Синтез корректирующего элемента

4. Синтез корректирующего элемента методом незатухающих колебаний.

В соответствии с этим методом, расчет настроек регулятора проводят в два этапа. На первом этапе определяют критические настройки пропорциональной составляющей S_1кр, при условии, что остальные настройки равны  S₀ = S₂ = 0, и колебательность равна m = 0   при которых система управления будет находиться на грани устойчивости, и соответствующая ей частота w_кр. На втором этапе по S_1кр и w_кр определяют оптимальные настройки регуляторов S₀, S₁, S₂, обеспечивающие коэффициент затухания ξ = 0,8÷0,9.

Критическую настройку S_1кр и критическую частоту w_кр находим из системы (при m=0):

Оптимальные настройки  регуляторов находят по следующим  формулам:

 

П-регулятор: S₁ = 0.5* S_1кр

 

ПИ-регулятор: S₁ = 0.45* S_1кр

                          S₀ = 0.086* S_1кр *w_кр

 

ПИД-регулятор: S₁ = 0.6* S_1кр

                             S₀ = 0.192* S_1кр *w_кр

                             S₂ = 0.471* S_1кр /w_кр

 

Находим критические  настройки. Для этого:

- найдем ПФ разомкнутой системы:

 

- заменяем s на iw  и выделяем действительную и мнимую части:

- находим A(w) и φ(w):

-решаем уравнение и находим  w_кр:

w_кр=0,737

-находим критическую настройку  S_1кр:

S_1кр=(A(w_кр))^-1

S_1кр=0.36

4.1. Синтез П-регулятора:  R(s) = S₁

1) Поставим  значение S_1кр в наше уравнение и найдем S₁. Получаем ПФ

П-регулятора:

S₁ = 0.5* S_1кр = 0.18

R(s) = 0.18

2) Подставляем наш  корректирующий элемент в замкнутую  систему и определяем ее устойчивость  методом Ляпунова:

 

- система устойчива,  т.к. все корни левые, строим переходную характеристику H(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено  значение Т_р.

 

 

4.2. Синтез  ПИ-регулятора: R(s) = S₁+S₀/s

1) Найдем коэффициенты  передаточной функции корректирующего  элемента, подставив в формулу  ранее полученные S_1кр  и w_кр:

S₁ = 0.45* S_1кр

S₀ = 0.086* S_1кр *w_кр

2) Определим передаточную функцию  корректирующего элемента:

3) Подставляем наш  корректирующий элемент в замкнутую  систему и определяем ее устойчивость методом Ляпунова:

 

 

Так как все корни  характеристического уравнения  левые, значит, система устойчива. Построим передаточную функцию данной системы Н(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено  значение Т_р.

 

4.3. Синтез ПИД-регулятора:  R(s) = S₁+S₀/s+S₂*s

1) Найдем коэффициенты  передаточной функции корректирующего  элемента, подставив в формулу  ранее полученные S_1кр  и w_кр:

S₁ = 0.45* S_1кр= 0.051

S₀ = 0.086* S_1кр *w_кр= 0.162

S₂ = 0.471* S_1кр /w_кр= 0.23

2) Определим передаточную  функцию корректирующего элемента:

3) Подставляем наш  корректирующий элемент в замкнутую  систему и определяем ее устойчивость  методом Ляпунова:

 

 

 

Так как все корни  характеристического уравнения  левые, значит, система устойчива. Построим передаточную функцию данной системы Н(t):

Как видно система  не отвечает заданным параметрам качества,  следовательно, данный регулятор нам  не подходит. Очевидно, что превышено  значение Т_р.