Лекции по финансовому менеджменту

(Характеристики ренты R, n, i, m=1, p¹1)

Наращенная сумма ренты 

Пример 3.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежеквартально, т.е. p=4.

Решение:

4. Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат в году p равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

  Наращенная сумма ренты   .

Пример 4.

 В условиях примера 1 найти  величину фонда к концу срока,  если проценты начисляются ежеквартально,  т.е. m=4, число выплат в году также равно p=4.

Решение:

          

5. Рента р – срочная, проценты начисляются m раз в году, выплаты p не совпадают с начислением процентов (Характеристики ренты R, n, j,   )

Наращенная сумма ренты        .

Пример 5.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежемесячно, т.е. m=12, число выплат в году равно p=4.

Решение:

6.Рента годовая постнумерандо, проценты начисляются непрерывно (Характеристики ренты R, n, d, p=1).

Наращенная сумма ренты  .

Пример 6.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если непрерывная  ставка d = 25%.

Решение:    

7. Годовая  рента пренумерандо, проценты начисляются  один раз в году

 (Характеристики ренты R, i, n, m=1, p=1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим, что n =4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты. Снова применим сумму геометрической прогрессии (см. выше ренту постнумерандо)

 

Наращенная сумма ренты 

 

Наращенная  сумма ренты пренумерандо больше наращенной суммы постнумерандо с такими же параметрами в (1+i) раз!

 

Пример 7.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты  делаются ежегодно в начале года.

Решение:

 Рента годовая пренумерандо.

Современная стоимость ренты

 

Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты.

 

1. Годовая  рента постнумерандо (Характеристики ренты R. n, i, p=1, m=1).

 

  Схема дисконтирования:

 

 Пусть n=4 года.  Найдем современную стоимость ренты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание:

 Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии

Современная стоимость ренты сроком n лет

  - коэффициент приведения ренты.

Пример 8.

Рента постнумерандо характеризуется  следующими параметрами:

Член ренты R=4 млн. руб., срок ренты n=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти сегодняшнюю стоимость ренты.

Полученная сумма  означает, что если сегодня положить 12,368 млн.  руб. под годовую ставку18,5% , то  в течении 5 лет в конце  каждого года можно получать по 4млн. руб.

 

2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году (Характеристики ренты R, n, j, m¹1, p=1)

Современная стоимость  ;

 

 

3. Рента р-срочная  постнумерандо, проценты начисляются  1 раз в году (Характеристики ренты R, n, i, m=1, p¹1)

Современная стоимость  ;

 

4. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат p совпадает с числом начисления процентов m  (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

Современная стоимость  ;

 

5. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, периоды выплат p  не совпадают с периодами начислений процентов

(Характеристики ренты R, n, j, m¹p¹1)

Современная стоимость  .

 

6. Вечная рента постнумерандо

 

В последней формуле современной  стоимости ренты увеличим срок ренты  n до бесконечности (n®¥).  Коэффициент приведения ренты а_ni стремится к величине , поэтому современная величина такой ренты, называемой вечной, имеет вид

 

.

7. Годовая рента пренумерандо (Характеристики ренты R, n, i, m=1, р=1)

Схема дисконтирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Современная стоимость ренты  .

 

Модуль 5. Оценка инвестиционных проектов

 

Основными показателями инвестиций являются: чистый приведенный эффект (доход), индекс рентабельности, внутренняя норма доходности, срок окупаемости инвестиций.

 

Чистый приведенный доход NPV (net present value)

 

Метод расчета чистого приведенного дохода основан на сопоставлении величины исходной инвестиции IC с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений PV, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока n. Т.к. приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется по ставке r, установленной инвестором.

Пусть делается прогноз, что инвестиция IC будет генерировать в течение n лет годовые доходы P₁, P₂,…, P_n .

Тогда сумма дисконтированных доходов 

                                                                      (1)

Чистый приведенный  доход 

                                         (2)

 

 

 

 

 

Основное достоинство  этого метода: показатели NPV различных проектов можно суммировать

 

Типовые примеры  на расчет показателя чистого приведенного дохода

 

Пример1:

Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит 100 000 ден. ед.  Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение на протяжении 6 лет чистых доходов в 25 000, 30 000, 35 000, 40 000, 45 000, и 50 000 ден. ед. соответственно. Принятая норма дисконта равна 10%. Определить экономическую эффективность проекта.  

 

Решение:

Изобразим ежегодные поступления от инвестиций на временной оси.

 

проект  следует принять.

 

Как видим, при условии правильной оценки денежного потока проект обеспечивает возмещение произведенных затрат (примерно к концу четвертого года) и получение 10% чистой прибыли, а также дополнительной (сверх установленной нормы) прибыли, равной величине NPV=57 302,37.

 Другое  объяснение полученного показателя NPV могло бы состоять в следующем: если проект финансировался за счет долгосрочной ссуды из 100 000 ден. ед., взятой на 6 лет под 10% годовых, ее величина и проценты могли бы быть полностью выплачены из поступлений наличности  проекта. Кроме того, после расчетов с кредиторами остаток полученной от проекта наличности составил бы сумму в 57 302,37 ден. ед.

 

Пример 2:

Проект, требующий инвестиций в  размере IC=160 000 $, предполагает получение годового дохода в размере P_K=30 000$ на промежуток n = 15 лет. Оценить целесообразность такой инвестиции, если коэффициент дисконтирования r =15%.

Решение:

Обратите внимание на тот факт, что все ежегодные  поступления одинаковы, поэтому  можно принять при расчете  формулу современной стоимости  ренты.

Рассчитаем чистый приведенный  доход проекта:

,

проект следует принять.

 

Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index)

 

Индекс рентабельности PI рассчитывается по формуле:

  

PI =

 

 

 

 

Этот относительный  показатель, удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих одинаковый NPV, либо при комплектовании портфеля инвестиций с максимальным суммарным NPV.

 

Норма рентабельности инвестиции IRR (Internal rate of return)

 

Под нормой рентабельности (внутренней нормой доходности) IRR инвестиции понимают значение коэффициента дисконтирования, при котором чистый приведенный эффект проекта равен нулю,

т.е. IRR = r, при котором NPV = f ( r ) = 0.

IRR показывает максимально допустимый относительный уровень доходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом.

Например, если проект полностью финансируется  за счет ссуды коммерческого банка, то IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которой делает проект убыточным.

На практике IRR сравнивается с r - заданной нормой дисконта, которая отражает минимум возврата на вложенный в его деятельность капитал.

 

 

 

 

Пример 4: Найдите IRR денежного потока: -100, +230, -132.

Решение:

Схему вложения денег изобразим  на временной оси.

Воспользовавшись определением IRR: NPV (IRR) = NPV(r)=0, составим уравнение для нахождения этого показателя.

,

 

-100(1+r)² + 230(1+r) – 132 = 0,

50r² - 15r + 2 = 0,

r₁ = 0,2 = 20%;  r₂ = 0,1 = 10%.

 

Для данного  проекта существуют две ставки внутренней доходности.

Эти ставки показывают, что все  финансовые операции по ставке выше IRR = 20%  и по ставке ниже IRR = 10%  убыточны для рассматриваемого проекта.

 

Срок окупаемости инвестиций РР

 

Если доход распределен по годам  равномерно, то срок окупаемости РР рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. При получении дробного числа  оно округляется в сторону  увеличения до ближайшего целого. Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция требует погашения кумулятивным (суммарным) доходом K¢, т.е.:

РР = n, при котором .

 

Пример 5:

 

Задана динамика денежных потоков по годам для проектов А, Б, В и их комбинации:

 

Год	Проекты
	А	Б	В	А и Б	Б и В
0-й 1-й 2-й 3-й	-10 0 20 5	-10 10 0 15	-10 0 0 15	-20 0 20 20	-20 10 0 30
Периоды окупаемости проектов	2	1	3	2	3

 

Основными недостатками срока окупаемости являются:

1. Метод не учитывает влияние  доходов последних периодов.

Например: проекты А и В имеют  одинаковые затраты – 10 млн. руб.;

годовые доходы:

по проекту А по 4,2 млн. руб. в  течение трех лет;

по проекту В по 3,8 млн. руб. в  течение десяти лет.

Оба проекта в течение трех лет  окупают вложения, но проект В более  выгоден.

2. Метод  основан на недисконтированных  потоках, если потоки дисконтировать, срок окупаемости проектов увеличивается. 

3.Показатель не обладает  свойством  аддитивности, т.е. сроки по разным проектам нельзя суммировать.

 

Модуль 6. Кредиты.

 

Планирование  погашения долгосрочной задолженности

 

В это теме речь пойдет о разработке плана погашения займа, который состоит в составлении графика периодических платежей должника.

Расходы должника обычно называются срочными уплатами или расходами  по займу.

 Методы определения размера срочных уплат зависят от условий погашения долга, которые предусматривают:

1. срок займа n;
2. уровень и вид процентной ставки g (простая; сложная, проценты выплачиваются 1 раз в году, m раз в году);
3. методы уплаты процентов (сразу на всю сумму, и дальнейшее распределение одинаковыми суммами по периодам или проценты начисляются на непогашенный остаток долга);
4. способы погашения основной суммы долга (погашение основного долга равными суммами или погашение всей задолженности срочными уплатами).