Контрольная работа по "Экономике"

 

5. По степенной модели регрессии сделаем прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х₁ (объема капиталовложений) и х₂ (основных производственных фондов).

Прогнозные значения факторов можно  получить, используя метод прогнозирования  с помощью среднего абсолютного  прироста:

,

где

– средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:

;

к – период упреждения;

n- количество наблюдений.

  , тогда

Х_1,11 = 13,5 + 1·0,156 = 13,656

Х_1,12 = 13,5 + 2· 0,156 = 13,811

, тогда

Х_2,11 = 7,4 + 1 · 0,144 = 7,544

Х_2,12 = 7,4 + 2 · 0,144 = 7,689

 

Составляем вектор – прогноз  значений факторов:

Х_прогн =

, Х_{прогн,11} = , Х_{прогн,12} = .

 

Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.

 

 

Для получения интервального прогноза рассчитаем доверительные интервалы, используя  величину отклонения от линии регрессии (U):

,

 

Для вычисления подкоренного выражения используем знания линейной алгебры.

 

 

 

В итоге имеем:

=0,68

=0,83

Среднеквадратическое отклонение расчетных значений от фактических:

        =

Коэффициент Стьюдента  для m = 10-2-1 = 7 степеней свободы и уровня значимости =0,05 равен 2,365.

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Прогноз поведения выручки  предприятия

 

Шаг	Точечный прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
11	43,923	39,776	48,070
12	44,491	39,832	49,149

 

 

Задание 3

 

Имеются данные о выручке (у, млн руб.) предприятия «АВС» за последние десять лет.

1. Представить графически временной ряд .

2. По методу  Ирвина проверить, имеет ли  временной ряд аномальные уровни, при необходимости устранить  их.

3. Проверить  ряд на наличие тренда методом  Фостера – Стьюарта.

4. Сделать  прогноз на следующий год, используя:

а) экстраполяцию  на основе средних (при необходимости  провести сглаживание временного ряда);

б) экстраполяцию  на основе экспоненциальных средних;

в) экстраполяцию  на основе одной из трендовых моделей (линейной, показательной, степенной, гиперболической, экспоненциальной или др.).

Сделать соответствующие  выводы.

5. Результаты  изобразить на графике, построенном  в п.1.

 

1 вариант:

 

Время, t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Выручка, у	36,8	40,1	41,5	38,7	42,0	39,9	43,2	43,8	40,0	42,4

 

Решение:

1. По методу  Ирвина проверим, имеет ли временной  ряд аномальные уровни, при необходимости устраним их.

 

Рассчитаем  ,

 где 

; ;

; ;

; ;

; ;

;

 

Расчетные значения сравниваем с табличным значением . Если , то данный уровень – аномальный. Аномальными уровнями являются 2, 5, 7, 9. Устраним аномальные уровни, заменив их на среднее значение предшествующего и последующего уровней.

 

2. Проверим полученный ряд на наличие тренда методом Фостера – Стьюарта.

 

Проводим сравнение  каждого уровня ряда со всеми ему  предшествующими. В результате сравнения получаются две последовательности u_t и l_t:

u_t =

,

l_t =

.

t = 1, 2, …,n

 

Определяются величина s для обнаружения тенденции в дисперсии и величина d для обнаружения тренда временного ряда:

= 6,

= 4.

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	36,8	39,15	41,5	38,7	39,3	39,9	41,85	43,8	43,1	22,3
ut	-	1	1	0	0	0	1	1	0	1
lt	-	0	0	0	0	0	0	0	0	0
st	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1
dt	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1

 

Для величин s и d находим критерий Стьюдента t_s и t_d. Сравниваем его с табличным показателем с числом степеней свободы (n-2). .

,

,

где - математическое ожидание величины s; – среднеквадратические ошибки величин s и d.

Если  , то тренд в дисперсии есть; если , то тренд в среднем есть. Так как , то тренд в дисперсии есть; , то тренд в среднем есть.

 

3. Сделаем  прогноз на следующий год (или  два года вперед), используя:

а) экстраполяцию  на основе средних.

Приведенный временной ряд можно с некоторой долей условности считать стационарным.

 

Последовательность расчетов такова:

1) Рассчитаем среднюю арифметическую  ряда 

;

2) Среднее квадратическое отклонение  было рассчитано ранее:

;

3) Величину критерия Стьюдента  определим по статистическим таблицам, исходя из 90% вероятности и 8 степенях свободы – 1,86;

4) Доверительный интервал составит:

Таким образом, спрос будет находиться в пределах 36,318 – 44,982.

б) экстраполяцию на основе экспоненциальных средних.

 

Для прогнозного значения за начальный  уровень принимаем:

В качестве параметра сглаживания  возьмем β = 0,1.

е₁ = 0,1·15,6 + (1-0,1)·15,7 = 15,69

е₂ = 0,1·16,3 + (1-0,1)· 15,69 = 15,75

и т.д.

Результаты расчетов занесем в  таблицу.

 

t	yt	et
1	36,8	39,200
2	40,1	39,290
3	41,5	39,511
4	38,7	39,430
5	42	39,687
6	39,9	39,708
7	43,2	40,057
8	43,8	40,432
9	40	40,388
10	42,4	40,590

 

Расчет доверительного интервала осуществляется аналогично формуле в п. а), только в подкоренном выражении ставится следующее соотношение:

Выполним расчет доверительного интервала:

1) Расчет экспоненциальной средней  дает 39,829;

2) Среднее квадратическое отклонение:

;

3) Критерий Стьюдента t_α = 1,86

4) Доверительный интервал составит:

Таким образом, возможный спрос  будет находиться в пределах  35,76 – 43,899

в) экстраполяцию на основе трендовых  моделей

 

1. Составим линейную трендовую модель , характеризующую поведение спроса в зависимости от времени.

 

Для нахождения параметров модели применим метод наименьших квадратов:

 n = 10

Решая данную систему получим:

а ₁ = 37,33

а₀ = 0,604

Линейная модель поведения  спроса в зависимости от времени  имеет вид:

=37,33+0,604·t

 

Найдем ретроспективные (точечные) прогнозы поведения спроса на моменты времени t₁₁ и t_12, для этого поставим соответствующие значения t в уравнение тренда.

=37,33+0,604 · 11=43,97

=37,33+0,604 · 12=44,574

 

Найдем интервальный прогноз поведения спроса на моменты  времени t₁₁, t_12.

Доверительный интервал определяется по формуле:

.

Среднеквадратическое отклонение от линии тренда составляет:

= =1,339.

 

Для расчета доверительных  интервалов зададим уровень значимости α = 0,1, тогда при 10-2=8 степенях свободы табличное значение t_α=1,86.

 

Для периода упреждения к = 1, величина К составит

= .

 

Аналогично, для к=2

К=

Ширина доверительного интервала для периода времени t₁₁ равна 43,97 ± 1,86 · 1,339 · 1,211 или 43,97 ± 3,016.

Ширина доверительного интервала для периода времени t₁₂ составит  44,574 ± 1,86 · 1,339 · 1,27 или 44,574 ± 3,162.

 

Результаты вычисления представим в виде таблицы:

Прогноз поведения спроса

 

Период времени	Точечный  прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
t=11	43,97	40,954	46,986
t=12	44,574	41,412	85,985

 

2. Для построения  показательного тренда  проведем линеаризацию переменных, для чего прологарифмируем обе части равенства .

 

Применим  МНК, составим систему нормальных уравнений:

В результате решения этой системы получаем, что  показательный тренд можно описать уравнением:

,

в преобразованном  виде:

ln y = 3,621 + 0,015 · t.

 

Среднее квадратическое отклонение на основе разности фактических и расчетных значений логарифмов составит:

S_y =

= 0,03316.

 

Подставим в  преобразованное уравнение t = 11, получим lny₁₂ = 3,621 + 0,015 · 11 = 3,786,

соответственно, для t = 12  – lny₁₂ = 3,621+0,015 ∙ 12= 3,801.

 

Доверительный интервал для  t = 11 определяется следующим образом:

 

или

(40,903; 47,493)

 

Аналогично  для t = 12

или

(41,369; 48,383).

3. Для построения  степенного тренда  проведем линеаризацию переменных, для чего прологарифмируем обе части равенства .

Применим  МНК, составим систему нормальных уравнений:

В результате решения этой системы получаем, что  степенной тренд можно описать  уравнением:

,

в преобразованном  виде:

ln y = 3,61 + 0,062 ·ln t.

Среднее квадратическое отклонение на основе разности фактических и расчетных значений логарифмов составит

S_y =

=0,03115.

Подставим в  преобразованное уравнение t = 11, получим lny₁₁ = 3,61 + 0,062 · ln11 = 3,758, соответственно для t = 12  – lny₁₂ = 3,61 + 0,062 · ln12 = 3,764.

Доверительный интервал для  t = 14 определяется следующим образом:

 

или

(39,798; 46,207)

 

Аналогично  для t = 12

или

(39,868; 46,624).

 

Некоторые вспомогательные  вычисления приведены в таблице  приложения 8.

 

Приложение 1

 

Вспомогательные  вычисления  
для построения  и  оценки  качества  линейной  модели  парной  регрессии

 

 

t	xt	yt	xt2	xt·yt					=
1	12,1	36,8	146,41	445,28	38,756	0,3721	16,3216	2,4644	-1,956	0,053
2	12,4	40,1	153,76	497,24	39,781	0,0961	0,5476	0,2294	0,319	0,008
3	12,3	41,5	151,29	510,45	39,439	0,1681	0,4356	-0,2706	2,061	0,050
4	12	38,7	144	464,4	38,414	0,5041	4,5796	1,5194	0,286	0,007
5	12,9	42	166,41	541,8	41,489	0,0361	1,3456	0,2204	0,511	0,012
6	12,7	39,9	161,29	506,73	40,806	1E-04	0,8836	0,0094	-0,906	0,023
7	13,1	43,2	171,61	565,92	42,173	0,1521	5,5696	0,9204	1,027	0,024
8	13,2	43,8	174,24	578,16	42,514	0,2401	8,7616	1,4504	1,286	0,029
9	12,9	40	166,41	516	41,489	0,0361	0,7056	-0,1596	-1,489	0,037
10	13,5	42,4	182,25	572,4	43,539	0,6241	2,4336	1,2324	-1,139	0,027
сумма	127,1	408,4	1617,67	5198,38	408,400	2,229	41,584	7,616	0,000	0,270