Статистические величины и показатели вариации

В нашей задаче =0,89266*1,16802*(1,02247-1)*47150 = 1104,63 (тыс. руб.), то есть изменение цен на товары вида А, В, С привел к увеличению выручки на 1104,63 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов производится по формуле (60), согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за счет каждого фактора в отдельности.

= - = + + .                                 (60)

В нашей задаче = -5061,081 + 7071,77 + 1104,63 = 3115 тыс. руб.

Результаты факторного анализа  общей выручки заносятся в  последнюю строку факторной таблицы  7.

Таблица 7. Результаты факторного анализа выручки

Товар j	Изменение выручки, тыс. руб.	В том числе за счет
		количества продукта	структурных сдвигов	отпускных цен
А	6810	-1925,67	9726,2158	–1029,6214
В	-2166	-1819,41	-1930,6321	1583,994
С	-1529	-1315,98	-724,029	510,999
Итого	3115	-5061,06	7071,77	1104,63

Наконец, ведется факторный  анализ изменения частной (по каждому j-му товару в отдельности) выручки на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели:

= .                                                     (61)

Тогда изменение частной  выручки за счет каждого из 3-х  факторов (количество, структурный  сдвиг и цена) по j-му виду товара определяется соответственно по формулам (62) – (64).

= ;                                                   (62)

          = ;                                                (63)

= .                                             (64)

Так, по товару вида А изменение выручки за счет первого фактора (изменения общего количества проданных товаров) по формуле (62) равно:

=(0,89266-1)*17940 = -1925,67 (тыс. руб.).

По товару В: = (0,89266-1)*16950 = -1819,41 (тыс. руб.)

По товару С: =(0,89266-1)*12260 = -1315,98 (тыс. руб.)

Контроль правильности расчетов:

= , то есть -1925,67 + (-1819,41) + (-1315,98) = -5061,06 (тыс. руб.).

Так, по товару вида А изменение выручки за счет второго фактора (структурных сдвигов в количестве проданных фруктов) по формуле (63) равно:

=0,89266*(1,607345-1)*17940 = 9726,2158 (тыс. руб.).

По товару вида В: =0,89266*(0,872402-1)*16950 = -1930,6321 (тыс. руб.).

По товару вида С: =0,89266*(0,9338424-1)*12260= -724,029 (тыс. руб.).

Контроль правильности расчетов:

= , то есть 9726,2158 +(-1930,6321)+(- 724,029) = 7071,77 (тыс. руб.).

И, наконец, по товару вида А изменение выручки за счет 3-го фактора (изменения отпускной цены) по формуле (64) равно:

=0,89266*1,607345*(0,96-1)*17940 =  –1029,6214 (тыс. руб.).

По товару вида В: =0,89266*0,872402*(1,12-1)*16950 = 1583,994 (тыс. руб.).

По товару вида С: = 0,89266*0,9338424(1,05-1)*12260=510,999 (тыс.руб.)

Контроль правильности расчетов:

= , то есть –1029,6214 + 1583,994 + 510,999 = 1104,63 (тыс. руб.)

Результаты факторного анализа  частной выручки также заносятся  в таблицу 7, в которой все числа оказались взаимно согласованными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Статистическое изучение взаимосвязей

Задача 1. По условным данным таблицы выявить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y.

Таблица 10. Стоимость основных фондов и валовой выпуск по 10 однотипным предприятиям

Студенты  i	Возраст xi	Вес yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	20 25 28 19 23 20 26 19 30 20 28 21 26 21 20 19 27 26 23 27	60 76 70 73 48 52 80 70 84 63 62 73 58 56 63 50 75 82 61 64	- + + - - - + - + - + - + - - - + + - +	- + + + - - + + + - - + - - - - + + - -
Итого	468	1320

 

Решение. Для выявления  наличия и характера корреляционной связи между двумя признаками в статистике используется ряд методов.

1. Графический метод, когда корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Соединяя последовательно нанесенные точки, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии. Анализируя эту линию, визуально можно определить характер зависимости между признаками x и y. В нашей задаче эта линия похожа на восходящую прямую, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии прямой зависимости между величиной основных фондов и валовым выпуском продукции.

 

 

2. Рассмотрение параллельных данных (значений x и y в каждой из n единиц). Единицы наблюдения располагают по возрастанию значений факторного признака х и затем сравнивают с ним (визуально) поведение результативного признака у. В нашей задаче в большинстве случаев по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y (за несколькими исключениями – 2 и 3, 6 и 7 предприятия), поэтому, можно говорить о прямой связи между х и у (этот вывод подтверждает и эмпирическая линия регрессии). Теперь необходимо ее измерить, для чего рассчитывают несколько коэффициентов.

3. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) – простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений ( ) и ( ), а их знаки («+» или «–»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

.                                                       (65)

 

Очевидно, что если знаки  всех отклонений по каждому признаку совпадут, то К_Ф=1, что характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадут, то К_Ф=–1 (обратная связь). Если же åС=åН, то К_Ф=0. Итак, как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. Однако, если К_Ф=1, то это ни в коей мере нельзя воспринимать как свидетельство функциональной зависимости между х и у.

В нашей задаче ; .

В двух последних столбцах таблицы 10 приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков (C) – 14? а несовпадений – 6. Отсюда К_Ф= =0,4. Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует слабую зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку К_Ф зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

4. Линейный коэффициент корреляции применяется в случае линейной зависимости между двумя количественными признаками x и y. В отличие от К_Ф в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:

  и       .

Линейный коэффициент  корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

,          (66)        или  .                      (67)

Числитель формулы (67), деленный на n, т.е. , представляет собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, именуемое ковариацией. Поэтому можно сказать, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений. Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

.                                                               (68)

Линейный коэффициент  корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в  ходе решения. Например, если , то r по формуле (68) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу 8.

Таблица 8. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции.

i	xi	yi			tx	ty	tx ty
1	20	60	11,56	36	-0,9601807	-0,58195926	0,55878608	20,4	60
2	25	76	2,56	100	0,45184976	0,969932105	0,43826359	16	95
3	28	70	21,16	16	1,29906806	0,387972842	0,50400313	18,4	98
4	19	73	19,36	49	-1,2425868	0,678952473	-0,84365741	-30,8	69,35
5	23	48	0,16	324	-0,1129624	-1,74587779	0,19721861	7,2	55,2
6	20	52	11,56	196	-0,9601807	-1,35790495	1,30383418	47,6	52
7	26	80	6,76	196	0,73425586	1,357904947	0,99704966	36,4	104
8	19	70	19,36	16	-1,2425868	0,387972842	-0,48208995	-17,6	66,5
9	30	84	43,56	324	1,86388026	1,745877789	3,25410715	118,8	126
10	20	63	11,56	9	-0,9601807	-0,29097963	0,27939304	10,2	63
11	28	62	21,16	16	1,29906806	-0,38797284	-0,50400313	-18,4	86,8
12	21	73	5,76	49	-0,6777746	0,678952473	-0,46017677	-16,8	76,65
13	26	58	6,76	64	0,73425586	-0,77594568	-0,56974267	-20,8	75,4
14	21	56	5,76	100	-0,6777746	-0,9699321	0,65739538	24	58,8
15	20	63	11,56	9	-0,9601807	-0,29097963	0,27939304	10,2	63
16	19	50	19,36	256	-1,2425868	-1,55189137	1,92835979	70,4	47,5
17	27	75	12,96	81	1,01666196	0,872938894	0,88748377	32,4	101,25
18	26	82	6,76	256	0,73425586	1,551891368	1,13948533	41,6	106,6
19	23	61	0,16	25	-0,1129624	-0,48496605	0,05478295	2	70,15
20	27	64	12,96	4	1,01666196	-0,19398642	-0,19721861	-7,2	86,4
Итого	468	1320	250,8	2126	0	0	9,42266716	344	1561,6

 

В нашей задаче: =3,541;

=10,310. Тогда по формуле (66):

r = 9,42266716/20=0,47114.

 Аналогичный результат  получаем по формуле (67):

r = (344/(3,541*10,310))/20= 0,47114

или по формуле (68):

r = (1561,6 – 23,4*66) / 36,507=0,47114, то есть связь между величиной возраста студентов и их весом весьма тесная.

Проверка коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ_r. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

Существуют некоторые  особенности расчета σ_r в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) – n.

1. Если число наблюдений достаточно велико (n>30), то σ_r рассчитывается по формуле (69):

.                                                         (69)

Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные пределы (границы) r = ( ), где t – коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа

2. Если число наблюдений небольшое (n<30), то σ_r рассчитывается по формуле (70):

,                                                        (70)

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (71) и сопоставляется c t_ТАБЛ.

.                                            (71)

Табличное значение t_ТАБЛ находится по таблице распределения t-критерия Стьюдента (см. приложение 2) при уровне значимости α=1-β и числе степеней свободы ν=n–2. Если t_РАСЧ> t_{ТАБЛ ,} то r считается значимым, а связь между х и у – реальной. В противном случае (t_РАСЧ< t_ТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.