Лекции по статистики

    

;

• сумма отклонений индивидуальных значений от среднеарифметического равно нулю:

    

;

• сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от среднеарифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от любой величины:

    

.

    Если  значения повторяются, то .

    Используется  в случае если необходимо сохранить  постоянную при осредненной величине, обратную значению объёмного признака.

     .

3. ,

    

    Используется в том случае, если значения осредняемых вариантов (Xi) сильно отличаются друг от друга по величине.

     . 

      – для взвешивания

    Общая формула:

     ,

    где z – порядок средней [-1;…]

    Если  подсчитать для одной и той  же совокупности различные средние, то можно убедиться, что:

    

    Это правило называют правилом мажорантности.

    Если  речь идёт о вариационном ряде –  однородная совокупность, у которой  численные значения признаков расставляются  либо по возрастанию, либо по убыванию (упорядоченно), – то численное значение моды рассчитывается по следующей формуле:

     ,

    где – нижняя граница модального. интервала (второй интервал, в котором располагается модуль);

    d – величина интервала;

      – частота интервала, которая предшествует модальному;

      – частота модального интервала;

      – частота интервала, следующего  за модальным. 

    Медиана – вариант вариационного ряда расположенная в его середине и делит вариационный ряд на две равные части по количеству единиц в сумме.

3, 4, 5, 6, ,8, 9,10,11

    

    В интервальном ряду сначала определяют медиальный интервал, а затем значение медианы вычисляют по формуле:

     ,

    где – нижняя граница медиального интервала;

      – сумма частот вариационного  ряда;

      – сумма накопленных частот  интервалов, которые предшествуют  медиальному интервалу. 

Вариационные  ряды и их характеристики 

    Вариационный  ряд можно рассматривать, как  структурную группу. Поэтому как  любая группировка она имеет  свои характеристики:

1. Объёмные показатели – объём данной группировки:

.

2. Среднее значение, для вариационного ряда три средние характеристики:

• среднеарифметическое ;
• мода;
• медиана.

3. Показатель вариации – отклонение.

4. .
5. Линейные отклонения от среднего арифметического:

.

6. Среднеквадратичное отклонение:

.

7. ,

    где σ – дисперсия.

8. ,

    где V – относительный коэффициент вариаций, он показывает долю отклонения от среднего значения в целом по данной совокупности.

    Показатели  с 4 по 8 показывают вариации. Наиболее чувствительным является среднеквадратичное отклонение. 

Ряды  динамики

    Общественные  явления, изучаемые статистикой, изменяются во времени, меняется их объём, уровень и структура.

    Исходной  базой решения этой задачи служат ряды динамики, количественные характеристики изменения общественных явлений  по времени. Их иногда называют хронологическими или временными.

    Главным условием построения рядов динамики является использование сопоставления  данных, должны использоваться одинаковые способы.

    Ряды  динамики могут состоять, как из абсолютных суммарных величин, так  из относительных и средних величин. 

Пример: рост ВВП  по времени.

 

    Ряды  динамики могут быть интервальными и моментными.

    Интервальные  выражают моментный, если составляющие его числа выражают размеры какого-либо признака на определенные даты.

    Ряд динамики средних величин называют рядом цифровых данных, характеризующих  изменение средних размеров признака явления по времени. 

Основные  показатели рядов динамики. 

    Основные  показатели ряда

    Для конечной оценки динамики явления используют следующие статические показатели:

• абсолютный прирост;
• темп роста;
• темп прироста;
• темп наращивания.

    В основе расчета данных показателей  лежит сравнение уровня рядов  динамики.

    Под уровнем мы понимаем числовой показатель.

    В зависимости от способа сопоставления показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базе сравнения. При расчете на постоянный базе сравниваемый уровень сопоставляется с одним и тем же базисным уровнем. Вычисленный при этом показатель называется базисным. Для расчета показателя на переменной базе каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим. Вычисленный при этом показатель называется цепным.

    Главнейшим  статистическим показателем является абсолютный прирост. Он рассчитывается, как разность двух уровней ряда.

      – абсолютный прирост базисный,

     ,

      – цепной абсолютный прирост.

    Знак  y численного значения может быть любой. Между базисными и цепными абсолютными приростами существует связь: сумма цепных абсолютных приростов равна абсолютному приросту последнего периода ряда динамики (базисному).

    

    Темп  роста сравнивает два уровня ряда, величина безразмерная.

    Для цепного темпа роста:

    

    

    Если  Т>1, то это свидетельствует об увеличении явления, наоборот о снижении.

    Темп  прироста – отношение абсолютного прироста к уровню.

    

    

    Между Тр и Тn существует взаимосвязь:

    

    Темп  наращивания. Он измеряет наращивания  по времени экономического потенциала. Вычисляется с помощью деления  цепных абсолютных приростов на базу сравнения:

    

    Существует  средний показатель. 

Средний показатель в рядах  динамики

    Для получения обобщенных характеристик  динамического ряда используются средние  величины:

• средний уровень ряда;
• средний абсолютный прирост;
• средний темп роста;
• средний темп прироста.

    Средние показатели дают сжатые характеристики ряда.

    Средний уровень ряда показывает типические величины абсолютного уровня ряда

    

    Если  даты t и t равно отстоят по времени, если даты отличаются по времени, то используется формула взвешенности:

     ,

    где – уровень рода динамики, сохраняется без изменения в течение промежутка  .

    Средний абсолютный прирост:

     .

    Средний темп роста по формуле среднего геометрического:

    

    

    Важной  задачей рядов динамики является выявление тенденций развития данного явления.

    Основная  тенденция развития (ОТР, TREND)

    

    Выявить ОТР – сделать заключение о  том, как развивается данное явление: возрастает, убывает, или не изменяется по времени.

    Для выяснения ОТР существуют следующие  методы:

1. Сглаживание динамики рядов методом скользящей средней. Исходный ряд заменяют другим рядом, у которого уровни состоят из скользящих средних.

    

    

    

    

    Вычисление  средних и замена ими уровней  ряда сглаживают колебания, вызванные  случайными величинами.

2. Метод укрупнения интервалов: исходный ряд заменяется другим рядом с помощью объединения соседних интервалов. При этом уровни ряда суммируются.
3. Метод аналитического выравнивания: основная тенденция развития рассчитывается, как функция

      

    Расчет  теоретических уравнений осуществляется на основе адекватной математической модели, которая отражает основные тенденции развития. Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, т.е. минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическим и эмпирическим уравнениями.