Метод средних величин

     Эмпирический коэффициент детерминации рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии:

 

 (6)

 

где – межгрупповая дисперсия;

 – общая дисперсия.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

 

 (7)

 

где – индивидуальные значения результативного признака;

 – общая средняя значений  результативного признака;

n – число единиц в совокупности.

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 9.

                                                                                                   Таблица 9

 Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

№ п/п	Прибыль, млн. руб., yi	yi - .	(yi - .)2
1	2	3	4
1	25,9	1,8	3,06
2	16,0	-8,2	66,42
3	15,2	-9,0	80,10
4	16,2	-8,0	63,20
5	19,2	-5,0	24,50
6	37,4	13,3	175,56
7	15,7	-8,5	71,40
8	23,6	-0,5	0,30
9	38,0	13,9	191,82
10	22,5	-1,7	2,72
11	15,0	-9,2	83,72
12	18,3	-5,9	34,22
13	30,6	6,5	41,60
14	7,0	-17,2	294,12
15	47,0	22,9	522,12
16	22,9	-1,3	1,56
17	15,3	-8,9	78,32
18	9,5	-14,7	214,62
19	22,8	-1,4	1,82
20	36,3	12,2	147,62
21	38,4	14,3	203,06
22	30,5	6,4	40,32
23	16,5	-7,7	58,52
24	29,2	5,1	25,50
25	38,6	14,5	208,80
26	24,8	0,7	0,42
27	15,8	-8,4	69,72
28	18,2	-6,0	35,40
29	27,9	3,8	14,06
30	30,2	6,1	36,60
Итого	6533	-	2791,28

 

Расчет общей дисперсии:

Общая дисперсия характеризует  вариацию прибыли, возникающую под  влиянием всех причин, действующих  на совокупность.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле:

 

 (8)

 

где – групповые средние;

 – общая средняя;

f_j – число единиц в j-группе;

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 10. При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

                                                                                                   Таблица 10

  Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы филиалов банка в по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число филиалов коммерческого банка nj	Прибыль в среднем на 1 банк, млн. руб.	-	( - )2fj
1	2	3	4	5
350 – 550	2	8,3	-15,9	505,62
550 – 750	6	15,5	-8,7	448,94
750 – 950	10	20,5	-3,7	133,23
950 – 1150	8	31,0	6,9	375,38
1150 – 1350	4	40,5	16,4	1069,29
Итого	30	= 24,2	-	2532,45

 

Расчет межгрупповой дисперсии:

Межгрупповая дисперсия характеризует  вариацию прибыли, возникающую под  влиянием объема кредитных вложений.

Расчет эмпирического коэффициента детерминации:

Вывод. 90,7% вариации прибыли  обусловлено вариацией объема кредитных  вложений, а 9,3% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

              (9)

   Расчет эмпирического корреляционного отношения:

           

Вывод: Согласно шкале Чэддока связь между объемом кредитных вложений и прибылью является весьма тесной.

                                                   Задание 3

 Оценка статистической  значимости коэффициента детерминации 

.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1. Ошибку выборки средней величины  объёма кредитных вложений и  границы, в которых будет находиться  средняя величина объёма кредитных  вложений для генеральной совокупности филиалов коммерческого банка.

2. Ошибку выборки доли  филиалов коммерческого банка  с объёмом кредитных вложений 950,0 млн руб. и более, а также  границы, в которых будет находиться  генеральная доля.

                             Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности филиалов коммерческого банка границ, в которых будут находиться средняя величина объёма кредитных вложений и доля филиалов с объёмом кредитных вложений 950,0 млн руб. и более.

1. Определение  ошибки выборки для среднего  объема кредитных вложений в  банков и границ, в которых  будет находиться генеральная  средняя 

Применение выборочного  метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому  и статистические характеристики выборки  случайны, следовательно, и ошибки выборки  также случайны. Ввиду этого принято  вычислять два вида ошибок - среднюю  и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле:

                           (12)

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

                                       ,           (16)

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки   кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

           (17)                                          

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 11):

                                                                                                     Таблица 11

Р	t	n			σ2
0,954	2	30	0,05	890	49066,7

 

Расчет средней ошибки выборки:

 млн. руб.

Расчет предельной ошибки выборки:

 млн. руб.

Определение доверительного интервала для генеральной средней:

На основании проведенного выборочного  обследования филиалов коммерческого  банка с вероятностью 0,954 можно  утверждать, что для генеральной совокупности филиалов коммерческого банка средняя величина кредитов находится в пределах от 811,2 до 968,8 млн. руб.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой:

 (16)

где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для механической выборки  отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:

 

 (17)

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

w - £ р £ w + (18)

По условию Задания 3 исследуемым  свойством является равенство или  превышение объема кредитных вложений 950,0 млн. руб.

Число филиалов коммерческого  банка с заданным свойством определяется из табл. 4 (графа 3):

m = 8 + 4 = 12

Расчет выборочной доли:

Доля филиалов коммерческого  банка с объемом кредитных  вложений 950,0 млн. руб. и более в  выборке составляет 40% от общего числа  филиалов выборочной совокупности.

Расчет предельной ошибки выборки для доли:

Определение доверительного интервала генеральной доли:

0,4 – 0,174 £ р £ 0,4 + 0,174

0,226 £ р £ 0,574

или

22,6% £ р £ 57,4%

Вывод: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности филиалов коммерческого банка доля филиалов с объемом кредитных вложений 950,0 млн. руб. и более будет находиться в пределах от 36% до 44%.

                                                    Задание 4

    Имеются следующие условные данные о кредитовании предприятия коммерческим банком:

                                                                                         Таблица 12

 Исходные данные

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчётный год
1	Средние остатки кредита, млн руб.	22,5	24,0
2	Длительность пользования кредитом, дни	45	60

          Определите:

1. Однодневный оборот  по погашению за каждый период.

2. Абсолютные и относительные  изменения всех показателей в  отчётном периоде по сравнению  с базисным.

3. Абсолютные изменения  средних остатков кредита под  влиянием изменения: