Механизм компенсации затрат на снижение уровня риска

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо показать, что .

Из второго уравнения  системы (2.12) получаем

.

Подставив это значение в первое уравнение системы (2.12), можем записать

 (2.14)

Эта система уравнений  задает две функции одной переменной и .

Производные функций  и , заданных системой (2.14) записываются в виде [16]

 (2.15)

и, соответственно,

. (2.16)

Так как  , , , , и , то (2.15) можно переписать

.

Учитывая условия (2.10) и (2.11) можем  утверждать, что числитель и знаменатель  этой дроби положительные, поэтому  .

Утверждение доказано.

Содержательно, это довольно естественный вывод. Чем более высокие требования предъявляются к уровню безопасности производства при действии механизма  сильных штрафов, тем менее активно  осуществляется производственная деятельность, что и приводит к снижению уровня выпуска продукции. Но при этом остается вопрос: «Как изменяется объем средств, выделяемых предприятием для снижения уровня риска, если происходит изменение допустимого уровня риска?».

Для этого определим количество собственных средств v_d, которое выделяет предприятие на снижение уровня риска, если допустимый уровень риска принимает значение

,

где d - малая величина больше нуля. Для максимизации своей прибыли предприятие решает задачу (2.3), которую здесь можно записать в виде

.

Пусть u_d и v_d решение этой задачи. Тогда справедливо выражение

.

Очевидно, что при 

или

. (2.17)

Докажем, что при  .

Обозначим . Из следствия к утверждению 1 следует, что u_d≤u^* и v_d³0. Пусть u₀<u^*, тогда в силу (2.10) справедливо , поэтому даже если v₀=0, равенство (2.17) выполняться не будет. А это означает, что при .

Фактически здесь показано, что небольшое превышение x(u^*,0) над допустимым уровнем риска не приводит к скачку средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска. Этот рост происходит постепенно, по мере уменьшения . С другой стороны, из утверждения 3 следует, что по мере уменьшения происходит уменьшение объема выпуска. Очевидно, что на всем диапазоне уменьшения от x(u^*,0) до 0 одновременное увеличение объема средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска и уменьшение объема выпуска, происходить не может. Действительно, так как уменьшается объем выпуска, то падает и прибыль предприятия, а это может привести к тому, что прибыль предприятия упадет настолько, что окажется меньше объема средств, которые необходимо выделить на снижение уровня риска. То есть прибыль за вычетом средств на снижение уровня риска окажется отрицательной. В то же время предприятие может просто определить объем выпуска из условия (2.6), который обеспечит для него положительную прибыль и при этом v=0. Следовательно, при достаточно маленьком из решения системы (2.12) можно получить . А это значит, что при уменьшении на отрезке [ ;x(u^*,0)] сначала возрастает от нуля до некоторой величины, а потом убывает до нуля. А в этом случае должна быть сначала положительной, а потом отрицательной.

Перепишем (2.16) в виде

.

Знаменатель этой дроби положительный. Поэтому знак производной определяется числителем. Запишем его в виде

.

Легко видеть, что  может менять знак, если .

Обозначим , где j(u)<0, тогда можем записать

.

Это выражение можно представить  в виде

.

Интегрируя его, получаем

.

В свою очередь, это выражение можно  представить в виде

,

интегрируя которое, получаем

.

Из этого равенства можем  определить функцию 

.

Таким образом, задавая функцию  можно определить .

Пусть , где k>0 тогда

.

Интегрируя еще раз, получаем

или

. (2.18)

Для иллюстрации полученных результатов  рассмотрим следующий пример. Пусть

, , (2.19)

где q -	объем продукции, обеспечивающий предприятию  минимальную себестоимость продукции;
r -	минимальная себестоимость;
w -	коэффициент, характеризующий влияние  объема выпуска продукции на уровень  природно-техногенного риска;
p -	коэффициент, характеризующий эффективность  использования средств, направляемых на снижение уровня риска;
T -	показатель, характеризующий безопасность производства.

Зависимость получается из (2.18) если положить k=2, C₁=0, [30]. Тогда

. (2.20)

Если бы при функционировании предприятия  не накладывались ограничения на уровень риска, объем выпуска  на нем составил бы величину

,

а уровень риска был бы равен

.

Если же допустимый уровень  риска  таков, что , то для определения объема выпуска необходимо решить систему уравнений (2.12), которую в этом случае можно переписать в виде

.

Решение этой системы дает

.

Отсюда легко получить

,

Из последнего выражения видно, что

. (2.21)

То есть существует такой уровень  риска, при котором объем средств, направляемых предприятием на поддержание уровня безопасности, оказывается максимальным.

Пусть r=20, q=200, c=80, w=0,01, p=0,8 и T=1500. Графики изменения объема выпуска и размера средств на поддержание уровня безопасности в зависимости от предельно допустимого уровня риска представлены на рис. 2.1 и рис. 2.2.

 

Рис. 2.1. Изменение объема выпуска в зависимости от предельно допустимого уровня риска

Рис. 2.2. Изменение размера средств на поддержание уровня безопасности в зависимости от предельно допустимого уровня риска

 

Из выражения (2.21) и рис. 2.2 видно, что максимальный объем средств, направляемых на снижение уровня риска, предприятие направляет при установленном  предельном уровне риске равным 0,2.

На рис. 2.3 представлена зависимость изменения прибыли предприятия в зависимости от предельно допустимого уровня риска.

 

Рис. 2.3. Изменение прибыли в зависимости от предельно допустимого уровня риска

Анализ показывает, что в данном примере предприятию, при действии механизма сильных штрафов, имеет смысл начинать выпуск продукции если предельно допустимый уровень риска больше 0,001, в противном случае производственная деятельность принесет предприятию только убытки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2Механизм платы за риск

 

При использовании этого механизма  основным рычагом, позволяющим управлять  уровнем риска, является цена риска l, которая устанавливается Центром [13,19]. В этом случае прибыль предприятия определяется как

. (2.22)

Для максимизации своей прибыли  предприятие определяет, сколько  продукции надо выпустить, и какой  объем средств необходимо направить  на снижение уровня риска. Другими словами, предприятие решает задачу

. (2.23)

Пусть u^* и v^* решение системы (2.23). Тогда u^* и v^* обеспечивают получение максимальной прибыли предприятию, если выполняются условия максимума [15]:

, (2.24)

, (2.25)

. (2.26)

Утверждение 4. Если u^* и v^* - решение системы (2.23) и u^* и v^* обеспечивают получение максимальной прибыли предприятию, то увеличение цены риска всегда приводит к уменьшению объема выпуска.

Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно показать, что .

Систему уравнений (2.23) запишем в виде

 (2.27)

Производная функции  записывается в виде

. (2.28)

Так как

, (2.29)

то (2.28) можно переписать

. (2.30)

Так как u^* и v^* обеспечивают получение максимальной прибыли предприятию, то в силу (2.26) знаменатель дроби (2.30) положительный. Рассмотрим теперь числитель этой дроби. Из (2.9) следует, что

 (2.31)

 

Поэтому числитель дроби (2.30) можно  записать как

.

Из (2.10) и (2.11) следует, что  это выражение меньше нуля, и, следовательно  .

Утверждение доказано.

Что касается изменения объема средств, направляемых на снижение уровня риска, то, проведя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены при определении зависимости , легко показать, что с увеличением цены за риск объем средств, направляемых на снижение уровня риска предприятием, сначала возрастает, а потом падает.

Действительно, производная функции  записывается в виде

Выше было показано, что знаменатель  этой дроби положительный, а числитель  записывается как

. (2.32)

 

Учитывая (2.31), можем переписать (2.32) в виде

.

А так как  таково, что

, (2.33)

то возможна ситуация, когда числитель (2.30) может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Естественное допущение, что

, (2.34)

то есть с ростом платы  за риск, уровень риска падает.

Размер средств, который выплачивает  предприятие в виде платы за риск, определяется выражением

.

Утверждение 5. С ростом цены l плата за риск сначала увеличивается, а потом уменьшается.

Доказательство.

.

Очевидно, что при l=0, v=0, а x(u,0)>0, следовательно, плата за риск возрастает. В то же время, в силу (2.34) и при достаточно большом значении l, уровень риска x(u,v) мал, а , поэтому плата за риск убывает.

Утверждение доказано.

Пусть имеет место  зависимость (2.19) и (2.20). Тогда систему  уравнений (2.23) для этого случая можем  переписать в виде

Решение этой системы записывается в виде

,

.

Для выполнения условий максимума (2.24)-(2.26) должны выполняться условия

и

.

Нетрудно видеть, что

,

 

и, соответственно,

.

 

Из последнего выражения видно, что

. (2.35)

Для значений параметров r, q, c, w, p и T, приведенных в предыдущем разделе, графики изменения объема выпуска и размера средств на поддержание уровня безопасности в зависимости от цены за риск представлены на рис. 2.4 и рис. 2.5.

Рис. 2.4. Изменение объема выпуска в зависимости от цены за риск

Рис. 2.5. Изменение средств на поддержание уровня безопасности в зависимости от цены за риск

 

На рис. 2.6 представлена зависимость  изменения прибыли предприятия  в зависимости от установленной  цены за риск.

Рис. 2.6. Изменение прибыли в зависимости от цены за риск

 

Анализ показывает, что в данном примере предприятию при действии механизма платы за риск следует прекращать выпуск продукции, если цена за риск больше 114518, в противном случае производственная деятельность принесет предприятию только убытки.

И, наконец, на рис. 2.7 представлена зависимость изменения уровня риска, связанного с деятельностью предприятия в зависимости от установленной цены за риск.

Рис. 2.7. Изменение уровня риска в зависимости от цены за риск

 

Напомним здесь, что при установленной цене за риск, предприятие выбирает такие u^* и v^*, чтобы получить максимум своей прибыли. Для цены за риск равной 114518 предприятие выпускает продукции в объеме u^*=58 единиц, тратит средств на поддержание уровня безопасности в размере v^*=276,8, уровень риска при этом составляет 0,0192 и прибыль на предприятии равна нулю.

 

2.3Механизм финансирования снижения уровня риска

 

Собственные средства на снижение уровня риска предприятие выделяет в  том случае, когда в регионе  осуществляется контроль уровня риска (например, в виде штрафов или платы за риск), если же такого контроля нет, у предприятия нет экономических стимулов, отвлекать собственные средства на снижение уровня риска. Более того, даже если предприятия получают дополнительные средства на снижение уровня риска, эффективность использования этих средств будет выше, если на предприятии осуществляется контроль уровня риска. Поэтому в дальнейшем будем считать, что на предприятии действует механизм сильных штрафов, то есть для максимизации своей прибыли на предприятии решается задача (2.12).

Экономические механизмы финансирования мероприятий по снижению уровня риска  основываются на распределении средств  централизованного фонда. Предположим, из Центра выделено предприятию V единиц средств на снижение уровня риска, и на предприятии действует механизм сильных штрафов, тогда легко показать, что при максимизации своей прибыли предприятие уменьшает размер собственных средств на снижение уровня риска на величину V.

Действительно, пусть и решение задачи (2.12), то есть - оптимальный объем выпуска - оптимальный объем средств, направляемый предприятием на снижение уровня риска.