Синтез корректирующего элемента

3. Синтез корректирующего элемента методом расширенных частотных характеристик

3.1. Синтез П-регулятора:  R(s) = S₁

1) Для П-регулятора  рабочую частоту и настройку  S₁ находят:

из системы:

2) Проведем необходимые  вычисления:

- найдем передаточную функцию замкнутой системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

- степень колебательности(m) замкнутой системы, для этого приравниваем знаменатель нулю и находим корни уравнения:

 

 

         

 

 

  

 

По полученным корням находим степень колебательности m=0.1.

- заменяем s на mw+iw  и выделяем действительную и мнимую части

 

- находим A(w) и φ(w):

Полученные данные будем  использовать в дальнейшем при синтезе  регуляторов методом РЧХ.

 

-решаем уравнение:

 

 

 

 

 

 

Мы нашли рабочие частоты, теперь мы можем найти настройки S1, путем подстановки w во второе уравнение системы. Подставлять будем только действительные частоты.

 

3) Рассчитаем первый П-регулятор:

- найдем настройку S1:

 

 

- находим ПФ регулятора:

 

- найдём ПФ замкнутой  системы с полученным регулятором  и определим устойчивость системы  методом Ляпунова:

 

 

 

 

 

- система устойчива, т.к. все  корни левые, строим переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено значение Т_р.

 

4) Рассчитаем второй П-регулятор:

- найдем настройку S1:

 

- находим ПФ регулятора:

 

- найдём ПФ замкнутой  системы с полученным регулятором  и определим устойчивость системы  методом Ляпунова:

 

 

 

 

 

- система устойчива,  т.к. все корни левые, строим  переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено значение Т_р и σ.

 

 

 

 

 

 

3.2. Синтез И-регулятора:  R(s) = S₀/s

1) Для И-регулятора  рабочую частоту находят и настройку S₀ из системы:

2) Пользуясь ранее  найденным выражением для φ(w), решаем уравнение:

 

Это уравнение невозможно решить, поэтому И-регулятор разработать  не удалось.

 

3.3. Синтез ПИ-регулятора:  R(s) = S₁+S₀/s

1) Для ПИ-регулятора  настройки S₁ и S₀ находим из системы:

2) Зная ранее рассчитанное выражение для φ(w), построим линию равной степени колебательности (зависимость S₀(S₁)):

3) По линии равной степени колебательности находим w_max=360, w_p находим из условия:

w_p= w_max*1,2

w_p=432

4) Зная w_p, находим настройки S₀ и S₁:

 

 

 

5) Получаем ПИ-регулятор:

                

 

 

6. Проверим систему на устойчивость методом Ляпунова:

 

 

 

 

 

Получили не устойчивую систему, т.к. не все корни левые. Следовательно мы не можем построить переходную характеристику.

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит.

 

3.4. Синтез ПИД-регулятора:  R(s) = S₁+S₀/s+S₂*s

1) Для ПИД-регулятора с тремя параметрами настройки можно найти настройки S₀ и S₁ как функции S₂. Задавая различные S₂, строим линии колебательности в плоскости параметров S₁  и S₀, затем рассчитываем переходные процессы и выбираем оптимальные настройки регуляторов.

Выражения для нахождения настроек S₁ и S₀:

 

 2) Пользуясь полученными ранее данными, строим линии равной степени колебательности (зависимости S₀(S₁)) для трёх значений S₂(0,1; 0,2; 0,5) и рассчитываем, соответственно, три ПИД-регулятора.

 

3) Рассчитываем первый ПИД-регулятор(S₂=0,1):

- строим линию равной степени колебательности:

- по линии равной степени колебательности находим w_max=168.1, w_p находим из условия:

w_p= w_max*1,2

w_p=201.72

- зная w_p, находим настройки S₀ и S₁:

- получаем ПИД-регулятор:

- проверим систему на устойчивость методом Ляпунова:

 

 

Получили устойчивую систему, т.к. все корни левые. Строим переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено значение Т_р.

 

3) Рассчитываем второй  ПИД-регулятор(S₂=0,2):

- строим линию равной  степени колебательности: 

- по линии равной  степени колебательности находим w_max=186.2, w_p находим из условия:

w_p= w_max*1.2

w_p=223.44

- зная w_p, находим настройки S₀ и S₁:

- получаем ПИД-регулятор:

- проверим систему  на устойчивость методом Ляпунова:

 

Получили устойчивую систему, т.к. все корни левые. Строим переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено  значение Т_р.

3) Рассчитываем третий ПИД-регулятор(S₂=0,5):

- строим линию равной  степени колебательности: 

- по линии равной  степени колебательности находим w_max=240.5, w_p находим из условия:

w_p= w_max*1.2

w_p=288.6

- зная w_p, находим настройки S₀ и S₁:

- получаем ПИД-регулятор:

- проверим систему  на устойчивость методом Ляпунова:

 

Получили устойчивую систему, т.к. все корни левые. Строим переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено  значение Т_р.