Теория и техника научного эксперимента

Фактор должен быть управляемым, т.е. экспериментатор может поддерживать его постоянное значение в течение  всего опыта. Для фактора необходимо указать его конкретные значения и  средства контроля. Сам фактор должен быть первичным, ибо сложно управлять фактором, который в свою очередь является функцией других факторов. Для каждого фактора следует указать точность его задания и поддержания в ходе эксперимента.

Одновременное изменение факторов предполагает их совместимость, что означает осуществимость и безопасность всех их сочетаний. Необходимо также обеспечить независимость изменения каждого фактора, что означает возможность установления любого значения фактора вне связи со значениями других факторов.

Цель исследования, требуемая точность получаемых результатов, имеющиеся  ресурсы ограничивают множество  допустимых моделей  функции отклика (с усложнением модели и повышением точности оценки показателей резко возрастает объем необходимых опытов) и соответственно предопределяют план проведения экспериментов.

 

 

Полный факторный эксперимент  типа 2^k

 

На начальных этапах оптимизации  для определения градиента применяют  неполные полиномы второго порядка  или линейные полиномы [2, 5, 6]. Вычисление оценок коэффициентов таких полиномов осуществляется на основе обработки результатов реализации наиболее простых планов, в которых каждый фактор принимает только два значения vi, min или vi, max, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня или центра плана по данному фактору. Значения уровней варьирования выбирает исследователь, исходя из возможного диапазона изменения каждого фактора и возможности применения линейной аппроксимации функции отклика в выбранном диапазоне изменений параметра. Без ограничения общности можно считать, что кодированные значения xi принимают значения – 1 и +1 соответственно (или просто – или +). Множество всех точек вk-мерном пространстве, координаты которых являются комбинациями "+" и "–", называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента типа 2k (ПФЭ). Количество точек в этом плане N =2k.

Для примера возьмем полный факторный  эксперимент с тремя независимыми переменными x1, х2 и x3, табл. 1.1.

 

Таблица 1.1

Матрица планирования								Вектор результатов
x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3	y
+	–	–	–	+	+	+	–	y1
+	–	–	+	+	–	–	+	y2
+	–	+	–	–	+	–	+	y3
+	–	+	+	–	–	+	–	y4
+	+	–	–	–	–	+	+	y5
+	+	–	+	–	+	–	–	y6
+	+	+	–	+	–	–	–	y7
+	+	+	+	+	+	+	+	y8

 

Второй, третий и четвертый столбцы  таблицы соответствуют собственно плану экспериментов, пятый – восьмой столбцы содержит значения произведений независимых переменных. Фиктивная переменная x0 =1 (первый столбец) введена для единообразия записи расчетных формул коэффициентов полинома. Строки соответствуют опытам, например, первая строка характеризует эксперимент, в котором все независимые переменные находятся на нижнем уровне.

Существует несколько способов построения подобных матриц планирования. В частности можно воспользоваться  приемом, характерным для записи последовательности двоичных чисел. В столбце последней переменной x3 знаки меняются поочередно, в столбце предпоследней переменнойx2 – чередуются через два элемента, третьей справа переменной x1 – через четыре элемента. Аналогично строится матрица для любого количества переменных, порядок перечисления переменных не играет роли. Столбцы с произведениями переменных вычисляются путем умножения значений элементов в соответствующих столбцах простых переменных.

Из анализа матрицы планирования легко видеть, что полный факторный эксперимент обладает свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных  столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

    (1.7)

симметричности. Сумма всех элементов  любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например

     (1.8)

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной

    (1.9)

Первые два свойства обеспечивают независимость оценок коэффициентов  модели и допустимость их физической интерпретации. Нарушение этих свойств приводит к взаимной зависимости оценок и невозможности придания смысла коэффициентам.

Включение в матрицу планирования переменных вида xi2 приведет к появлению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцомx0. Следовательно, нельзя будет определить, за счет чего получено значение b0. Поэтому планы ПФЭ 2k не применимы для построения функции отклика в виде полного полинома второй степени.

Оценки коэффициентов  функции отклика

С помощью матрицы планирования, описанной в табл. 1.1, можно вычислить оценки коэффициентов неполного полинома третьей степени

y' = b0 + b1x1 + b2x2 +bх3 +b12x1x2 +b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2х3

или линейной функции

y' = b0 + b1x1 + b2x2 +b3х3.

Первый вид полинома позволяет оценить не только влияние отдельных факторов, но и один из часто встречающихся видов нелинейности, когда эффект одного фактора зависит от уровня других факторов, т.е. присутствует эффект взаимодействия факторов. Эффект взаимодействия вида xi xj называют парным, xi xj xk – тройным и т. д. С ростом количества факторов число возможных взаимодействий быстро увеличивается. Суммарно количество всех коэффициентов функции отклика такого типа равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Оценки коэффициентов полинома определяются на основе метода наименьших квадратов и для рассматриваемого типа ПФЭ вычисляются по простым соотношениям

; .

(1.10)

Здесь величина y  соответствует значению отклика  в указанной точке факторного пространства при отсутствии повторных опытов или является оценкой математического ожидания

     (1.11)

значений функции отклика по всем ru повторным опытам в данной точке. Повторные опыты проводятся в тех случаях, когда на функционирование системы оказывают влияние случайные воздействия. Количество повторных опытов в разных точках плана может различаться.

Допустима следующая интерпретация  оценок коэффициентов:

b0 соответствует значению функции отклика в центре проводимого эксперимента;

bi равен приращению функции при переходе значения фактора i с нулевого уровня на верхний (это вклад соответствующего фактора в значение функции);

bij равен нелинейной части приращения функции при одновременном переходе факторов i и j с нулевого уровня на верхний и т.п.

Ошибки в определении коэффициентов  полинома можно охарактеризовать соответствующей  дисперсией. С учетом того, что кодированные значения факторов принимают значения +1 и – 1, оценка дисперсии коэффициента определяется соотношением

.

(1.12)

Следовательно, оценка дисперсии всех коэффициентов одинакова и определяется только дисперсией средних значений функции отклика и числом опытов. Эту формулу можно применять, если количество опытов во всех точках плана одинаково. При факторном эксперименте, в отличие от классического, одновременно варьируются все факторы, поэтому каждый коэффициент полинома определяется по результатам всех экспериментов, тем самым оценка дисперсии коэффициентов получается в N раз меньше средней дисперсии всех опытов. Оценка дисперсии среднего значения в конкретной точке плана

,     (1.13)

где su2 – оценка дисперсии функции отклика в точке u, ru – число повторных опытов в этой точке плана [7, стр. 50]. Дисперсия оценок всех коэффициентов одинакова, поэтому ПФЭ рассмотренного типа являются ротатабельным.

При использовании неполных полиномов k-го порядка количество точек плана равно количеству оцениваемых параметров (насыщенное планирование). Поэтому не остается степеней свободы для проверки гипотезы об адекватности представления результатов эксперимента заданной математической моделью. Если применять полиномы первой степени, то тогда остаются степени свободы для проверки гипотезы об адекватности модели.

Дробный факторный эксперимент

С ростом количества факторов k  число точек плана в ПФЭ растет по показательной функции 2^k. Планы ПФЭ позволяют получить несмещенные оценки градиента функции отклика в центральной точке, но в случае применения линейного полинома оказываются недостаточно эффективными по количеству опытов при большом числе независимых переменных, так как остается слишком много степеней свободы на проверку адекватности модели. Например, при k = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней. Хотя большое количество опытов и приводит к существенному снижению погрешности в оценке коэффициентов, все же такое число степеней свободы для проверки адекватности является чрезмерным.

Таким образом, в случаях, когда  используются только линейные приближения  функции отклика, количество опытов следует сократить, используя для  планирования так называемые регулярные дробные реплики от ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования. Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение  указанных дробных реплик 2^{k – 1}, 2^k–2 соответственно.

Построение регулярной дробной  реплики или проведение дробного  факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2^k–p предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k–p определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Иначе говоря, в  дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Но именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Таблица 1.2

Матрица планирования				Вектор результатов
x0	x1	x2	x3	y
+	–	–	+	y1
+	–	+	–	y2
+	+	–	–	y3
+	+	+	+	y4

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана. Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2^k– p должно быть задано p различных генераторов). Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования. Примером записи генератора для плана 2^3–1 служит выражение x₃ = x₁x₂, табл. 1.2. Матрица планирования ДФП типа 2^k– p содержит k + 1 столбец и N = 2^k– p строк.

Оценки  коэффициентов функции отклика  в дробном факторном эксперименте

 

 

Применение дробных реплик ведет  к смешиванию оценок параметров модели, а их построение предполагает исключение из рассмотрения некоторых взаимодействий факторов. Оценки смешиваются в связи с тем, что каждый из р столбцов дробного факторного плана совпадает с некоторым произведением основных факторов.

Запись плана в виде 2^k–p не дает полной характеристики регулярной дробной реплики, так как основные эффекты можно приравнять к различным эффектам взаимодействия. Правило смешивания, определяющее коррелированные основные эффекты и эффекты взаимодействия, удобно описывать с помощью определяющего контраста реплики. Определяющий контраст полуреплики получается путем умножения генерирующего соотношения на его же левую часть, а так как для любой кодированной переменной x_i²=1, то левая часть формулы определяющего контраста всегда равна единице и обозначается I. В частности, для ДФП типа 2^3–1 и генераторе x₃ = x₁x₂ имеет место определяющий контраст I = x₁x₂x₃ (генератор умножается на переменную x₃, следовательно, x₃ x₃ = I =  x₁ x₂ x₃).

Чтобы определить, с какими параметрами  смешана оценка коэффициента данного  фактора, следует умножить обе части определяющего контраста на этот фактор. Учитывая равенство x_i²=1, получим порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании конкретного плана. В рассматриваемом примере для плана 2^3–1 и определяющего контраста I = x₁x₂x₃ порядок смешивания факторов следующий:

x₁ = x₁² x₂ x₃ = x₂ x₃;  x₂ = x₁ x₂² x₃ = x₁ x₃;  x₃ = x₁ x₂ x₃² = x₁ x₂ .

Оценки коэффициентов линейной модели для этого плана эксперимента не могут быть получены раздельно  и будут смешанными: