Шпаргалка по "Статистике"

Важнейшим условием научного использования  средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления,  средняя в одних условиях  (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления.

Существуют различные виды средних  в форме простoй или взвешенной: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя хронологическая, структурные средние (мода, медиана)

 

 

 

 

 

11 Средняя арифметическая  величина и ее свойства

Средняя арифметическая величина представляет собой са­мый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается имен­но средняя арифметическая. Формула простой средней арифме­тической имеет вид: где X — средняя величина;

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

По данным дискретного ряда распределения  видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько  раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату  одного рабочего  в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты  можно представить в общем  виде:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной. Средняя арифметическая взвешенная Эта формула широко используется при расчете среднего бал­ла успеваемости студентов, для расчета фондового индекса «Стен-дард энд пурз-500», в расчетах экономических показателей.

Основные свойства средней арифметической.

1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения признака  х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить  или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух  или нескольких величин равна  сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений  признака Х от средней арифметической х равна нулю:

Простая средняя арифметическая используется в расчете фон­дового индекса  Доу-Джонса, для определения среднего остатка оборотных средств по балансу, среднегодовой численности  насе­ления и др

 

 

 

 

12 Структурные  средние  величины

Мода – это наиболее часто  встречающаяся(повторяющаяся) величина признака данной совокупностью. Мединой называется значение варьирующего признака, которое находится в середине вариационного ряда, все варианты которого расположены в порядке возрастания или убывания значений признака (для нечетного количества 2,3,4,4,5,6,8,7,9_); для четного - медианой будет среднее, взятое как полусумма значений 2-х центральных значений (0,1,1,2,3,4,5,6)= (2- медиана четного значения+3)/2=2,5 (используется для средних годовых фондов, для ранжирования) .

Мода и медиана в дискретном ряду распределения определяются следующим  образом:

Мода принимает самое часто  повторяющееся значение признака, т.е. (Х).

Медиана вычисляется по двум способам:

Для четного числа единиц совокупности – берутся 2 средних, показателя, чтобы  с одной и со второй стороны  оставалось равное количество единиц.

Для начетного числа единиц совокупности медиана принимает одно центральное  значение, все варианты которого в  одинаковом количестве с одной и  со второй стороны будут охватывать данную варианту. Для определения  медианы в дискретном ряду для  четного числа чисел недостаточно показать 2 серединных значения, а необходимо их суммировать и разделить на 2.

И мода и медиана показывают отклонение от средних значений + дисперсное отклонение 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Основные показатели  вариации

Абсолютные показатели вариации. Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией. Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Задача изучения вариации признаков  состоит в том, чтобы: 1) определить меру вариации, т. е. количественно измерить (рассчитать показатель вариации); 2) выяснить причины, которые вызвали вариацию признаков. Разложить общий объем  вариации по источникам.

Измерение вариации имеет как практическое, так и теоретическое значение: при ее помощи характеризуется однородность, планомерность многих процессов (если в работе предприятия большая  вариация, то это ведет к неполному  использованию производственных мощностей, к браку, срыву работы смежников, так называемой "штурмовщине"). Очень важны показатели вариации при характеристике выполнения договорных обязательств по отдельным предприятиям.

Для измерения размера вариации в статистике используется система  абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям относятся  размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее  квадратическое отклонение. Самым простым является размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака (R = xmax - xmin). Основным недостатком этого показателя является то, что он определяется двумя крайними значениями, в то время как вариация признака складывается из всех его значений. Часто размах вариации имеет важное смысловое значение. Им определяются пределы, в которых могут колебаться размеры тех или иных параметров деталей при контроле качества продукции, при анализе устойчивости режима производственного процесса.

Относительные показатели вариации

Для сравнения показателей вариации разных признаков, имеющих существенное различие в уровнях признаков, и  для оценки интенсивности вариации используются относительные показатели вариации. Базой для сравнения  служит средняя арифметическая. Различают следующие относительные показатели: 1) относительный размах вариации (коэффициент осцилляции);  2) относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации): 3) коэффициент вариации:

В коэффициенте вариации устраняется  не только несопоставимость, связанная  с различными единицами измерения  изучаемого признака, но и несопоставимость, которая возникает вследствие различия величин средних арифметических. Коэффициент вариации пригоден для сравнения колеблемости различных по своему характеру и размеру у и V, которые являются известными "мерилами" надежности средних. Чем меньше их значение, тем однороднее изучаемая совокупность и надежнее полученная средняя.

 

 

 

 

 

 

14.Показатели структуры  формы распределения вариаций

Представляется очевидным, что  одним параметром, хоть и самым  информативным – средней величиной  – нельзя оценить все свойства массового явления. Если средний  срок жизни 75 лет, то это вовсе не значит, что в этом возрасте обязательно  нужно отправляться на кладбище (хотя в Японии в старину это было принято). Если уровень жизни в  среднем по стране очень низок, то это не говорит о том, что нет  очень богатых. Естественным образом  возникает необходимость в показателе, оценивающем степень отклонения от среднего. Такие показатели в  статистике называют показателями (параметрами) вариации (лат.variatio – изменение). Они характеризуют степень неоднородности совокупности. Наиболее распространенными в статистике параметрами вариации являются размах вариации R=x_max-x_min, дисперсия s², среднеквадратичное отклонение s (СКО), среднее линейное отклонение d (СЛО). 
Разумеется, вариационные показатели тоже являются частными характеристиками социально-экономического явления. По форме ряда распределения можно судить, например, о том, какие значения признака более вероятны (чаще встречаются), чем средние значения. При этом может появиться право- или левосторонняя асимметрия, которые измеряются коэффициентом асимметрии. Распределения бывают сравнительно равномерные (плосковерхие), что свидетельствует об отсутствии выраженных предпочтений в значениях признака, и островерхие, которые выражают степень таких предпочтений. Оценка этих свойств осуществляется с помощью коэффициента эксцесса. 
Дисперсия 
О тклонения от среднего значения имеют как положительные, так и отрицательные знаки. К примеру, отличники на сессии получают оценки выше среднего балла (положительные отклонения), а аутсайдеры учебы – ниже среднего. 
Коэффециентом центральным моментом выборки {x_i}⁽ⁿ⁾ называется величина

 
 
где слева дано выражение для  невзвешенного, а справа – взвешенного k-го момента с группировкой выборки на m групп. Центральный момент 2-го порядка называется выборочной дисперсией 
Основные свойства дисперсии: 
s²³0, причем дисперсия равна 0 лишь при x_i=c, i=1,…,n, т.е. все элементы выборки одинаковы и равны постоянной с; 
Изменение всех элементов выборки в а раз приводит к изменению дисперсии в а² раз 
s²_ax=a²s²_x  Для двух независимых выборок {x_i}⁽ⁿ⁾ и {y_i}⁽ⁿ⁾ дисперсия суммы равна сумме дисперсий, т.е.   s²_x+y= s_x²+s_y².  Если Х и Y – статистически зависимые (коррелированные) величины, то в последнем свойстве к сумме двух дисперсий добавляется момент корреляции К_xy.

Среднеквадратическое отклонение (СКО)

 
Этот параметр определяется как  СКО как параметр широко используется при оценке ошибок выборочного ,а также при оценке неоднородности выборки. Для этого введем относительный параметр – коэффициент вариации.Принято считать, что при V_s<1/3 совокупность однородна, в противном случае – неоднородна. 

Среднее линейное отклонение (СЛО)

 
Иногда вместо СКО в качестве меры отклонения используют среднее  значение абсолютных отклонений  
где, как и прежде, слева записано невзвешенное, а справа – взвешенное выражение среднего линейного отклонения

Показатели формы  распределения

К этим показателям обычно относят:коэффициент асимметрии A_s;коэффициент эксцесса E.Они характеризуют степень отклонения ряда распределения от нормального закона распределения, который еще называют законом Гаусса где f(x) – плотность вероятности непрерывной случайной величины Х.  

 

 

 

 

 

15.Понятие индексов в  статистике. Виды индексов.

В статистике под индексом понимается относительная величина (показатель), выражающая изменение сложного экономического явления во времени, в пространстве или по сравнению с планом. В  связи с этим различают динамические, территориальные индексы, а также  индексы выполнения плана.

Многие общественные явления состоят  из непосредственно несопоставимых явлений, поэтому основной вопрос - это вопрос сопоставимости сравниваемых явлений.

К какому бы экономическому явлению  ни относились индексы, чтобы рассчитать их, необходимо сравнивать различные  уровни, которые относятся либо к  различным периодам времени, либо к  плановому заданию, либо к различным  территориям. В связи с этим различают  базисный период (период, к которому относится величина, подвергаемая сравнению) и отчетный период (период, к которому относится сравниваемая величина). При исчислении важно правильно  выбрать период, принимаемый за базу сравнения.

Индексы могут относиться либо к  отдельным элементам сложного экономического явления, либо ко всему явлению в  целом.

Виды индексов

Индивидуальные индексы. Показатели, характеризующие изменение более  или менее однородных объектов, входящих в состав сложного явления, называются индивидуальными индексами - ix.

Сводные индексы.   Сложные явления, для которых рассчитывается сводный  индекс, отличаются той особенностью, что элементы, их составляющие, неоднородны  и, как правило, несоизмеримы друг с  другом. Поэтому сопоставление простых  сумм этих элементов невозможно. Сопоставимость может быть достигнута различными способами:  сложные явления могут быть разбиты  на такие простые элементы, которые  в известной степени являются однородными;  сравнение по стоимости, без разбиения на отдельные элементы.

Средние индексы. Агрегатная форма  индекса - одна из важнейших, но не единственная. В практических расчетах очень часто  используются средние индексы. Это  связано с тем, что, например, в  индексе цены пересчет продукции, реализованной  в текущем периоде, в базисные цены практически очень сложен. В  то время как индивидуальные индексы  цены на практике разрабатываются постоянно.

Цепные индексы. Сумма произведений индивидуальных цепных индексов дает базисный индекс за соответствующий  период.

Базисные индексы. Увидим, что частное  от деления последующего базисного  индекса на предыдущий индекс дает нам цепной индекс за соответствующий  период.

Индекс постоянного (фиксированного) состава по своей форме тождественен агрегатному индексу.

Индекс переменного состава  используется для характеристики изменения  средней цены в текущем и базисном периодах.

Территориальные индексы. В статистике существует необходимость сопоставления  уровней экономических явлений  в пространстве. Для расчета значений используются территориальные индексы. Для их исчисления соответствующие  показатели по всем видам продукции  умножаются на количество продукции, произведенной  во всей области.

Индексы планового задания и  выполнения плана.

 

16.Выборочное наблюдение  и его виды.

Выборочное наблюдение – такое не сплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные определенным образом.

Цель (задача) выборочного наблюдения: по обследуемой  части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов статистического  наблюдения.

Причины применения выборочного наблюдения:

1. Экономия материальных, трудовых  затрат и времени.

2. Возможность более детально  и подробно изучит отдельные  единицы статистической совокупности  и их группы.