Межотраслевой баланс

Кроме того, на наш взгляд во избежание бесполезных затрат времени и средств следует  приостановить все попытки дальнейшего  использования модели МОБ «З – В» и экономико-математической модели В. Леонтьева при разработке: 
- балансовых моделей внутрипроизводственного планирования; 
- различного вида продуктово–трудовых моделей; 
- моделей международной торговли (линейных моделей обмена); 
- динамических моделей межотраслевого баланса.

Задача.  В таблице приведены данные об использовании стоимостного баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

№ п/п	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовый продукт
		Q1		Q2
1	Q1	3	8		89	100
2	Q2	5	7		88	100

Требуется:

1)    составить матрицу прямых затрат и проверить ее продуктивность;

2)    вычислить объемы конечного продукта при увеличении валового выпуска каждой отрасли соответственно на 100% и 50%;

3)    Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли Q₁ увеличить в k = 1 раз, а отрасли 
Q₂ – на 10%.

Решение:  1.  Введем в рассмотрение матрицу    и векторы 

Составим матрицу прямых затрат А, учитывая, что ее элементы      

Легко видеть, что сумма  элементов столбцов (строк) А меньше единицы. Следовательно,  в силу второго критерия продуктивности (матрица продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы) матрица А продуктивна.   

2.     Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид:

При увеличении валового выпуска  отраслей Q₁ и Q₂ соответственно на 100% и 50% получим новый вектор валового выпуска 

Вектор потребления    соответствующий вектору    найдем из уравнения баланса:

 .

Изменения объемов конечного  продукта Q₁ на 182 – 89 = 93 ед. или 104,5%, Q₂   – на 129,5 – 98 = 41,5 ед. на 47,2%.  

3.  Конечное потребление отрасли Q₁ остается без изменения, а отрасли Q₂ станет равным  Получим новый вектор потребления

 .

Новый вектор валового выпуска    найдем из уравнения баланса

 .

Обратная матрица  

Откуда        

Валовый продукт отраслей необходимо увеличить Q₁ на 0,38%, Q₂ – на 9,88%.

пример   

 Балансовый анализ  изучает вопросы эффективности  ведения многоотраслевого хозяйства.  Каждая отрасль производит и  потребляет свою продукцию, а  также продукцию других отраслей. Всю продукцию, выпущенную отраслью, называют валовой. Та ее часть, которая в дальнейшем не участвует в сфере материального производства, называется конечным потреблением.    

 Предположим, что экономика  страны состоит из n хозяйственных отраслей. Пусть нам известен валовый выпуск и конечное потребление в каждой отрасли за какой-то истекший период (например, за год). Как определить, каким должен быть валовый выпуск продукции в каждой отрасли, обеспечивающий заданное (планируемое на следующий год) конечное потребление?    

 Составим экономико-математическую  модель задачи, то есть, сформулируем  ее на языке математики (линейной  алгебры). Будем рассматривать процесс  производства за один год. Пусть   обозначает валовый выпуск продукции в отрасли с номером i ( ),   -объем конечного продукта в той же отрасли. Объем валовой продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью в процессе производства, обозначим как   ( ).   

 Весь валовый продукт  отрасли номер   идет на обеспечение производственных потребностей всех отраслей экономики 

  

и на конечное потребление   в этой отрасли, то есть 

                                                       (1)

Система уравнений (1) называется соотношениями баланса. Если все величины в ней выражены в стоимостных единицах, то баланс называется стоимостным.    

 Далее будем использовать коэффициенты прямых затрат

,  .                                        (2)

Они показывают, какие затраты  продукции отрасли номер i идут на производство единицы продукции отрасли номер j.

Чтобы задать коэффициенты прямых затрат, нужно знать характер внутри- и межотраслевых движений валового продукта (величину и направление  финансовых потоков). Будем считать, что в течение рассматриваемого периода времени эти коэффициенты являются постоянными величинами. Такое  предположение называется линейным приближением. При этом

,  .                                   (3)

то есть, линейно зависит  от валового выпуска.

Подставляя соотношение (3) в формулу (1), получим соотношения  баланса в виде

, ( ).                         (4)

Впервые они были записаны в 1936 г. В.Леонтьевым, поэтому соответствующая модель носит его имя.

Перепишем (4) в матричной  форме. Для этого введем в рассмотрение матрицу-столбец валового выпуска

,

матрицу-столбец конечного  продукта

и матрицу прямых затрат

,

которая иначе называется технологической или структурной матрицей.

После этого систему уравнений (4) можно представить в виде

.                                                      (5)

Основная задача балансового  анализа состоит в отыскании  такой матрицы валового выпуска X, которая при известной матрице прямых затрат А обеспечит заданную матрицу конечного продукта Y. Другими словами, требуется решить матричное уравнение (5) при известных матрицах А и Y.

Перенесем произведение   в левую сторону равенства и учтем, что  , где

Е – единичная матрица. Тогда уравнение (5) перепишется в виде

.

Если определитель матрицы 

,

то решением уравнения (5) является матрица

.                     (6)

Матрица   в экономике называется матрицей полных затрат. Oна является обратной к матрице  . Элемент     определяет, каким должен быть объем продукции i-ой отрасли, направляемый в j-ую отрасль, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта в последней.

По смыслу задачи элементы матрицы валового выпуска должны быть неотрицательными при условии, что такими же являются элементы матрицы  конечного продукта и матрицы  прямых затрат. Поэтому в дальнейшем будем иметь в виду только такие  матрицы.

Матрица прямых затрат (а  с ней и сама модель Леонтьева) называется продуктивной, если для любой матрицы конечного продукта существует решение уравнения (5).

По одному из критериев  матрица A прямых затрат является продуктивной, если максимальное значение сумм элементов её столбцов не больше единицы

,                                                 (7)

и хотя бы для одного из столбцов эта сумма строго меньше единицы, то есть существует такой номер  , для которого

.                                 (8) 

Таким образом, в общем  виде сформулирована математическая модель задачи и указана методика ее решения.

Рассмотрим конкретный пример. Предположим, что экономика страны состоит из четырех отраслей: пищевой (1), текстильной (2) промышленности, машиностроения (3) и энергетики (4). Результаты исполнения баланса за прошедший год приведены  в таблице (использованы усл. ден. ед.):

	Отрасль	Потребление				Конечный продукт	Валовый выпуск
		Пищевая пр-сть (1)	Текстил. пр-сть (2)	Машиностр.(3)	Энергетика (4)
Производство	Пищевая пр-сть	85	50	90	75	350	650
	Текстил. пр-сть	70	80	150	70	180	550
	Машиностр.	40	80	65	75	440	700
	Энергетика	65	25	55	45	110	300

Нужно вычислить объем  валового выпуска каждой отрасли, необходимый  для того, чтобы конечный продукт  в пищевой промышленности увеличился на 20%, в текстильной промышленности уменьшился на 10%, в машиностроении остался на прежнем уровне, а в  энергетике вырос в        полтора раза.

Используя обозначения, принятые в начале раздела, запишем

По формуле (2) находим  коэффициенты прямых затрат (например,  ) и составляем из них матрицу:

.

Эта матрица имеет неотрицательные  элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

Следовательно, для любой  матрицы конечного продукта Y существует решение уравнения (5), которое определяется соотношением (6). 

 

Находим матрицу полных затрат.

.

Здесь Е обозначает единичную матрицу четвертого порядка.

.

По условию матрица  планируемого конечного продукта равна

.

Перемножая эти матрицы  в соответствии с формулой (6), получаем матрицу валового выпуска, который  обеспечит планируемое конечное потребление:

.

Для наглядности результаты представлены в виде следующей гистограммы:

Из нее видно, что в  пищевой промышленности валовый  выпуск надо увеличить примерно на 110 у.д.е.(17%), в текстильной промышленности – на 20 у.д.е.(4%), в машиностроении – на 30 у.д.е.(5%) и в энергетике – на 80 у.д.е.(27%). Таким образом, чтобы получить необходимое конечное потребление более всего необходимо увеличить валовый выпуск в энергетике и менее других – в текстильной промышленности, что качественно соответствует плану. Увеличение валового выпуска в машиностроении связано с большими значениями коэффициентов прямых затрат продукции этой отрасли в других отраслях.