Теория и техника научного эксперимента

b₁^*= b₁ + b₂₃ ;  b₂^*= b₂ + b₁₃ ;  b₃^*= b₃ + b₁₂ .

Планы типа 2^k–р являются ортогональными для моделей с взаимодействиями. Поэтому для вычисления оценок коэффициентов получаются простые формулы, как и для случая ПФЭ

.     (1.14)

 

Планы дробных реплик строят различным  образом, но так, чтобы соблюдались  основные свойства матрицы планирования. Например, ДФП 2^3–1 можно представить одной из двух полуреплик, генераторами которых являются x₃ = x₁x₂ и x₃ = – x₁x₂ соответственно. Определяющие контрасты этих полуреплик: x₃²  = I = x₁x₂x₃ и x₃²  = I = – x₁x₂x₃ .

В этих полурепликах смешивание факторов задается соотношениями:

а) x₁ = x₂x₃ ,  x₂ = x₁x₃ ,  x₃ = x₁x_{2 ;}

б) x₁ = – x₂x₃ ,  x₂ = – x₁x₃ ,  x₃ = – x₁x₂ .

Коэффициенты линейного полинома в каждой полуреплике:

а) b₁^* = b₁ + b₂₃ ;  b₂^* = b₂ + b₁₃ ;  b₃^* = b₃ + b₂₃ ;

б) b₁^* = b₁ – b₂₃ ;  b₂^* = b₂ – b₁₃ ;  b₃^* = b₃ – b₂₃ .

Реализовав обе полуреплики  путем совместной обработки результатов  экспериментов можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия (такой вариант плана соответствует ПФЭ).

Разрешающая способность полуреплик (возможность раздельного определения  коэффициентов уравнения) зависит  от генерирующих соотношений. Так, если для плана 2^4–1 выбрать генерирующее соотношение x₄ = x₁x₂, то получим реплику с контрастом I =  x₁x₂x₄ и разрешающей способностью x₁ = x₂x₄ и т.д. Здесь линейные эффекты определяются совместно с парными взаимодействиями. Очевидно, что в первую очередь следует пренебречь взаимодействием более высоких порядков из-за их более низкой вероятности существования по сравнению с парными. У полуреплики с контрастом I = x₁x₂х₃x₄ или равноценным I = – x₁x₂х₃x₄ линейные эффекты будут определяться совместно уже только с тройными взаимодействиями, что повышает точность оценок параметров модели (потенциально величина смещения в оценке коэффициента уменьшается). С ростом количества независимых переменных растет разрешающая способность полуреплик, позволяя оценивать раздельно сначала линейные эффекты, затем парные, тройные  взаимодействия и т. д. Но при этом растет и избыточность экспериментов.

Реплики можно строить высокой  степени дробности, сокращая тем  самым количество экспериментов. Пусть  необходимо изучить влияние пяти переменных и известно, что все эффекты взаимодействия пренебрежимо малы. Для линейного приближения следует определить шесть коэффициентов, что потребует применения плана с количеством точек не менее шести. Ближайшее большее число, соответствующее целой степени 2, равно восьми, это дает возможность получить дробную реплику, эквивалентную ПФЭ 2³, т. е. реплику 2^{5 – 2} или четвертьреплику. Для построения четвертьреплики необходимы два генерирующих соотношения. В целях построения такой реплики целесообразно пожертвовать тройным и одним из двойных взаимодействий. Пусть этим двойным взаимодействием будет x₁x₂. Тогда можно построить четыре различные четвертьреплики, каждая из которых задается двумя генерирующими соотношениями:

а) x₄ = x₁x₂ ,  x₅ = х₁x₂x_{3 ;}

б) x₄ = x₁x₂ ,  x₅ = – х₁x₂x_{3 ;}

в) x₄ = – x₁x₂ ,  x₅ = х₁x₂x_{3 ;}

г) x₄ = – x₁x₂ ,  x₅ = – х₁x₂x₃ .

Определяющие контрасты каждой четвертьреплики задаются двумя  соотношениями:   

а) I = х₁x₂x₄ , I = х₁x₂x₃x_{5 ;}

б) I = х₁x₂x₄ , I = –  х₁x₂x₃x_{5 ;}

в) I = – х₁x₂x₄ , I = х₁x₂x₃x_{5 ;}

г) I = – х₁x₂x₄ , I = – х₁x₂x₃x₅ .

Из этой совокупности четвертьреплик следует выбрать только одну, например, выберем реплику, задаваемую первой парой генерирующих соотношений. Матрица  планирования ДФП получается из матрицы  ПФЭ 2^k–p для k–p основных факторов добавлением рстолбцов, элементы которых вычисляются по соответствующим генерирующим соотношениям, табл. 1.3.

Таблица 1.3

Матрица планирования						Вектор  результатов
х0	х1	х2	х3	х4	х5
+	–	–	–	+	–	y1
+	+	–	–	–	+	y2
+	–	+	–	–	+	y3
+	+	+	–	+	–	y4
+	–	–	+	+	+	y5
+	+	–	+	–	–	y6
+	–	+	+	–	–	y7
+	+	+	+	+	+	y8

Для полной характеристики разрешающей  способности четвертьреплик вводят обобщающие определяющие контрасты, третий компонент которых получается путем  перемножения попарно первых двух контрастов. Для выбранной четвертьреплики  обобщающий определяющий контраст I = х₁x₂x₄ = х₁x₂x₃x₅ = x₃x₄x₅ .

Все совместные оценки находятся путем  умножения обобщающего определяющего  контраста последовательно на х₁, х₂ и т.д.  В рассматриваемом случае совместные оценки задаются соотношениями:

x₁ = x₂x₄ = x₂x₃х₅ = x₁x₃x₄х₅,

x₂ = x₁x₄ = x₁x₃х₅ = x₂x₃x₄х₅,

.    .    .    .    .    .    .

x₅ = х₁x₂x₄х₅= x₁x₂х₃ = x₃x₄ .

Оценки коэффициентов линейного  полинома задаются соотношениями:

b₁^* = b₁ + b₂₄ + b₂₃₅ + b₁₃₄₅ ,

b₂^* = b₂ + b₁₄ + b₁₃₅ + b₂₃₄₅ ,

и  т. д.

Разрешающая способность выбранной четвертьреплики невысокая – все линейные эффекты определяются совместно с парными взаимодействиями. Этой репликой можно пользоваться для оценки линейных эффектов при условии равенства нулю соответствующих парных взаимодействий. Если такой уверенности нет, то следует применить полуреплику (что требует в два раза большего количества точек плана эксперимента по сравнению с четвертьрепликой) с генерирующим соотношением x₅ = х₁x₂x₃x₄, пользуясь которым, можно разделить все линейные эффекты и парные взаимодействия.

Построение обобщающего определяющего  контраста для реплик более высокой  степени дробности производится аналогично четвертьреплике: исходные контрасты сначала перемножаются  попарно, получаются контрасты первого  уровня; затем контрасты первого  уровня снова перемножаются попарно, получаются контрасты второго уровня и так далее, пока не будет исчерпана возможность перемножения. Если получается два и более одинаковых контрастов, то из них оставляется только один. Обобщающий определяющий контраст составляется путем перечисления выражений для всех сформированных контрастов.

Взаимодействие факторов, выбранных  в качестве генераторов плана, может  быть значимым или незначимым. Для  построения дробных реплик следует  выбирать незначимые взаимодействия, которые выбираются по физическим соображениям на основе априорных сведений. Следует учитывать, что ДФЭ позволяет получить несмещенную оценку градиента функции отклика тогда и только тогда, когда ее обобщающий определяющий контраст больше трех. Наличие смещения в оценке градиента увеличивает количество шагов оптимизации, вносит систематическую ошибку в описание функции отклика.

 

Задание 2

Задача 12

Получить  линейное уравнение регрессии по данным результата эксперимента. Определить центр плана и интервалы варьирования.

Записать линейное уравнение регрессии в кодированных переменных, без учета взаимодействия факторов.

 

Таблица 2.1 – Начальные значения

 

X1	10	30	10	30	10	30	10	30
X2	20	20	40	40	20	20	40	40
X3	0	0	0	0	10	10	10	10
У	4	6	8	10	4	4	8	8

 

Определяем  центр плана:

 

  

 

Определяем  интервал варьирования:

 

 

Таблица 2.2 – Натуральные значения

 

X	20	30	5
	10	10	5
	30	40	10
	10	20	0

 

Таблица 2.3 – Матрица планирования

 

	X0	X1	X2	X3	У
1	+	-	-	-	4
2	+	+	-	-	6
3	+	-	+	-	8
4	+	+	+	-	10
5	+	-	-	+	4
6	+	+	-	+	4
7	+	-	+	+	8
8	+	+	+	+	8

 

 

Коэффициент уравнения регрессии определяем следующим образом:

 

Линейное  уравнение регрессии в кодированных переменных, без учета взаимодействия факторов записывается следующим образом:

 

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+…+b

 

Y=6.5+0.5X₁+2X₂-0.5X₃

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Н.И. Сидняев, Н.Т. Вилисова, Введение в теорию планирования эксперименте. – М.: издательство МГТУ, 2011  
2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1988. – 280 с.; 
3. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Мн.: Издательство БГУ, 2002. – 302 с.; 
4. Основы научных исследований: Учебник для технических вузов / В.И.Крутов, И.М.Грушко, В.В.Попов и др.; Под ред. В.И.Крутова, В.В.Попова. – М.: Высшая школа, - 1989. – 400с.: ил.; 
5. Пинчук С. И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем: Учеб. Пособие. Днепропетровск: ООО «Независимая издательская организация «Дива», 2008.248 с.
6. Планирование эксперимента в технике / В.И.Барабащук, Б.П.Креденцер, В.И.Мирошниченко; Под ред. Б.П.Креденцера. – К.: Техніка, 1984. – 200с., ил.