Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Декабря 2013 в 14:32, курс лекций
В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.
ТЮМЕНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ
О.Л. Сидорова
Лекции по финансовой математике
для студентов
специальностей 0604 «Банковское дело»,
0615 «Налоги и налогообложение»
Тюмень 2004
Модуль 1. Простые проценты
Золотое правило бизнеса:
Сумма, полученная сегодня,
В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.
Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.
Дело в том, что, даже
в условиях отсутствия
Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.
Известный афоризм, «время - деньги» (Time is money) как нельзя лучше выражает сущность современного количественного финансового анализа.
Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.
Описание изменения денежных сумм во времени производится путем вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок – основа временной стоимости денег.
Основные понятия кредитной операции
Получение кредита – наиболее распространенная финансовая сделка. Она характеризуется следующими величинами:
K – начальный капитал или сумма ссуды;
S – наращенная сумма или полная
стоимость кредита с
I = S - K – доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от предоставления денег в долг;
n – период начисления процентов в годах,
, n =1 год – процентная ставка – относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени.
Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной или натуральной дроби.
Например: i=15% =0.15;
i=200%=2.0 и т.д.
В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби.
1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные.
Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.
Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов ,то используют сложные проценты (иначе, процент на процент)
2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d.
Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.
В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т.е S = K + I .
Такой способ начисления процентов называется декурсивным.
Процентная ставка , (n=1 год) называется ставкой наращения.
Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину , т.е S - D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S.
Такой способ начисления процентов называется антисипативным, а процентная ставка – учетной ставкой.
Учетная ставка
3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или «плавающие», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.
4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты.
Дискретные
проценты начисляются за
Непрерывные проценты связаны с
непрерывным интервалом начисления.
Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K рассчитывается ее будущая стоимость S.
Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S.
В этом случае сумму K называют современной или приведенной величиной.
Простые проценты
Простые проценты - это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.
Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.
Основная формула простых
или , где
К - начальный капитал,
I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
p - процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год,
т. е. годовая ставка в процентах. Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой
Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает наращенную сумму
S = K + I = K + Kni = K(1 + ni), где
- процентная ставка в долях единицы, n - время в долях года.
Доход за n лет I = Kni,
(1 + ni) - множитель наращения по простым процентам.
Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением.
Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле: , то операция называется математическим дисконтированием, - дисконтный множитель.
Задача1.
Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.
Найти сумму, которая будет получена к концу срока.
К = 200 тыс.руб., n = года, i = 0,12, p = 12% . S = ?
Решение:
I способ.
S = K + I, I = .
I = = 16 тысяч руб.
S = 200 + 16 = 216 тысяч руб.
II способ.
Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев = года.
S = K(1 + ni)=200(1 + .0,12) = 216 тысяч руб.
Задача 2.
Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых.
Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.
Решение:
K = 200 тысяч руб. n = года или n = года, i = 0,12, S=?
1.Точный метод:
Т.К. ставка годовая, срок n переведем в доли года: n = года,
S = K(1 + ni) = 200(1 + тыс.руб.
Срок n = года,
тыс.руб.
Банковский метод дает большее наращение.
Ставка i и время n в этих формулах соразмеримы.
Это значит, что если ставка годовая,
время измеряется в годах; если ставка
полугодовая – время в
Задача 3.
Начальный капитал 30 млн. руб. Найти наращенную сумму через 5 месяцев по
а) ежегодной ставке 30 %;
б) ежемесячной ставке 3 %;
в) квартальной ставке 5 %.
Решение:
S = k(1 + ni), k = 30 млн., n = 5 месяцев.
а) Т. к. 30 % - годовая ставка, время переводим в доли года n = 5 месяцев = года.
S = 30(1 + ) = 33,75 млн. руб.
б) I способ.
Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:
3 % - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,
S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.
II способ.
Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в годовую, и время в месяцах переведем в доли года:
- годовая ставка, n = 5 месяцев = года,
S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.
в) I способ.
Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную ставку, и время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что 1 квартал равен 3 месяцам:
5 % - ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев = квартала,
S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.
II способ.
Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку в годовую, и время в месяцах – в доли года:
квартала = 20% - годовая ставка, n = 5 месяцев = года,
S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.
III способ.
Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:
% - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,
S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.
Ставка годовая, срок измеряется в годах;
Ставка ежемесячная, срок - в месяцах и т. д.
Операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения покупает (учитывает) вексель у его держателя.
При работе с векселями начальный капитал К находят, используя учетную ставку d.
;
(1 - nd) называется дисконтным множителем.
Такое дисконтирование называется банковским учетом или учетом векселей.
Согласно этому методу, проценты за использование ссуды в виде дисконта D = Snd начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (т.е. не на начальный капитал К, а на наращенную сумму S).
Из формулы банковского учета
Это формула наращения по простой учетной ставке.
В этих формулах n – срок от момента учета векселя до момента его погашения.
Задача 4. Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн.руб. со сроком погашения 28.09.96. Вексель предъявлен 13.09.96.
Какую сумму получит
а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75;
б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75?
Решение:
1) по учетной ставке К = S(1 - nd) = 5(1 - × 0,75) = 4,844 млн.руб.
Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.
Одновременное наращение и дисконтирование
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга K, необходимо решить две задачи:
В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты: выдачи векселя, его учета и его погашения.
Срок между датами выдачи и погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма K по ставке i вырастет до суммы S = K(1+ni).
Срок между датами учета векселя и его погашением обозначим через n1. Найдем сумму. Полученную при учете векселя, дисконтируя сумму S по ставке d: K1 = S(1-n1d).