Актуарные расчеты в страховании

Для застрахованного  возрастом 40 лет при сроке страхования 5 лет и норме доходности 3% годовых единовременная ставка на дожитие составит:

= (86805,0 * 0,86261)/ 88565,0 * 100 = 84,55 руб. со 100 руб. страховой  суммы.

Рассчитаем единовременную ставку на случай смерти () по формуле (2.28):

(2.28)

– число умирающих при  переходе от возраста к возрасту .

В случае, если застрахованному 40 лет и срок страхования 5 лет, ставка на случай смерти составит:

40А5 = (319*0,97087 + 336*0,94260 + 352*0,91514 + 369*0,88849 + 384*0,86261)\88565,0*100 = 1,82 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Таким образом, тарифная нетто-ставка (Тн) в рассматриваемом  примере составит 86,37 руб. со 100 руб. страховой суммы или 86,37%.

В практике страхования единовременные ставки применяются достаточно редко. Чаще всего условия страхования предусматривают внесение страхователем периодических страховых взносов, скажем ежегодных. Чтобы получить годовые взносы, нельзя просто поделить единовременный взнос на соответствующее количество лет страхования, т.к. необходимо учитывать потерю на доходах от инвестирования временно свободных средств, а также уменьшение числа застрахованных вследствие смертности, поэтому применяют так называемые коэффициенты рассрочки (2.29).

(2.29)

Для получения  годичной тарифной ставки следует ее единовременное значение разделить  на коэффициент рассрочки .

Определение нетто-ставки с помощью коммутационных чисел.

Б) Рассчитаем нетто-ставку при помощи таблицы коммутационных чисел.

Сначала определим  значения коммутационных чисел. Коммутационные числа представляют собой математическую комбинацию данных таблицы смертности и служат для упрощения, не имея при этом конкретного экономического смысла.

 

 

 

 

 

где – последнее значение таблицы коммутационных чисел.

В обозначениях коммутационных чисел формулы для  определения нетто-ставок на дожитие  и на случай смерти выглядят таким  образом:

 

 единовременная  ставка на дожитие              (2.30)

 единовременная  ставка на случай смерти     (2.31)

При расчете  тарифных ставок с использованием коммутационных чисел можно использовать специальные формулы (2.32), (2.33) для расчета годичных взносов:

(2.32)

где -годичный взнос на случай смерти страхователя возраста x лет на n лет.

(2.33)

 

где - годичный взнос на дожитие страхователя возраста х лет на n лет.

Аннуитеты.

   Аннуитет представляет договор  страхования , по которому выплачивается  годовая рента в течение какого-либо  периода жизни застрахованного  в сроки, установленные договором   в обмен на уплату однократной премии при подписании  договора. На практике годовая рента может выплачиваться и ежеквартально, и ежемесячно,  и с другой периодичностью, но в сумме равна начисленной за год.

   Виды аннуитетов:

• простой -  выплачивается годовая рента пожизненно;
• отсроченный – оговаривается период  между заключением договора и началом выплаты ренты;
• срочный – предусматривает выплату ренты  только до строго оговоренной даты или до преждевременной смерти до  ( до окончания действия договора страхования);
• гарантированный – предусматривается выплата ренты пожизненно ( до смерти застрахованного) или в течение гарантированного срока, в зависимости от длительности каждого из указанных периодов ( какой период будет дольше).  В случае смерти застрахованного в течение фиксированного периода рента будет выплачиваться наследникам до окончания этого периода. Общая сумма ренты может быть выплачена наследникам; единовременно;
• аннуитеты с защитой капитала. По этому договору застрахованный или его наследники получают полную стоимость уплаченной премии в любом случае. Застрахованному гарантируется пожизненная выплата дохода. Если же застрахованный умирает прежде, чем общая сумма выплаченной ренты будет равна сумме уплаченных премий, то оставшаяся разница выплачивается наследникам

   Кроме того, по способу  выплат различают аннуитет пренумерандо (вперед) - выплачивается  в начале каждого страхового года или другого  установленного договором периода, и аннуитет постнумерандо ( назад) – выплачивается в конце периода, установленного для очередной выплаты страхового обеспечения.

    Актуарная стоимость   аннуитета ( или стоимость потока)  представляет из себя сумму  последовательных платежей, дисконтированных  на некоторый момент, с учетом  вероятностей их выплат или,  другими словами, это математическое  ожидание последовательности дисконтированных платежей.

   Рассмотрим порядок расчета нетто-ставки с условием выплаты ренты. Для определения страховых тарифов с условием выплаты ренты используются формулы аннуитетов, а также коммутационные числа. Методика расчета исходит их того, что страхование с условием выплаты ренты представляет собой своего рода последовательное повторяемое страхование на дожитие:

(2.34)

Определим различные  виды аннуитетов для застрахованного  возрастом х при ежегодной выплате ренты в 1 руб. в табл.17.

Таблица 17.

Формулы для расчета страхового тарифа по страхованию жизни с  условием выплаты ренты

Вид аннуитета	Немедленные пожизненные	Отложенные на п лет пожизненные	Ограниченные на t лет немедленные	Ограниченные на t лет отложенные на n лет
Пренумрандо	Если выплаты производятся m раз в году:   m=12	Если выплаты производятся m раз в году: m=12
Постнумерандо	Если выплаты производятся m раз в году:   m=12	Если выплаты производятся m раз в году:   m=12

 

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте понятие актуарных расчетов.
2. Перечислите особенности страхового дела, влияющие на проведение актуарных расчетов.
3. Назовите основные задачи актуарных расчетов.
4. Определите классификацию актуарных расчетов.
5. Что следует понимать под тарифной политикой? Каковы цели и принципы тарифной политики?
6. Какие показатели страховой статистики используются в актуарных расчетах?
7. Какова структура тарифной ставки? Что такое брутто-ставка, нетто-ставка?
8. Перечислите основные элементы нагрузки.
9. Что в себя включают расходы на ведение дела?
10. Определите алгоритм расчета тарифной ставки по массовым рисковым видам страхования.
11. В чем заключаются особенности актуарных расчетов по добровольному медицинскому  страхованию.
12. Каким образом таблица смертности связана с актуарными расчетами по страхованию жизни?
13. Что такое норма доходности?
14. Что такое коммутационные числа? Для чего они служат?
15. Постройте алгоритм расчет  единовременной тарифной ставки по страхованию жизни при помощи таблицы смертности, при помощи таблицы коммутационных чисел?
16. Постройте алгоритм расчета тарифной ставки по страхованию жизни с условием выплаты ренты.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Рассчитайте брутто-ставку, если  известно, что показатель убыточности –  0,50 руб. на 100 руб. страховой суммы, в т.ч. за 5 предыдущих лет: 0,50  0,45  0,70  0,30  0,58 руб. на 100 руб. страховой суммы соответственно.

Расходы на ведение дела -  0,10 руб. на 100 руб. страховой суммы. Прибыль – 10%, резерв предупредительных мероприятий – 5% брутто-ставки.

2. Рассчитайте стоимость полиса  по добровольному медицинскому  страхованию (программа «Стоматология»), используя следующие данные:

Вид обращения	Число обращений на 1000 чел.
Пломбирование	100
Протезирование	5

 

Планируемая численность застрахованных – 500 человек.

Стоимость одного посещения, связанного с пломбированием –150 руб., протезированием – 500 руб. Среднее число посещений 3 и 1, максимальное – 5 и 2 соответственно по пломбированию и протезированию. Нагрузка – 20% брутто-ставки.

3. Рассчитайте брутто-ставку по  имущественному страхованию, используя  следующие данные:

-  количество заключенных  договоров страхования – 200;

-  экспертная оценка  вероятности наступления страхового  события – 0, 03;

-  средняя страховая  сумма – 60000  руб.;

-  среднее страховое  возмещение – 20000 руб.;

-  доля нагрузки в  структуре страхового тарифа  – 30%;

- вероятность непревышения  возможных возмещений над собранными  взносами – 0,90;

- данные о вероятных  отклонениях страхового возмещения  при наступлении страхового случая отсутствуют.

Нагрузка составляет 20%.

4. Рассчитайте брутто-ставку по  имущественному страхованию, используя   исходные данные задачи  №  3, при условии, что  средний  разброс страхового обеспечения составляет – 6000 руб.

5. В чем преимущества и недостатки  актуарных расчетов при помощи  таблицы смертности и при помощи  таблицы коммутационных чисел?

6. Какие факторы внешней среды   должен учитывать страховщик  при установлении нормы доходности? Объясните на примере.

7. Объясните, почему с финансовой  точки зрения расторжение договоров  страхования крайне невыгодно  страховщику.

8. Рассчитайте нетто-ставку на  дожитие и на случай смерти, если срок страхования составляет 1 год, норма доходности 15% годовых,  возраст застрахованного 40  лет.

9. Рассчитайте тарифную ставку  по страхованию жизни. Срок  страхования 5 лет. Норму доходности и размер нагрузки задайте самостоятельно.

10. Определите размер страхового  взноса при следующих условиях  страхования: по истечении 19 лет производятся ежегодные  в конце года выплаты ренты в размере 1000 руб.  Застрахованный возрастом 20 лет. Нагрузка  - 10%. Как изменится страховой платеж, если рента будет выплачиваться в размере 100 руб. ежемесячно?

11. Заключен договор страхования  дополнительной пенсии с условием выплат в начале каждого периода выплат. Определите размер страхового платежа для застрахованного 22 лет, если выплаты будут производиться, начиная с 40 лет. Размер пенсии, нагрузку, период выплаты задайте самостоятельно.