S_x [м³] – статический момент площади относительно оси х.

S_у [м³] – статический момент площади относительно оси у.

S_ix  – статический момент элементарной площади, величина которого определяется как произведение элементарной площади  на расстояние от её центра тяжести до данной оси.

S_ix = A_i ∙ y_i

S_iy = A_i ∙ х_i

 

Сумма статических моментов всех элементарных площадей составляет   статический момент самой фигуры.

S_x =S_1x + S_2x + S_3x = A₁ ∙ Y₁ + A₂ ∙ Y₂ + A₃ ∙ Y₃

или можно записать: S_x =∑A_i ∙ y_i         S_y = ∑A_i ∙ x_i

 

Статические моменты  применяются для определения  центра тяжести площади.

 

Статический момент площади, относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

 

 

 

Сведения  о координатах центра тяжести простейших фигур

 

  

 

 

 

 

 

 

 

2. Полярный  момент инерции, определяется как произведение элементарной площади на квадрат расстояния от ее центра тяжести до некоторой точки.

 – расстояние от центра тяжести элементарной площади до некоторой точки 0.

  J_g = ∑A_i ∙ ² [м⁴]

 

При решении задач  в качестве точки 0 рассматривается  центр поперечного сечения вала. В качестве площади рассматривается круглое сечение.

 

 

 

3. Осевой момент инерции относительно оси х, оси у.

Осевой момент инерции относительно какой – либо оси равен алгебраической сумме произведений элементарных площадей на квадрат расстояния от их центров тяжести до данной оси. 

  I_x = ∑A_i ∙ y²_i 

  I_y = ∑A_i ∙ x²_i

 

Осевые моменты инерции применяются при расчете деформации поперечного и продольного изгибов. Наибольший интерес представляют осевые моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести площадей.

Круглое сечение

 

 

  

 

 

 

 

 Прямоугольное сечение

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

Квадратное сечение

 

 

 

 

 

4. Определение момента инерции относительно параллельных осей.

I_x = I_xo + A ∙ a²

 

 

 

 

Вид	А	Ip	Ix	Iy		Wp	Wx
Сечения	Площадь	Полярный момент инерции	Осевые моменты инерции			Полярный момент сопротивления сечения	Осевой момент сопротивления
Ед измерения	М2	М4	М4	М4		М3	М3
Виды деформации		Деформация кручения	Деформации изгиба			Деформация кручения	Деформация изгиба
							−
		−				−
		−				−