Исследование статики, кинематики и динамики механической системы

 

Результаты расчетов приведены  в приложении А

 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО

     ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ

 

          2.1 Определение скоростей точек

Вычисляем скорость пальца А кривошипа ОА при заданном положении  механизма:          

                                                      (10)

Скорость точки А перпендикулярна  к кривошипу ОА. Скорость ползуна  В направлена по горизонтали (Рисунок 6).

Рисунок 6 – Кривошипно-ползунный механизм

По теореме косинусов:

 

 

 

 

 
 

Угловая скорость звена AB определяется по формуле:                         

 

          Подставив уравнение (10) в уравнение (11) найдем угловую скорость звена AB:

   

                                                                                          (12)

 

Скорости точек В и С определяются по формулам:       

         

 

Следовательно,

 

              

 

        

       

 

         2.2 Определение ускорений точек

         Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений (Рисунок 7).

            

            

            

           

           

 

         Вектор направлен от точки А к точке О.

Рисунок 7 – Кривошипно-ползунный механизм

         

          Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

         

          или

          

                                      

          Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А

Уравнение имеет вид:

 

Подставив уравнение (12) в  уравнение (14) найдем центростремительное  ускорение точки В

 

 

Вектор  направлен от В к А.

          Проектируем векторное равенство (13) на оси X и Y, получаем:   
          
                                                                                    (15) 
                                                                                (16)

          

Из уравнения (15) определим ускорение точки В:

 

          

 Из уравнения (16) определим касательное ускорение точки В:

              

             

          

          Для определения ускорения точки С найдем угловое ускорение шатуна АВ. 
 

 
  Определяем ускорение точки С:

              

             

   

Вращательное и центростремительное  ускорение точки.

           

           Ускорение точки С находим способ проекций:

 

              

 
 Из уравнения (17) определим ускорение точки С:

 

            

           

       

 

 

            

2.3 Проверка расчетов

          Проверка была произведена на ЭВМ. Программа «TMM Analyzer»

Рассчитаем скорость и  ускорение для точки А.

 

             

  

 

Рассчитаем угловую скорость звена АВ.

   

             

    

   Рассчитаем скорость и ускорение для точки В.

 

   

   

    

   Рассчитаем скорость и ускорение для точки С

   

    

   

   Рассчитаем угловое ускорение звена АВ.

 

    

            

            Результаты проверки на программе “TMM Analyzer” приведены в приложении Б.

 

 

 

Таблица 4 – Сравнение  расчетов

Величины и единицы  измерения	Расчеты, выполненные на ЭВМ	Расчеты выполненные аналитическим методом
	4	4
	2,89	2,89
	2,99	2,99
	40	40
	45,98	45,98
	41,53	41,53
	4,47	4,47
	20,66	20,66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

 

Необходимо для заданной механической системы (рисунок 8) определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Тела 1 и 4 – грузы, тело 2 – неоднородный сплошной цилиндр, тело 3 – однородный сплошной цилиндр.

Рисунок 8 – Механическая система

 

3.1 Применение дифференциальных уравнений движения к  
                 исследованию механической системы

Постановка задачи для  заданной механической системы определить скорость, ускорение, закон движения каждого тела, входящего в систему. Определить натяжения в ветвях нити и силу трения. Массой нити пренебречь. Трения качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать.

Разорвем нить и покажем  натяжения нитей (рисунок 9). Затем составим для каждого тела дифференциальное уравнение движения.

Рисунок 9 – Схема для исследования механической системы по методу

дифференциальных уравнений  движения механической системы

 

Моменты инерции тел:

 

 

Сила Трения:

 

 

 

Кинематические зависимости:

 

 

1. Составим дифференциальное уравнение для первого груза (Груз 1 - поступательное движение):

 

2. Составим дифференциальное уравнение для блока 2 (вращение вокруг неподвижной оси):

 

 

Составим дифференциальное уравнение для подвижного блока 3 (плоскопараллельное движение) :

 

 

 Составим дифференциальное уравнение для груза 4 (поступательное движение)

 

Решим систему уравнений  и выразим натяжения нитей:

 

Из уравнения (21) выразим натяжение нити Т3-4:

 

Из уравнения (19) выразим натяжение нити Т2-3:

 

Из уравнения (17) выразим натяжение нити Т1-2:

 

 

Решим систему уравнений и выразим ускорение a₁:

 

Из уравнения (17):

 

3.2 Применение теоремы изменения кинетической энергии

Механическая система  под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя, необходимо определить ускорения всех тел, входящих в систему (Рисунок 10).

 

Рисунок 10 – Схема к исследованию механической системы по теореме об изменении кинетической энергии

Для решения применим теорему  об изменении кинетической энергии  системы в интегральном виде:

,

где   и – кинетическая энергия системы в ее начальном и конечном положениях;

        – сумма работ внешних сил, приложенных к системе;

        – сумма работ внутренних сил системы.

 

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых  тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

 

.          (25)

 

Так как в начальном  положении система находится  в покое, то . Из этого следует, что уравнение примет вид:

 

.          (26)                 

Кинетическая энергия  рассматриваемой системы T в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4:

 

.         (27) 

Кинетическая энергия первого груза, который движется поступательно:

.                                (28) 

Кинетическая энергия  второго блока, с заданным радиусом инерции, совершающего вращательное движение:

 

;                   (29)

.                   (30)

 

 

Кинетическая энергия третьего тела, движущегося плоскопараллельно и вращательно:

 

.        (31)

 

Кинетическая энергия  четвертого тела, движущегося плоскопараллельно:

 

                                                                                                                   (32)

 

Кинетическая энергия  механической системы будет равна  сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему:

    (33)             

 

Далее запишем сумму работ  всех внешних сил, действующих на механическую систему. Ее составляет работа сил тяжести каждого тела , , и работа  силы трения третьего груза .

 

.    (34)   

Работа нормальной силы:

 

           (35)

 

Работа силы тяжести первого груза равна:

 

.                (36)                      

 

Работа силы веса второго блока будет равна нулю, так как блок  не совершает никаких перемещений:

 

.                    (37)

 

 

Работа силы трения первого груза равна:

 

.                               (38)

 

 

Работа силы тяжести третьего тела равна:

 

        (39)

 

 

Работа силы тяжести четвертого тела равна:

 

        (40)

 

 

Выразим все переменные через  S, учтем, что зависимости между скоростями и соответствующими перемещениями одинаковы.

 

S - перемещение системы;

 

S₁=S - перемещение 1-го груза;

 

S_C3=0,625 S - перемещение центра масс подвижного блока 3;

 

S₄=0,625 S - перемещение груза 4.

Приравняем кинетическую энергию уравнение (33) и сумму работ всех внешних сил, уравнение (34):

 

 

 

Значение S найдём, проинтегрировав дважды значение a₁=0,56 :

 

          (41)

Подставим S из (41) и получим:

 

 

3.3 Определение движения центра масс

Вводим координатные оси  в схеме исследование механической системы по закону движения центра масс (Рисунок 11).

Векторная сумма всех внешних  сил действующих на механическую систему:

 

 

Проекции центра масс на координатные оси:

  

Рисунок 11 – Схема к исследованию механической системы по закону движения центра масс

 

 

Координата центра масс вдоль  оси Х

 

 

 равны нулю, так как четвертый груз не совершает движение по оси Х, а второй блок – сплошной неоднородный цилиндр не совершает движение ни по оси Х ни по оси Y, он совершает только вращательное движение, третий блок - сплошной однородный цилиндр не совершает движение по оси X. 
 Следовательно,

 

                                                          (42)

Координата центра масс вдоль  оси Y

 

Определяем из уравнения (41) вектор действующей силы на ось Х:

 

 

Определяем из уравнения (42) вектор действующей силы на ось Y:

 

 

Определяем главный вектор действующей силы:

 

 

 

3.4 Определение  количества движения механической системы.

Изменение количества движения, за какой либо промежуток времени, равно  векторной сумме всех внешних  сил приложенных к механической системе в этот промежуток времени.

 

 

Следовательно, изменение  количества движения равно:

 

Вводим координатные оси  в схеме исследование механической системы (Рисунок 12).

Рисунок 12 – Схема к  исследованию механической системы  изменению количества движения

 

Проекции скорости на оси  X и Y равны:

 

 

 

Проекция количества движения на ось Х равно:

 

 

Проекция изменение количества движения на ось Y равно:

 

 

Количество движения механической системы равно:

 

 

3.5 Применение общего уравнения динамики

Покажем на механической системе  веса тел G₁, G₂, G₃, G₄; ускорения первого груза а1 и третьего груза а3; угол поворота, совершающее вращательное  движение , ; угловое ускорение , ; силу трения первого груза ; силы инерции , , ;моменты сил инерции , ; как указано на (Рисунке 13).