Статистические величины и показатели вариации

Среднее линейное отклонение определяется по формулам (20) и (21):

 – простое;  (20)                      – взвешенное; (21)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (22):

.                                                 (22)

Дисперсия определяется по формулам (23) или (24):

– простая; (23)                   –взвешенная; (24)

В нашей задаче, применяя формулу (21), определим ее числитель  и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: = 66,2/20 = 3,311 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации:

= 3,311/23,51 = 0,141. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,141 < 0,333).

Применяя формулу (24), получим в итоге дисперсию:

= 246,5971/20 = 12,330. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = 3,511 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации: = 3,511/23,51 = 0,149. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,149 < 0,333).

В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (25) и коэффициент асимметрии Пирсона (26):

, (25)                        .                                  (26)

Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя  скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.

В нашей задаче = =272,644/20 = 13,632;

=3,511³= 43,280; =13,632/43,280 = 0,314 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона:

  = (23,51-20)/3,511 = 0,999.

Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:

= .                                                   (27)

Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный  момент 4-го порядка  , который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (28):

.                                                             (28)

Для приближенного определения  эксцесса может быть использована формула  Линдберга (29):

,                                              (29)

где – доля количества вариант, лежащих в интервале, равном половине (в ту и другую сторону от средней величины).

В нашей задаче числитель  центрального момента 4-го порядка рассчитан  в последнем столбце расчетной  таблицы. В итоге по формуле (28) имеем: Ex = 213,599/3,511⁴–3 = 213,599/151,957–3 = -1,5943. Так как Ex<0, то распределение низковершинное. Это подтверждает и приблизительный расчет по формуле (29): в интервале 23,51 0,5*3,511, то есть от 21,755 до 25,265 находится примерно 21,4% студентов. Таким образом, Ex = 0,214 – 0,3829 = –0,169.

 

 

 

 

 

Тема 2. Ряды динамики

 

Задача 1. Производство мяса в России за период 2000-2005 гг. характеризуется следующим рядом динамики.

 

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Производство мяса, млн.т.	4,4	4,5	4,7	4,9	5,0	4,9

 

Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы  базисным и цепным способами. Проверить  ряд на наличие в нем линейного  тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%.

Решение. Любое изменение  уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (30), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (31).

 (30)                                                   (31)

По знаку абсолютного  изменения делается вывод о характере  развития явления: при  > 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.

В нашей задаче эти изменения  определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы  3. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется:

=0,5 и =0,5.

Базисное  относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (32), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (33).

 (32)                                                       (33)

Относительные изменения  уровней — это по существу индексы  динамики, критериальным значением  которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве  единице наблюдается стабильность явления.

В нашей задаче эти изменения определены в 5-м  и 6-м столбцах таблицы 3.

Вычитая единицу из относительных  изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 3, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =1,11 и =1,11.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи

 

Обобщенной характеристикой  ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.2):

Рис.2. Методы расчета среднего уровня ряда динамики.

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу  средней арифметической простой (8): = =28,4 / 6 = 4,73 (млн.тонн). То есть за период 2000-2005 в России в среднем за год было произведено 4,73 млн.тонн мяса.

Кроме среднего уровня в  рядах динамики рассчитываются и  другие средние показатели – среднее  изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее  абсолютное изменение – это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (34). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда – это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (35).

^Б =  (34)                ^Ц =                                     (35)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере  изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила  контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 0,5/5 = 0,1, то есть ежегодно в среднем производство мяса увеличивается на 0,1 млн.тонн.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее  относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (36), а цепное среднее относительное изменение – по формуле (37):

^Б= =                 (36)                ^Ц=                               (37)

Естественно, базисное и  цепное среднее относительное изменения  должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения  явления в среднем: рост, спад или  стабильность. В нашей задаче = = 1,0554, то есть ежегодно в среднем производство мяса увеличивается в 1,0554 раза.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,0554 – 1 = 0,0554, то есть ежегодно в среднем производство мяса увеличивается на 5,54%.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида:

                                                            (38)

где – математическая функция развития; – случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода – выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

 – прямая линия; – гипербола; – парабола; – степенная; – ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.3):

Из данного графика  видно, что есть все основания  принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выравненный по t») от фактических ( ) дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

                                                .                                             (39)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (39) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение  на 2, раскрыв скобки и перенеся члены  с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

                                                    (40)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета  времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

                                             (41)

Как видим, при такой нумерации  периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (41) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 4.

Из таблицы получаем, что  = 28,4/6 = 4,733 и = 4,2/70 = 0,06. Отсюда искомое уравнение тренда =4,733+0,06t. В 6-м столбце таблицы 4 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.4).

 

 

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле: