Пространственный размерный анализ с использованием подмногообразий конфигурационных пространств

Прямая задача. Прямая задача размерной цепи встречается на практике чаще. После определения размеров составляющих звеньев в результате конструирования механизма необходимо рассчитать допуски на эти размеры при заданной точности сборки, т. е. заданном допуске исходного звена. Точность составляющих размеров должна быть такой, чтобы гарантировалась заданная точность исходного звена. Эту задачу можно решать одним из рассмотренных далее способов.

Способ равных допусков применяют, когда все размеры цепи входят в один интервал диаметров и могут быть выполнены с примерно одинаковой точностью, т. е. можно принять

T1 = T2 = …= Tср .

Тогда, используя уравнение (1.1.5), запишем формулу для определения среднего допуска на звено:

.

Этот допуск корректируют для некоторых составляющих размеров в зависимости от их значений, конструктивных требований и технологических возможностей изготовления, но с обязательным выполнением условий по уравнениям (1.1.5)–(1.1.7). При этом выбирают стандартные поля допусков предпочтительного применения.

Способ равных допусков прост, но поскольку корректировка допусков составляющих звеньев произвольна, он недостаточно точен.

Способ допусков одного квалитета применяют, если все составляющие цепь размеры могут быть выполнены с допуском одного квалитета и допуски составляющих размеров зависят от их номинального значения. При решении задач этим способом условно принимают, что возрастание допуска линейных размеров при возрастании номинального размера имеет ту же закономерность, что и возрастание допуска диаметра. Эта закономерность выражена формулой для единицы допуска i. Для размеров от 1 до 500 мм

,

где D – средний геометрический размер для интервала диаметров, к которому относится данный линейный размер.

Таким образом, в общем виде имеем

, (1.1.9)

где a j – число единиц допуска, содержащееся в допуске данного размера.

Количество единиц допуска i в допусках 5 – 16 квалитетов (величина a*i) приведена в таблице 1.1.1.

Табл. 1.1.1. Значение допусков

Обозначение допуска

IT5

IT6

IT7

IT8

IT9

IT10

IT11

IT12

IT13

IT14

IT15

IT16

Значение допуска

7i

10i

16i

25i

40i

64i

100i

160i

250i

400i

640i

1000i

Значения i для основных интервалов в диапазоне до 400 мм приведены в таблице 1.1.2.

Табл. 1.1.2. Значение единицы допуска i

Интервалы номинальных размеров, мм	3	3 6	6 10	10 18	18 30	30 50	50 80	80 120	120 180	180 250	250 315	315 400
Значение i, мкм	0,55	0,73	0,90	1,08	1,31	1,56	1,86	2,17	2,52	2,90	3,23	3,54

Подставив выражение (1.1.9.) в выражение (1.1.5) и решив его относительно a , получим

. (1.1.10)

Величины, стоящие в знаменателе, выбирают из таблицы 1.1.2, величина TD задана по условиям задачи. Величина aср , полученная по формуле (1.1.10), путем сравнения с величинами таблицы 1.1.2 показывает, по какому примерно квалитету следует обрабатывать размеры, составляющие цепь. Допуски выбирают из таблицы допусков на диаметры. Полученное значение aср может не совпадать ни с одним из стандартных значений, приведенных в таблице 1.1.2, поэтому можно использовать допуски различных квалитетов, учитывая технологические условия. Критерием правильности выбора служит уравнение (1.1.5), которое должно удовлетворяться. Допустимо, чтобы TD превышало åT i на 5–6 %, если необходимо назначить допуски, взятые из стандарта, и не изменять их. Допуски для охватывающих размеров рекомендуется определять, как для основного отверстия, а для охватываемых – как для основного вала.

Определив допуски, находят значения и знаки верхних и нижних отклонений составляющих размеров так, чтобы они удовлетворяли уравнениям (1.1.6), (1.1.7).

Решение прямой задачи способом назначения допусков одного квалитета более обосновано, чем решение способом равных допусков.

Обратная задача. При необходимости определения номинального размера, допуска и предельных отклонений замыкающего звена по установленным номинальным размерам, допускам и предельным отклонениям составляющих звеньев решается обратная задача.

1.1.3. Метод неполной взаимозаменяемости

При расчете размерных цепей методом максимума-минимума предполагается, что в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Оба случая – наихудшие в смысле получения точности замыкающего звена, но они маловероятны, т. к. отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска. На этом положении и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

Применение теории вероятностей позволяет расширить допуски составляющих размеров и тем самым облегчить изготовление деталей при практически отсутствующем риске несоблюдения предельных значений замыкающего размера.

Обратная задача. В результате совместного влияния систематических и случайных погрешностей центр группирования может не совпадать с серединой поля допуска, а зона рассеяния – с величиной допуска. Величина такого несовпадения, выраженная в долях половины допуска на размер, называется коэффициентом асимметрии

,

где M(Aj ) – математическое ожидание, т. е. средний арифметический размер j-го звена;

Cj – размер, соответствующий середине поля допуска.

В этом случае уравнение размерной цепи по средним размерам будет иметь вид

.

Учитывая случайный характер сочетаний действительных размеров деталей в изделии, можно воспользоваться уравнением для определения дисперсии суммы независимых случайных величин

. (1.1.11)

Для перехода от средних квадратичных отклонений s к допускам или полям рассеяния используют коэффициент относительного рассеяния l j . Он является относительным средним квадратичным отклонением (при поле рассеяния wj = Tj)

; (1.1.12)

для закона:

– нормального распределения (при Tj = 6s j )

;

– равной вероятности (при )

;

– треугольника (Симпсона) (при )

.

Подставив выражение (1.1.12) в выражение (1.1.11), получим

, (1.1.13)

где t – коэффициент, зависящий от процента риска, .

Определив TD по формуле (1.1.13), вычисляют по формуле (1.1.8) среднее отклонение замыкающего звена и его предельные отклонения:

; (1.1.14)

. (1.1.15)

Эти же формулы можно использовать для определения Tj .

Прямая задача. Допуски составляющих размеров цепи при заданном допуске исходного размера можно рассчитать четырьмя способами.

При способе равных допусков принимают, что величины Tj , Cj и l j  для всех составляющих размеров одинаковы. По заданному допуску TD, используя уравнение (3.3), определяют средние допуски звеньев

.

Найденные значения Tcj и Cj корректируют, учитывая требования конструкции и возможность применения процессов изготовления деталей, экономическая точность которых близка к требуемой точности размеров. Правильность решения задачи проверяют по формуле (1.1.13).

При способе назначения допусков одного квалитета расчет аналогичен решению прямой задачи методом полной взаимозаменяемости. При этом среднее количество единиц допуска определяется по формуле

. (1.1.16)

Способ прямых расчетов заключается в том, что допуски на составляющие размеры назначают экономически целесообразными для условий предстоящего вида производства с учетом конструктивных требований, опыта эксплуатации имеющихся подобных механизмов и проверенных для данного производства значений коэффициентов l. Правильность расчета проверяют по формуле (1.1.13).

Способ равного влияния применяют при решении плоских и пространственных размерных цепей. Он основан на том, что допускаемое отклонение каждого составляющего размера должно вызывать одинаковое изменение исходного размера.

Расчет по методу Монте-Карло

Этот метод можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Сущность метода Монте-Карло: Х математическое ожидание которой равно :

М(Х)=а.

Оценка погрешности метода Монте-Карло.

Пусть для получения оценки a* математического ожидания "а" случайной величины Х было произведено n независимых испытаний, и по ним была найдена выборочная средняя случайная величина , которая принята в качестве искомой оценки: . Если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g:

.

Верхняя грань ошибки d — «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение d известно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

,  (1.1.17)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором,

s — известное среднее квадратичное отклонение Х.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратичное отклонение s неизвестно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

, (1.1.18)

где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратичное отклонение, находят по таблице распределения случайных чисел.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (1.1.17), если среднее квадратичное отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (1.1.17) его оценку s – «исправленное» среднее квадратичное отклонение либо воспользоваться формулой (1.1.18). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики.

1.1.4. Метод групповой  взаимозаменяемости

Методом групповой взаимозаменяемости называют метод решения размерной цепи, при котором точность замыкающего звена достигается путем включения в нее составляющих звеньев, принадлежащих одной группе, на которые они были предварительно рассортированы.

Сущность метода заключается в изготовлении деталей со сравнительно широкими технологически выполнимыми допусками, выбираемыми из соответствующих стандартов, сортировке деталей на равное число групп с более узкими групповыми допусками и сборке их (после комплектования) по одноименным группам. Такую сборку называют селективной.

Метод групповой взаимозаменяемости применяют, когда средняя точность размеров цепи очень высокая и экономически неприемлемая.

При селективной сборке (в посадках с зазором и натягом) наибольшие зазоры и натяги уменьшаются, а наименьшие увеличиваются, приближаясь с увеличением числа групп сортировки к среднему значению зазора или натяга для данной посадки, что делает соединения более стабильными и долговечными. В переходных посадках наибольшие натяги и зазоры уменьшаются, приближаясь с увеличением числа групп сортировки к значению натяга или зазора, которое соответствует серединам полей допусков деталей.

Для установления числа групп n сортировки деталей необходимо знать требуемые предельные значения групповых зазоров или натягов, которые находят из условия обеспечения наибольшей долговечности соединения, либо допускаемое значение группового допуска TDгр или Tdгр , определяемое экономической точностью сборки и сортировки деталей, а также возможной погрешностью их формы. Отклонения формы не должны превышать группового допуска, иначе одна и та же деталь может попасть в разные (ближайшие) группы в зависимости от того, в каком сечении она измерена при сортировке.

При селективной сборке изделий с посадкой, в которой TD =Td , групповой зазор или натяг остаются постоянными при переходе от одной группы к другой. При TD >Td групповой зазор (или натяг) при переходе от одной группы к другой не остается постоянным, следовательно, однородность соединений не обеспечивается, поэтому селективную сборку целесообразно применять только при TD =Td .