Статистические величины и показатели вариации

В нашей задаче число наблюдений небольшое, значит, оценивать существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции будем по формулам (70) и (71): = 0,88206/4,24264 = 0,2079; = 0,47114/0,2079 = 2,26618. При вероятности 95% t_табл=2,101, а при вероятности 99% t_табл=2,878, значит, t_РАСЧ< t_ТАБЛ, что дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0,47114 не значимым.

5. Подбор уравнения регрессии представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как вероятностную гипотетическую функциональную связь величины результативного признака у со значениями факторного признака х.

Уравнение регрессии можно  также назвать теоретической линией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими. Они обычно обозначаются (читается: «игрек, выравненный по х») и рассматриваются как функция от х, т.е. = f(x). (Иногда для простоты записи вместо пишут .)

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью  которой можно наиболее адекватно  отразить ту или иную зависимость  между признаками х и у, — одна из основных задач регрессионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей.

Для аналитической связи  между х и у могут использоваться следующие простые виды уравнений:

– прямая линия;   – парабола;

 – гипербола;   – показательная функция;

– логарифмическая функция и  др.

Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной), а все остальные — криволинейными зависимостями.

Выбрав тип функции, по эмпирическим данным определяют параметры  уравнения. При этом отыскиваемые параметры  должны быть такими, при которых  рассчитанные по уравнению теоретические  значения результативного признака были бы максимально близки к эмпирическим данным.

Существует несколько  методов нахождения параметров уравнения  регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.

.

Поставив данное условие, легко определить, при каких значениях  , и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной. Воспользуемся формулой (40) для нахождения параметров теоретической линии регрессии в нашей задаче, заменив параметр t на x.

                                                (72)

Исходные данные и все  расчеты необходимых сумм представим в таблице 9.

 

Таблица 9. Вспомогательные расчеты для решения задачи

i	x	y	x*x	y*x
1	20	60	400	1200	61,3362	36	21,7510304
2	25	76	625	1900	68,19425	100	4,81473306
3	28	70	784	1960	72,30908	16	39,8044904
4	19	73	361	1387	59,96459	49	36,4261739
5	23	48	529	1104	65,45103	324	0,30136806
6	20	52	400	1040	61,3362	196	21,7510304
7	26	80	676	2080	69,56586	196	12,7153575
8	19	70	361	1330	59,96459	16	36,4261739
9	30	84	900	2520	75,0523	324	81,9441353
10	20	63	400	1260	61,3362	9	21,7510304
11	28	62	784	1736	72,30908	16	39,8044904
12	21	73	441	1533	62,70781	49	10,838515
13	26	58	676	1508	69,56586	64	12,7153575
14	21	56	441	1176	62,70781	100	10,838515
15	20	63	400	1260	61,3362	9	21,7510304
16	19	50	361	950	59,96459	256	36,4261739
17	27	75	729	2025	70,93747	81	24,37861
18	26	82	676	2132	69,56586	256	12,7153575
19	23	61	529	1403	65,45103	25	0,30136806
20	27	64	729	1728	70,93747	4	24,37861
Итого	468	1320	11202	31232	1319,99348	2126	471,833551

 

 ;             ;

 

(66-23,4 a₁)*468+11202 a₁=31232

30888-10951,2 a₁ +11202 a₁ = 31232

250,8 a₁ =344

a₁=1,37161

=(1320-468*1,37161)/20 = 33,904

Отсюда искомая линия  регрессии: =33,904+1,37161x. Для иллюстрации построим график эмпирической (маркеры-кружочки) и теоретической (маркеры-квадратики) линий регрессии.

Рис.5. График эмпирической и теоретической линий регрессии.

6. Теоретическое корреляционное отношение представляет собой универсальный показатель тесноты связи. Измерить тесноту связи между коррелируемыми величинами – это значит определить, насколько вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного признака. Ранее были рассмотрены показатели, с помощью которых можно выявить наличие корреляционной связи между двумя признаками x и y и измерить тесноту этой связи: коэффициент Фехнера и линейный коэффициент корреляции.

Наряду с ними существует универсальный показатель – корреляционное отношение (или коэффициент корреляции по Пирсону), применимое ко всем случаям корреляционной зависимости независимо от формы этой связи. Следует различать эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е.

.                                                      (72)

Теоретическое корреляционное отношение  определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. представляет собой относительную величину, получаемую в результате сравнения среднего квадратического отклонения в ряду теоретических значений результативного признака со средним квадратическим отклонением в ряду эмпирических значений. Если обозначить дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , то каждая из них выразится формулами:

,                                              (73)

.                                             (74)

Сравнивая вторую дисперсию  с первой, получим теоретический коэффициент детерминации:

,                                         (75)

который показывает, какую  долю в общей дисперсии результативного  признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y. Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение:

.                                        (76)

Оно может находиться в  пределах от 0 до 1. Чем ближе его  значение к 1, тем теснее связь между  вариацией y и x. При <0,3 говорят о малой зависимости между коррелируемыми величинами, при 0,3< <0,6 – о средней, при 0,6< <0,8 – о зависимости выше средней, при >0,8 – о большой, сильной зависимости. Корреляционное отношение применимо как для парной, так и для множественной корреляции независимо от формы связи. При линейной зависимости .

В нашей задаче расчет необходимых  сумм для использования в формуле (75) приведен в последних двух столбцах таблицы 9. Тогда теоретический коэффициент детерминации по формуле (75) равен: ²_теор = 471,833551/ 2126 = 0,22193, то есть дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y, составляет 22,19%.

Теоретическое корреляционное отношение по формуле (76) равно: _теор= = 0,47109, что совпадает со значением линейного коэффициента корреляции и, следовательно, можно говорить о большой, сильной зависимости между коррелируемыми величинами.

 

 

 

 

 

 

 

Литература

Рекомендуемая литература (основная)

1. Воронин В.Ф., Жильцова Ю.В. Статистика: учебное пособие для ВУЗов. – М.: Экономистъ, 2004. – 301 с.
2. Статистика: Учеб. пособие/Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др.; Под ред. В.Г.Ионина. – Изд.2-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 384 с.
3. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Иванова Ю.Н. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 480 с.
4. Ефимова М.Р., Рябцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 304 с.

 

Рекомендуемая литература (дополнительная)

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. М.: Финансы и статистика, 2004.
2. Ковалевский Г.В. Индексный метод в экономике. М.: Финансы и статистика, 1989.
3. Симчера В.М. Методы сравнительного анализа статистических данных: Учебное пособие. М.: Изд-во ВЗФИ, 1987.
4. Практикум по статистике: Учеб пособие для вузов / Под ред. В.М. Симчеры. – М.: ЗАО «Финанстатинформ», 1999.
5. Башкатов Б.И. Практикум о международной экономической статистике. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2003.
6. Гусаров В.М. Экономическая статистика: Учеб. Пособие. – М.: Экономическое образование, 2004.
7. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2000.
8. Теория статистики: Учебник. / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2002.

 

Приложения

Приложение 1. Значения F-критерия Фишера

при уровне значимости 0,05

 

	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	161,5	200	215,7	224,6	230,2	234	238,9	243,9	249	254,3
2	18,5	19	19,16	19,25	19,3	19,33	19,37	19,41	19,45	19,5
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,9	2,71
10	4,96	4,1	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,2	3,09	2,95	2,79	2,61	2,4
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3	2,85	2,69	2,5	2,3
13	4,67	3,8	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,6	2,42	2,21
14	4,6	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,7	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,9	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,2	2,96	2,81	2,7	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,9	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,1	2,87	2,71	2,6	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,3	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,4	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,8	2,64	2,53	2,38	2,2	2	1,76
24	4,26	3,4	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,6	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,3	2,13	1,93	1,67
28	4,2	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,7	2,54	2,43	2,28	2,1	1,9	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2	1,79	1,52
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,4	2,29	2,13	1,95	1,72	1,44
60	4	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,1	1,92	1,7	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,5	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,1	2,71	2,47	2,32	2,2	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,7	2,46	2,3	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,6	1,21
150	3,9	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,8	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79.	1,55	1,1
400	3,86	3,02	2,63	2,4	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3	2,61	2,38	2,22	2,1	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,6	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52