Пространственный размерный анализ с использованием подмногообразий конфигурационных пространств

Рис. 3.1.7. Отклонение от соосности относительно оси базовой поверхности

2. Дуга единичной окружности с осью и углом γ.

Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора (Рис. 3.1.8).

Рис. 3.1.8. Дуга единичной окружности

Данное конфигурационное пространство относится к следующим типам отклонений:

• Отклонение от перпендикулярности плоскостей (Рис. 3.1.9).

Конфигурационным пространством данной плоскости, при наложенном на нее только допуске перпендикулярности, является дуга единичной окружности с осью и углом γ. Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора . При этом середина этой дуги означает перпендикулярность плоскостей.

Рис. 3.1.9. Отклонение от перпендикулярности плоскостей.

• Отклонение от наклона плоскости;

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску наклона плоскости является дуга единичной окружности, с осью:

.

Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора . Здесь угол γ - это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор нормали к данной плоскости от вектора при заданном допуске наклона плоскости.

• Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности (Рис. 3.1.10).

Конфигурационным пространством данной поверхности при единственном заданном на нее допуске перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности, является дуга единичной окружности с осью и углом γ. Угол γ - есть наибольший возможный угол в плоскости на который может отклониться вектор оси данной поверхности от вектора .

Рис. 3.1.10. Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности

3. Круг с диаметром и центром в начале координат. Оно характеризует отклонение центра оси поверхности в плоскости, ортогональной этой оси. Центр такого круга означает номинальное положение оси (Рис. 3.1.11).

Рис. 3.1.11. Отклонение центра оси поверхности в плоскости

Данное конфигурационное пространство относится к следующим типам отклонений:

• Позиционное отклонение оси отверстия (Рис. 3.1.12).

Рис. 3.1.12. Позиционное отклонение оси отверстия

4. Отрезок правая точка которого характеризует наибольшее значение радиуса цилиндра, а левая - наименьшее. (Рис. 3.1.13б).

Данное конфигурационное пространство характеризует допуск на диаметр цилиндра (Рис. 3.1.13а).

Рис. 3.1.12. Допуск на диаметр цилиндра

3.2. Разработка и  реализация математической модели  подмногообразия конфигурационных  пространств сборки в соединении типа «отверстие-вал-отверстие».

В общем случае при анализе собираемости изделий необходимо по каждой точке конфигурационного пространства сборки вычислять всевозможные допустимые положения поверхностей ее деталей. Количество точек конфигурационного пространства, необходимое для тестирования возможности сборки, берется как произведение количества точек в конфигурационных пространствах всех допусков, участвующих в определенном этапе сборки. Хотя, как правило, в конфигурационном пространстве каждого отдельного допуска для тестирования может быть достаточно двух или четырех точек, но для всей сборки мощность множества точек тестирования может оказаться достаточно большой, что затрудняет общие вычисления. Этого можно избежать, если в некоторых стандартных частных случаях конфигурационные пространства сборок аналитически ограничивать подмногообразиями, в пределах которых гарантирована успешная сборка. Такие подмногообразия будем называть успешными конфигурационными подпространствами(или коротко, успешными подмногообразиями) сборки.

Рассмотрим далее метод поиска успешного подмногообразия на примере наиболее распространенного вида соединений отверстие-вал-отверстие. Разобьём эту сборку на два этапа.

Пусть на первом этапе сборки (вал-отверстие) заданы следующие допуски: на диаметр отверстия —⊘D; на диаметр вала —⊘D и на ортогональность оси вала относительно базовой плоскости — Δ (см. рис. 3.2.1).

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску на диаметр вала, будет отрезок .

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску на диаметр отверстия, будет отрезок .

Рис. 3.2.1

Конфигурационным пространством K3, соответствующим допуску на ортогональность оси вала относительно базовой плоскости, будет поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом с осью и углом γ. Здесь угол γ — это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор оси данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности. Косинус этого угла вычисляется по следующей формуле:

                                                (3.2.1)

Положение каждой точки на сфере описывается двумя углами— , . Однако в случае данной сборки значение угла β не влияет на саму сборку. Поэтому конфигурационное пространство K3 вырождается в отрезок .

Таким образом, успешным конфигурационным подпространством первого этапа сборки будет некоторое подмногообразие K K1× K2× K3.То есть

 

 

где P(d1, d2, α) — некоторые условия, связывающие параметры d1, d2, α, при которых данная сборка будет успешной.

Итак, найдем условия P(d1, d2, α) .

Пусть D — номинальный диаметр отверстия и вала, D1 = D + d1 —  некоторое допустимое значение диаметра вала, D2 = D+d2 — некоторое допустимое значение диаметра отверстия, α — некоторое допустимое значение угла, на который может отклониться ось вала.

Тогда, во-первых, , а значит

d1≤d2;         dSmin≤ dOmin;        dSmax≤ dOmax.

То есть для успешной сборки пара (d1, d2) должна лежать в заштрихованном пятиугольнике (рис. 3.2.2), который может вырождаться и в треугольник в случае dSmin= dOminи dSmax= dOmax.

 

Рис. 3.2.2

Перейдем теперь непосредственно к условию, связывающему угол α и диаметры цилиндров (рис. 3.2.3).

Рис. 3.2.3

Рассмотрим подобные треугольники: △ACB△NPB . В них

.

нам подходит только положительный корень, т.к. четверти, а значит и четверти, при этом CM > h, таким образом:

.

Окончательно

 

 

Графически всевозможные значения параметров, при которых будет успешная сборка, можно изобразить как фигуру, ограниченную поверхностью α(d1, d2) и соответствующими плоскостями по бокам и снизу (рис.2.23).

Исследуем функцию α(d1, d2) на максимум. Найдем ее первые частные производные по d1 и d2:

значит, стационарных точек нет. Следовательно, максимальное значение данная функция достигнет на границе области, изображенной на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.4

1. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка. Итак, в этом случае

2. На прямой функция α постоянна и равна нулю.
3. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

4. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

5. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

Итак, наибольшее значение из всех найденных будет следующее:

и достигается оно при , .

Рис. 3.2.5

При этом можно, регулируя значения параметров d1и d2, увеличивать или уменьшать максимальное значение α: увеличение значения α будет при уменьшении dSmin и/или увеличении dOmax (вдоль стрелок на рис. 3.2.5).

Далее возможны следующие варианты:

1. — это означает, что допуск выдержан и в случае, если , то допуск на ортогональность можно ослабить до значения , а если допуск на ортогональность нельзя ослабить, тогда необходимо изменить допуски на диаметры так, чтобы стало равно ;
2. — это означает, что допуск не выдержан. Тогда нужно либо ужесточить допуск ортогональности до, либо изменитьдопуски на диаметры так, чтобыстало равно .

При подборе параметров dSmin и dOmax для заданного максимального значения справедливы следующие формулы:

.

или

,

при этом Δ может быть как положительным, так и отрицательным.

Пусть на следующем этапе сборки необходимо вал (из сборки I этапа) вставить в отверстие другой детали с назначенным допуском параллельности одной из ее плоскостей относительно базовой плоскости (рис. 3.2.6.).

Рис. 3.2.6.

В этом случае, зафиксировав крайнее положение вала в отверстии I этапа сборки (), будем поворачивать вторую деталь до наименьшего возможного угла, соответствующего допуску параллельности(рис. 3.2.7.).

Рис. 3.2.7

Отметим, что на самом деле можно наоборот зафиксировать новую деталь и производить повороты сборкой из I этапа, что мы и сделаем, так как тогда задача поиска углов сводится к предыдущей. Кроме того, нам не нужно производить повороты как таковые, а достаточно просто вычислить необходимые углы по приведенным выше формулам. Понятно, что при проверке выдержанности допуска на параллельность нас интересует угол , где — это угол между базовой осью конфигурационного пространства, соответствующего допуску параллельности, и вариационной осью вала (при необходимостью этот угол не трудно вычислить), — наибольший возможный угол отклонения оси вала относительно оси отверстия, который вычисляется по формуле, полученной в результате проведенных выше исследований. Итак, пусть конфигурационным пространством, соответствующим допуску параллельности, является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор, а наибольшим углом отклонения является угол . Тогда, если угол ,то сборку будем считать успешной, иначе сборка признается неуспешной, и в этом случае переходим к корректировке параметров, ограничивающих успешное подмногообразие сборки.

3.3. Выводы

Разработанная математическая модель подмногообразия конфигурационных пространств сборки в соединении типа «отверстие-вал-отверстие» позволяет оптимально ограничить число расчетных точек конфигурационного пространства. Это, в свою очередь, влияет на время работы алгоритма размерного анализа, а также дает возможность конечному пользователю более эффективно принимать решение о корректировке первоначальных заданных допустимых отклонениях..

 

 

Библиографический список

 

 

 

1 Под функциональным требованием понимается размер, который должен быть выдержан в определенном интервале отклонений для достижения необходимых характеристик.

						МД.   .ПЗ
Изм.	Лист	№Док.		Подпись	Дата
Разраб.		Векшина А.С.				Размерный анализ в CAD-системах	Лит.	Лист	Листов
Провер.		Гаер М.А.							--
							Кафедра ТМ гр.ТМм-11-1
Утвердил		Журавлев Д.А.