Лекции по финансовому менеджменту

1) Наращенная сумма денег с  учетом инфляции по брутто-ставке:

 

                     млн. руб.

 

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

 

                     млн. руб. 

б) Брутто-ставка сложных процентов

 

Т.к. ставка i – годовая ставка, то  темп инфляции должен быть рассчитан за год.

                     

                     

                      - на столько процентов увеличились цены за год.

 

 Годовая сложная  брутто-ставка r= 1372,25% компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50% .

 

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с  учетом инфляции по брутто-ставке  r :

                             млн .руб.

2. Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

                              млн. руб.

 

Модуль 3. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств

 

Эквивалентные обязательства.

Постановка  задач на консолидацию и пролонгацию

 

В практике нередко возникают случаи, когда необходимо изменить условия  финансовых сделок (досрочно погасить задолженность, объединить (консолидировать) несколько платежей в один, продлить платежи и т.д.) В данных ситуациях прибегают к принципу финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи “приведены” к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему.

Две суммы денег  и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Общий метод решения задач подобного рода заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к некоторому моменту времени, называемому базовым, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате.

Наиболее  распространенным способом изменения  условий контрактов является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых обязательств.

 

Здесь решаются две задачи:

1. при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке объединяемого платежа, находится его сумма;
2. при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме консолидированного платежа, находится срок его выплаты.

 

Задача  о нахождении суммы консолидированного платежа

  при известных сроках выплат всех платежей

 

Здесь можно рассмотреть 3 случая.

 

Случай 1.

Консолидированный платеж S₀ расположен между консолидируемыми платежами. Иначе, есть платежи до и после консолидированного платежа.

Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат.

 

 

Найдем величину консолидированного платежа S₀, используя простую процентную ставку i.  Платежи S₁, S₂ , Sj производятся раньше консолидированного платежа s₀, поэтому они наращиваются.

Платежи S_к-1, Sк производятся позднее консолидированного платежа s₀, поэтому они дисконтируются.

 Формула для расчета консолидированного  платежа будет выглядеть так:

               .

 

Случай 2.

 

Консолидированный платеж S₀ расположен раньше всех консолидируемых платежей.

 

 

 

 

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

               .

Случай 3.

 

Консолидированный платеж S₀ расположен позднее всех консолидируемых платежей.

 

 

 

 

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

               .

Задача 4.

Три платежа  млн. руб., млн. руб.,  млн руб. со сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

 

Решение:

 

Платежи и даты их выплат  изобразим  точками на временной оси в  порядке возрастания дней выплат:

 

 

 

 

             За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа .

Т.к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа  , то приведение платежей к моменту выплаты консолидированного платежа будет выполняться с помощью операции наращения.

          

         

 

Задача о нахождении срока консолидированного платежа

  при известных суммах выплат всех платежей

 

В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату операцией дисконтирования. Составляется уравнение эквивалентности, в левой части которого стоит дисконтированная стоимость платежа S ₀, а в правой – сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей P₀.

 

 

 

 

 

 

Решаем задачу, используя ставку i. Запишем уравнение эквивалентности, дисконтируя все платежи, включая S₀ на начальную дату «0».

.

Обозначим через P₀ сумму дисконтированных стоимостей объединяемых платежей, т.е. .

Тогда       .

 

Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость платежей S₀ должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых платежей P₀. Иначе срок платежа n₀ получится отрицательным.

 

Задача 6.

 Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 70% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день), 1.09 (244-й день) суммами млн. руб. и млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой млн. руб. с продлением срока выплаты.

 Найти срок выплаты консолидированного  платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа)

Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле

, где P -современная величина консолидируемых платежей. млн. руб.

года

 

t = 365 дней × 0,7937»287 дней. По календарю это 14 октября (приложение табл.1).

 

 

Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей

 

 

При решении  задачи изменения условий  выплаты платежей составляется уравнение  консолидации по следующему правилу:

«Старые» долги  равны «новым» долгам, но и те, и другие должны быть приведены на одну дату консолидации.

Дата  консолидации либо устанавливается во взаимном соглашении, либо выбирается произвольно.

 

Задача 7.

Две суммы 12 и 8 млн. руб. должны быть выплачены  1.09.00 (244) и 1.01.01 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.00 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.01 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Решение

 

 

 

 

Возьмем за базовую дату 1.04.01 и составим уравнение эквивалентности, учитывая два условия:

 

1) все платежи приведены к  базовой дате;

2. старые долги равны новым долгам.

 

Т.к. базовая дата самая поздняя  из всех, то платежи  и наращиваются.

 млн. руб.

Модуль 4. Рентные платежи

 

Современные финансово-банковские операции часто  предполагают не отдельные или разовые  платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности  в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.

Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности - членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные  интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом.

 

Характеристики  ренты

 

Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты R - размер отдельного годового  платежа;

период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты n - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная  ставка i;

число  p платежей в году;

частота m начисления процентов.

Классификация рент

 

1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;
2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;
3. ренты с постоянными и переменными членами;
4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.

5. рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.

Пример 4-х летней  ренты постнумерандо:

 

 

 

 

Пример 4-х летней  ренты  пренумерандо:

 

 

 

 

 

 

Обычно анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной суммы или  современной стоимости.

 

Наращенная  сумма S ренты

 

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.  

1. Годовая рента постнумерандо

Ее характеристики: член ренты R, срок ренты n, ставка i, число выплат в году p=1, число начислений процентов в  году m=1.                                                            

Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты.

Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок ренты больше одного года, естественно  использовать сложные проценты.

Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять .

Подобным образом, на член ренты  R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять . И т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению наращенной суммы ренты

 

 

Замечание:

Воспользовались формулой возрастающей геометрической прогрессии:

 

Тогда общая формула наращенной суммы ренты будет иметь вид:

                                             

- коэффициент наращения ренты,  будем находить его, пользуясь математическим калькулятором.

Пример 1.

Создается фонд. Средства в фонд поступают  в виде годовой постоянной ренты  в течении 6 лет в конце года. Размер разового годового платежа 20 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются 25% годовых. Найти величину фонда к концу срока.

 

Решение:

Рассматривается годовая рента  постнумерандо, член ренты R=20 тыс. руб., срок ренты n=6 лет, ставка i=25%.

Величина фонда к концу срока

2. Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов m раз в году, выплаты p один раз в году

(Характеристики ренты R, n, j, m¹1, p=1)

Наращенная сумма ренты      

Пример 2.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4.

Решение:

 

Внимание! Наращенная стоимость возрасла. Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем  больше S.

 

3. Рента p-срочная  постнумерандо, проценты начисляются один раз в году, выплаты p раз в году