Контрольная работа по "Экономике"

Задание 1

 

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн руб.) за последние 10 лет.

1. Построить  поле корреляции.

2. Найти параметры  уравнения линейной регрессии  ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.

3. Составить  уравнения нелинейных регрессий: 

• гиперболической ;
• степенной ;
• показательной .

4. Для каждой  из моделей:

– найти коэффициент  парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);

– найти коэффициент  детерминации;

– проверить  значимость уравнения регрессии  в целом с помощью F – критерия Фишера;

– найти среднюю  относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить  сводную таблицу вычислений; выбрать  лучшую модель; дать интерпретацию  рассчитанных характеристик.

6. По лучшей  модели регрессии сделать прогноз  на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.

7. Построить  графики уравнений регрессий;  отметить точки прогноза.

 

Время, t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Выручка, у	36,8	40,1	41,5	38,7	42,0	39,9	43,2	43,8	40,0	42,4
Объем капиталовложений, х	12,1	12,4	12,3	12,0	12,9	12,7	13,1	13,2	12,9	13,5

 

Решение:

1. Построим поле корреляции

 

2. Построим различные  модели регрессии и рассчитаем  для каждой из них коэффициент  корреляции (индекс корреляции), коэффициент детерминации, F – критерий Фишера, среднюю относительную ошибку аппроксимации.

• Линейная модель

Параметры модели а и b найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.

Отсюда b = 3,417, а = -2,587

 

 

Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от  капиталовложений:

Коэффициент регрессии b = 3,417 говорит о том, что если капиталовложения увеличить на 1 млн рублей, то выручка предприятия в среднем увеличится на 3417 тыс. рублей.

 

Рассчитаем коэффициент корреляции:

– связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия очень сильная, прямая.

 

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R² = (r_xy)²= (0,791)² = 0,626

 – 62,6% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 37,4% (100 – 62,6) – влиянием факторов, не включенных в модель.

 

Проверим значимость уравнения регрессии в целом  с помощью F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 1 = 1, числе степеней свободы 2 = 10-1-1 = 8 составит  5,318.

Так как F_расч > F_табл , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

 

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

– в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,7% < 10%, следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены  в таблице приложения 1.

• Гиперболическая модель

Для нахождения параметров а и b воспользуемся МНК. Составим систему нормальных уравнений:

 

Отсюда

b = -552,687

а = 84,385

 

Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от капиталовложений:

 

Рассчитаем индекс корреляции :

– связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия сильная.

 

Рассчитаем коэффициент детерминации:

– 63,1% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 36,9% (100 – 63,1) – влиянием факторов, не включенных в модель.

 

Проверим значимость уравнения регрессии в целом  с помощью F-критерия Фишера:

 

Табличное значение F-критерия при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 1 = 1, числе степеней свободы 2 = 10-1-1 = 8 составит  5,318.

Так как F_расч > F_табл , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

 

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

– в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,69% < 10%, следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены  в таблице приложения 2.

• Степенная модель

Для построение данной модели прологарифмируем обе части равенства . Сделаем замену У = lg y,  A = lg a, X = lg x. Тогда У = А + b Х – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

 

b = 1,075

А = 0,424, тогда а = 10^0,424 = 2,652

 

Построена степенная модель зависимости  выручки предприятия «АВС» от  капиталовложений:

 

Рассчитаем индекс корреляции:

 

– связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия сильная.

 

Рассчитаем коэффициент детерминации:

– 62,5% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 37,5% (100 – 62,5) – влиянием факторов, не включенных в модель.

 

Проверим значимость уравнения регрессии в целом  с помощью F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы 1 = 1, числе степеней свободы 2 =10-1-1 = 8 составит 5,318.

Так как F_расч > F_табл , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

 

 

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

 

– в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,72% < 10%, следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 3.

• Показательная модель

Для построение данной модели прологарифмируем обе части равенства . Сделаем замену У = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда У = А + В·х – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

В = 0,037, тогда b = 10^0,037 = 1,088

А = 1,144, тогда а = 10^1,144 = 13,942

 

Построена показательная  модель зависимости выручки предприятия «АВС» от  капиталовложений:

Рассчитаем индекс корреляции:

– связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия сильная.

 

Рассчитаем коэффициент детерминации:

 – 62,2%

– изменения выручки предприятия  обусловлено изменением объема капиталовложений, на 37,8% (100 – 62,2) – влиянием факторов, не включенных в модель.

 

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 1 = 1, числе степеней свободы 2 = =10-1-1 = 8 составит  5,318.

Так как F_расч > F_табл , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

 

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации :

– в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,73% < 10%, следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 4.

 

1. Составим сводную  таблицу вычислений.

 

Параметры	Модель
	линейная	гиперболическая	степенная	показательная
Коэффициент   (индекс) корреляции	0,791	0,795	0,791	0,789
Коэффициент детерминации	0,626	0,631	0,625	0,622
F – критерий Фишера	13,377	13,695	13,355	13,163
Средняя относительная ошибка аппроксимации	2,703	2,689	2,718	2,726

 

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F – критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет гиперболическая модель. Её можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

 

2. Сделаем  прогноз на следующие два года  показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.

Лучшей является модель вида .

Для начала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 13,5 млн руб. Следовательно, в 2008 году он составит 13,5 · 1,1 = 14,85 млн руб., а в 2009 году – 14,85 · 1,1 = 16,335 млн руб.

Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии . Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).

В 2008 году выручка предприятия составит: млн руб.

В 2009 году выручка предприятия  составит: млн руб.

 

Задание 2

 

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х₁, млн руб.) и основных производственных фондов (х₂, млн руб.) за последние 10 лет.

1. Построить  матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х₁ и х₂. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.

2. Построить  линейную модель множественной  регрессии  ; дать экономическую интерпретацию параметров b₁ и b₂.

3. Построить  степенную модель множественной  регрессии  ; дать экономическую интерпретацию параметров .

4. Для каждой  из моделей:

– найти коэффициент  множественной корреляции;

– найти коэффициент детерминации;

– проверить  значимость уравнения регрессии  в целом с помощью F – критерия Фишера;

– найти среднюю  относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить  сводную таблицу вычислений; выбрать  лучшую модель.

6. Найти частные  коэффициенты эластичности и - коэффициенты.

7. Пояснить  экономический смысл всех рассчитанных  характеристик.

8. По линейной  модели регрессии сделать прогноз  на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х₁ (объема капиталовложений) и х₂ (основных производственных фондов).

 

1 вариант:

 

Время, t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Выручка, у	36,8	40,1	41,5	38,7	42,0	39,9	43,2	43,8	40,0	42,4
Объем капиталовложений, х1	12,1	12,4	12,3	12,0	12,9	12,7	13,1	13,2	12,9	13,5
Основные произв. фонды, х2	6,1	6,2	6,9	6,7	7,0	7,1	7,2	7,4	7,3	7,4