Статистические величины и показатели вариации

,                                                             (42)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (44); Д_о – остаточная дисперсия (45), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (43) и аналитической дисперсии:

;                                                         (43)

;                                                        (44)

.                                         (45)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 4. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	y	t	t2	yt		(y – )2	( – )2	(y – )2
2000	4,4	-5	25	-22	4,433	0,001	0,088	0,1089
2001	4,5	-3	9	-13,5	4,553	0,003	0,031	0,0529
2002	4,7	-1	1	-4,7	4,673	0,001	0,003	0,0009
2003	4,9	1	1	4,9	4,793	0,011	0,004	0,0289
2004	5	3	9	15	4,913	0,008	0,033	0,0729
2005	4,9	5	25	24,5	5,033	0,017	0,091	0,0289
6	28,4	0	70	4,2	28,398	0,041	0,221	0,3015

Проверим тренд в нашей  задаче на адекватность по формуле (42), для чего в 7-м столбце таблицы 4 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле (42) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = 0,221*4/(0,041*1) = 21,56 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 1] и 8-й строке [ = n – k = 4]).

При составлении прогнозов  уровней социально-экономических  явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая  так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (46):

,                                                        (46)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (47):

,                                          (47)

где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный  интервал в нашей задаче на 2006 год  с уровнем значимости = (1–0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (47): = = 0,1012. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,5706 при = 6 – 1=5.

Прогноз на 2006 с вероятностью 95% осуществим по формуле (46):

 Y₂₀₀₆₌(4,733+0,06*7) 2,5706*0,1012или 4,8929<Y₂₀₀₆<5,4131 (млн.тонн).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3. Индексы

Товар	Цена за единицу продукта, руб. p		Объем продаж, тыс. штук q
	1 квартал	2 квартал	1 квартал	1 квартал
A	130	125	138	198
B	50	56	339	264
C	20	21	613	511

 Задача 1. Имеются следующие данные о продажах торговой точкой трех видов товара:

 

 

 

 

 

 

 

Определить: 1) индивидуальные индексы цен, физического объема и выручки; 2) общие индексы цен, физического объема и выручки; 3) абсолютное изменение выручки за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж (для каждого  фактора в отдельности) по всей продукции  и по каждому товару в отдельности. По итогам расчетов сделать аргументированные  выводы.

Решение. В основе решения  задачи лежит формула (48):

 Q = pq                                                           (48)

где p – цена товара, q – физический объем (количество), Q – выручка (товарооборот).

Применив формулу (48) к нашей задаче, рассчитаем выручку по каждому товару в 1 квартале (Q_0j) и во 2 квартале (Q_1j) в таблице 5.

Таблица 5. Расчет выручки  и ее изменения по каждому товару

Товар j	1 квартал Q0j	1 квартал Q1j	Изменение выручки ∆Qj= Q1j– Q0j
A	130*138=17940	125*198=24750	6810
B	50*339=16950	56*264=14784	-2166
C	20*613=12260	21*511=10731	-1529
Итого	47150	50265	3115

 

 

Из таблицы видно, что  абсолютное изменение общей выручки составило:

= ∑Q₁–∑Q₀ = 50265-47150 = 3115  тыс. руб., то есть она выросла на 3115 тыс. руб.

Общий индекс изменения выручки  равняется:

= ∑Q₁/∑Q₀ = 50265/47150 = 1,0661, то есть выручка от продажи товаров увеличилась в 1,0661 раза или на 6,61% во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом.

Определим индивидуальные индексы  цен (i_p), физического объема (i_q), выручки (i_Q) и доли товара (i_d) по формуле , используя в качестве X_i цены (p), физический объем (q), выручки (Q) и доли товара (d=q/∑q) каждого вида фруктов соответственно. Результаты расчетов представим в таблице 6.

Таблица 6. Расчет индивидуальных индексов

Индивидуальный индекс	A	B	C
количества iq	198/138 = 1,43	264/339 = 0,77	511/613 = 0,83
отпускных цен ip	125/130 = 0,96	56/50 = 1,12	21/20 = 1,05
выручки iQ	27750/17940=1,37	14784/16950=0,87	10731/12260=0,87
доли товара id	(198/973)/(138/1090) = 1?661,611	(264/973)/(339/1090) = 0,870,8713	(511/973)/(613/1090) = 0,930,934

Правильность выполненных  расчетов проверяется следующим  образом:

1) общее изменение  выручки должно равняться сумме  ее частных (по каждому товару  в отдельности) изменений:  = 6810+(-2166)+(-1529) = 3115 (тыс. руб.);

2) произведение факторных  индивидуальных индексов по периодам  должно равняться соответствующему  индивидуальному индексу выручки: i_QА=1,43*0,96=1,37; i_QB= 0,77*1,12 = 0,87; i_QC=0,83*1,05=0,87

Из таблицы видно, что  во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом:

– количество проданных  товаров вида А увеличилось в 1,43 раза или на 43%; количество товаров вида B уменьшилось в 0,77 раза или на 23%; а количество товара вида С – уменьшилось в 0,83 раза или на 17%.

– цена за единицу товаров вида A уменьшилась в 0,96 раз или на 4 %; за товар вида B увеличилась в 1,12 раз или на 12 %;  за товар С увеличилась в 1,05 раз или на 5%.

– выручка по сравнению с первым кварталом в случае товара А увеличилась в 1,37 раза или на 37%; товара В уменьшилась в 0,87 раз или на 13%; товара С уменьшилась в 0,87 раз или на 13 %.

– доля проданного товара А увеличилась в 1,611 раза или на 61,1%, по товару вида B доля проданного товара уменьшилась в 0,8713 раза или на  12,87 %. В случае с товаром С доля проданного товара уменьшилась в 0,934 раза, то есть на 6,6 %.

Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле (49):

=                                                               (49)

В нашей задаче = = 49160/47150 = 1,04262 ≈ 4,262%, то есть количество проданных товаров A,B, и С в базисных ценах( ценах первого квартала) увеличилось в 1,04262 раза или на 4,262% по сравнению с 1 кварталом.

Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле (50):

=                                                        (50)

В нашей задаче = = 50265/49160 = 1,02247, то есть цена за единицу товара видов A, B и C при объемах продаж отчетного периода (ценах 2 квартала) увеличилась в 1,02247 раза или на 2,247% по сравнению с 1 кварталом.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,042262*1,02247 = 1,065681.

Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле (51):

=                                                    (51)

В нашей задаче = = 49107/47150 = 1,04150, то есть цена проданных товаров A, B, C при объемах продаж базисного периода (ценах 1 квартала) увеличилось в 1,04150 раза или на 4,15 % по сравнению с 1 кварталом.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле (52):

=                                                 (52)

В нашей задаче = 50265/49107 =1,02358, то есть количество проданных товаров вида А, В, С в отчетных ценах (ценах 2 квартала) увеличилось в 1,02358 раза или на 2,358% по сравнению с 1 кварталом.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,04150*1,02358 =1,06605.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле (53) для количества товаров и по формуле (54) – для цен:

=                       (53)                                 =                           (54)

В нашей задаче = =1,03305, то есть в среднем количество проданных товаров увеличилось в 1,03305 раза или на 3,305%;

= =1,03194, то есть в среднем цена проданных товаров увеличилась в 1,03194 раза или на 3,194%.

Далее выполняется факторный  анализ общей выручки. В его основе лежит следующая трехфакторная  мультипликативная модель выручки:

                                                I_Q = ,                                                     (55)

где = , – индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Он определяется по формуле (56):

= = .                                        (56)

В нашей задаче = =1,16802, то есть структурный сдвиг должен был увеличить отчетную выручку в базисных ценах в 1,16802 раза или на 16,8%.

Тогда изменение выручки  за счет изменения общего количества продуктов определяется по формуле (57):         

= .                                             (57)

В нашей задаче = (0,89266-1)*47150 =-5061,081 (тыс. руб.), то есть изменение количества продаваемых продуктов привело к уменьшению выручки на 5061,081 тыс. руб.

Изменение общей выручки  за счет структурных сдвигов находится  по формуле (58):

= .                                          (58)

В нашей задаче = 0,89266*(1,16802-1)*47150 = 7071,77 (тыс. руб.), то есть структурный сдвиг в количестве проданных товаров А, В, С привел к увеличению выручки на 7071,77 тыс. руб.

Изменение общей выручки  за счет изменения отпускных цен  рассчитывается  по формуле (59):

= .                                     (59)